Зависимость между компонентами тензоров деформаций и напряжений

Основы теории упругости

Лекция 3

Обобщённый закон Гука

Слайд 2

Выше были рассмотрены теории напряжений и деформаций, освещающие статическую сторону задачи и описывающие её с геометрической точки зрения. Эти теории сами по себе не могут служить для решения физических задач теории упругости о деформациях до тех пор, пока между функциями напряжений и деформаций не будет установлена физическая зависимость.

Английский естествоиспытатель Роберт Гук в 1660 г. открыл закон, названный его именем. Этот закон устанавливает линейную зависимость между упругой деформацией твёрдого тела и приложенным напряжением от внешней нагрузки.

Различают закон Гука при растяжении-сжатии и при сдвиге. При растяжении-сжатии нормальное напряжение пропорционально относительному удлинению, т. е.

s = e E,

где E – коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости при растяжении, или модулем Юнга.

При сдвиге касательное напряжение пропорционально угловой деформации:

t = g G,

где G – модуль упругости при сдвиге.

Модули упругости E и G, которые определяются из опытов на стандартных образцах, характеризуют меру жёсткости материала и имеют размерность напряжения. Из опытов по одноосному растяжению стержня установлен закон, связывающий относительные удлинения (укорочения) в продольном и поперечном направлениях:

e_y = e_z = -ne_x

Коэффициент пропорциональности n (читается «ню») называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона) и представляет собой постоянную величину для каждого материала. Для различных материалов значения коэффициентов Пуассона находятся в пределах: 0£ n £0,5 Для большинства металлов 0,25£ n £0,35 Между тремя упругими постоянными E, G, n существует зависимость, следующая из закона Гука:

(3.1)

Поэтому лишь две из этих трёх постоянных являются независимыми и должны быть найдены из опыта, третья постоянная определяется из формулы (3.1.)

 

Слайд 3

Зависимость между компонентами тензоров деформаций и напряжений

Чтобы установить зависимость между компонентами тензоров деформаций и напряжений при объёмном напряжённом состоянии, выделим из тела элементарный параллелепипед и рассмотрим действие только нормальных напряжений s_x, s_y, s_z.

Используя положение о том, что в упругом однородном изотропном теле нормальные напряжения не вызывают сдвигов, касательные напряжения не вызывают удлинений по направлению действия этих напряжений. На этом основании можем рассматривать отдельно действие нормальных и касательных напряжений.

Связь между относительными деформациями сдвига и касательными напряжениями, согласно закону Гука при сдвиге, можно представить независимо для каждой из трёх плоскостей параллелепипеда, параллельных координатным плоскостям.

На основании принципа независимости действия сил находим полные относительные удлинения рёбер параллелепипеда по направлениям трёх координатных осей как сумму относительных удлинений этих рёбер от действия каждого нормального напряжения.

Тогда обобщённый закон Гука для упругого, однородного и изотропного твёрдого тела записывается следующим образом:

(3.2)

При решении задачи теории упругости часто бывает необходимо иметь выражения компонент тензора напряжений через компоненты тензора деформаций. Разрешая формулы (3.2) относительно напряжений, получим один из вариантов записи этих выражений:

(3.3)

где θ (читается «тета») - относительная объёмная деформация

θ = εx + εy + εz (3.4)

λ – коэффициент Ламе

Коэффициенты λ и μ, как и модули упругости Е и G, характеризуют упругие свойства материала. Коэффициент μ = G (см. формулу (3.1)). Формулы (3.3) называют обратной формой закона Гука.

Таким образом, мы получили соотношения, которые выражают физические зависимости между компонентами тензора деформаций и тензора напряжений.

Представим выражение относительной объёмной деформации (3.4) через нормальные напряжения с помощью формул (3.2):

В случае всестороннего гидростатического сжатия материала, когда напряжения, s_z = s_y = s_z =-s имеем:

Из полученной формулы следует, что коэффициент Пуассона n не может быть больше 0,5. В противном случае происходит увеличение объёма тела при его сжатии.

 

Слайд 5