Операции и функции математического анализа.

В данном разделе лекции мы рассмотрим наиболее часто используемые команды, позволяющие выполнять над объектами (функциями, выражениями, рядами и.т.д) вычисления и преобразования, относящиеся к одному из разделов математики - математическому анализу. Многие из этих функций имеют как активную, так и пассивную (инертную) формы, которые различаются начертанием первой буквы имени команды (строчные - для активных команд, прописные - для инертных команд).

Операции и функции математического анализа.
	Вычисление сумм рядов.
< B>	Вычисление произведений.
	Дифференцирование выражений.
	>Дифференциальный оператор.
< B>	Вычисление интегралов.
	Вычисление пределов функций.
	Разложение функции в ряд в виде степенного многочлена
< B>	Разложение функции в ряд Тейлора
< B>	Разложение функции нескольких переменных в ряд Тейлора
< B>	Ассимптотическое разложение функции в ряд.
< B>	Позволяет найти экстремум выражения.
< B>	Определяет минимум функции.
	Определяет максимум функции
< B>	Исследует выражение на непрерывность.
< B>	Определяет точки, в которых нарушается непрерывность функции.
< B>	Находит особые (сингулярные) точки выражения.

Вычисление сумм рядов.

Применение систем символьной математики особенно эффектно при решении задач математического анализа.
Вычисление суммы f(m)+f(m+1)+...+f(n-1)+f(n) является распространенной операцией математического анализа.
Для вычисляемой и инертной форм вычисления сумм служат следующие функции:

sum(f,k)	sum(f,k=m..n)	sum(f,k=alpha)
Sum(f,k)	Sum(f,k=m..n)	Sum(f,k=alpha)

 

где: f-функция, задающая члены суммируемого ряда, k-индекс суммирования, m и n-целочисленные пределы изменения k, alpha-RootOf-выражение. Значение n может приниматься бесконечным, тогда для n используется константа infinity.

Дополнительные возможности по работе с суммами обеспечивает инструментальный пакет sumtools.

Вычисление произведений.

Аналогичным образом для произведений членов f(i) некоторой последовательности, например вида f(m)*f(m+1)*...*f(n-1)*f(n) используются следующие функции:

product(f,k)	product(f,k=m..n)	product(f,k=alpha)
Product(f,k)	Product(f,k=m..n)	Product(f,k=alpha)

 

Обозначение параметров этих функций и их назначение соответствуют приведенным для функции вычисления сумм.

 

Дифференцирование выражений.

Вычисление производных функций n-го порядка -одна из самых распространенных задач математического анализа. Для ее реализации Maple V имеет следующие основные функции:

diff(F,x1,x2,...,xn)	Diff(F,x1,x2,...,xn)
diff(F,[x1,x2,...,xn])	Diff(F,[x1,x2,...,xn])

Здесь F -дифференцируемое алгебраическое выражение, в частности, функция F(x1,x2,...,xn) ряда переменных, по которым производится дифференцирование.

Функция Diff является инертной формой вычисляемой функции diff и может использоваться для естественного воспроизведения производных в документах.
Первая из этих функций (в вычисляемой и в инертной форме) вычисляет частные производные для выражения F по переменным x1,x2,...,xn. В простейшем случае diff(F(x),x) вычисляет первую производную функции F(x) по переменной x. При n большем 1 вычисления производных выполняются рекурсивно, например diff(f(x,y),x,y) эквивалентно diff(diff(f(x,y),x),y).

Оператор $ можно использовать для вычисления производных высокого порядка. Для этого после имени соответствующей переменной ставится этот оператор и указывается порядок производной, например diff(f(x),x$4).

 

Дифференциальный оператор.

Для создания функции с производными может также использоваться дифференциальный оператор D. Порою он позволяет создавать более компактные выражения, чем функции diff и Diff.

Дифференциальный оператор можно записывать в следующих формах: D(f) или D[i](f), где параметр f-выражение или имя функции. i-положительное целое число, выражение или последовательность.

 

Оператор D(f) просто вычисляет имя производной от f. В форме D(f)(x) этот оператор подобен diff(f(x),x).

 

Вычисление интегралов.

Для вычисления неопределенных и определеных интегралов Maple V предоставляет следующие функции:

int(f,x)	int(f,x=a..b)	int(f,x=a..b,опция)
Int(f,x)	Int(f,x=a..b)	Int(f,x=a..b,опция)

Здесь: f -подынтегральная функция,
x -переменная, по которой выполняются вычисления,
a и b - нижний и верхний пределы интегрирования (эти пределы могут быть и аналитическими выражениями, и бесконечностью, обозначаемой как infinity)
опция -опционально заданное условие.

По умолчанию команда интегрирования проверяет выражение на непрерывность в области интегрирования и вычисляет интеграл как сумму отдельных определенных интегралов на промежутках непрерывности функции. Опция continuous отключает этот режим и вычисляет интеграл как разность значений первообразной подынтегральной функции в точке начала и конца промежутка интегрирования.

Еще одна опция CauchyPrincipalValue вычисляет несобственные интегралы первого и второго рада в смысле главного значения Коши.

Если Maple не может найти замкнутую форму выражения для определенного интеграла, то команда интегрирования в области вывода повторяет саму себя. В подобных случаях можно вычислить значение определенного интеграла численным способом с помощью команды evalf(). Синтаксис подобной конструкции следующий:

evalf(int(f,x=a..b));
evalf(Int(f,x=a..b));
evalf(Int(f,x=a..b, digits, flag));

где digits задает число значащих цифр при вычислении приближенного значения интеграла,
flag - параметр, позволяющий явно задать метод численного интегрирования.

При численном интегрировании по умолчанию используется квадратурная формула Кленшо-Куртиса (Clenshaw-Curtis). Если в подынтегральном выражении встречается сингулярность, то применяется специальная методика символьного анализа для ее разрешения. Для задач с неустранимыми сингулярностями используется адаптивный метод двойных экспоненциальных квадратур. Параметр flag, явно задающий метод численного интегрирования, может принимать значения, представленные в таблице:

 

Значения параметра flag.
Значение	Смысл
_Ccquad	Применяется только квадратура Кленшо-Куртиса без вызова процедуры обработки сингулярности.
_Dexp	Применяется адаптивный метод двойных экспоненциальных квадратур.
_Ncrule	Применяется метод квадратурной формулы Ньютона-Кортеса, являющийся методом фиксированного порядка, и не эффективен для высоких точностей.

 

Функции int и Int могут использоваться для вычисления кратных интегралов. Для этого они используются неоднократно. В пакете student имеются дополнительные функции интегрирования, которые дополняют уже описанные возможности.

 

Вычисление пределов функций.

Для вычисления предела функции f в точке x=a используются следующие функции:

limit(f,x=a)	limit(f,x=a,dir)
Limit(f,x=a)	Limit(f,x=a,dir)

 

Здесь: f-алгебраическое выражение, x-имя переменной, а- точка, в которой ищется предел (может быть бесконечность (как положительная, так и отрицательная)) dir -опция, указывающая на направление поиска предела (left-слева, right-справа, real-в области вещественных значений, complex-в области комплексных значений).

 

Разложение функции в ряд.

Система Maple предлагает множество функций для разложений функций во всевозможные ряды. Познакомимся с некоторыми из них.

Команда series() дает разложение функции в форме степенного многочлена в окрестности некоторой точки. Её синтаксис:

series(выражение, условие)
series(выражение, условие, n)

выражение- разлагаемое выражение, условие- уравнение вида x=a или имя переменной (например, x) n - неотрицательное число, задающее число членов ряда (по умолчанию = 6, можно переустановить системной переменной Order)

Если в качестве параметра условие задано имя переменной, то будет построено разложение функции в рад по этой переменной в области точки с ее нулевым значением. Задав условие в виде равенства x=a, будем получать разложение функции по переменной x в окрестности точки x=a.

Остаточная погрешность при разложении функции в степенной ряд задается членом вида O(xⁿ). При точном разложении этот член отсутствует. В общем случае для его удаления можно использовать функцию convert(выражение, polynom).

Для разложения функции в широко распространенный ряд Тейлора используется команда taylor(). Ее синтаксис:

taylor(выражение, усоловие, n)

Значения параметров команды те же, что и для команды series().

Для разложения в ряд Тейлора функции нескольких переменных используется команда mtaylor() в виде:

mtaylor(выражение, список) или mtaylor(выражение, список, n) или mtaylor(выражение, список, n, вес)

выражение - разлагаемое выражение
список - список имен или равенств
n - число, задающее порядок разложения
вес - список целых чисел, задающий "вес" каждой переменной списка - второго параметра команды.

Для вычисления ассимптотического разложения функции (в виде ряда)используется команда asympt() в форме:

asympt(f, x) или asympt(f, x, n)

f- функция переменной x или алгебраическое выражение x - имя переменной, по которой производится разложение n- положительное целое число (порядок разложения)

Помимо указанных выше Maple имеет множество функций для иных разложений в ряд. Например в пакете расширения numapprox имеется функция laurent(), позволяющая получить разложение в ряд Лорана, функция chebyshev() дает разложение в форме полиномов Чебышева. Для использования в вычислениях разложений функций в ряды по ортогональным полиномам можно воспользоваться пакетом orthopoly, расширенные средства по реализации степенных разложений сосредоточены в пакете расширений powseries.

Поиск экстремумов, анализ функций не непрерывность.

Фуекция extrema() позволяет найти экстремумы выражения или функции, а также вывести координаты точек экстремумов. Её синтаксис

extrema(expr, условия, переменная, 'nv');

expr - выражение, экстремум которого следует найти,
условия - ограничения (по области и др.) задаются в виде множества уравнений или неравенств,
переменные - переменные, по которым ищется экстремум, задаются в виде множества (необязательный параметр)
'nv' - имя переменной, которой будут присваиваться координаты точек экстремума (необязательный параметр).

Для поиска максимального и минимального значений функции или выражения в Maple предназначены функции maximize () и minimize(). Их синтаксис:

minimize(expr, vars, опция);
maximize(expr, vars, опция);

expr - выражение, экстремум которого следует найти,
vars - список или множество переиенных
опция - параметр, указывающий область изменения независимых переменных выражения.
-

Параметр опция может принимать значения: 'infinity' - поиск максимума или минимума выполняется по всей числовой прямой, или представляет собой множество уравнений вида x=a..b, определяющих область изменения независимых переменных.

Функция iscont() позволяет исследовать выражение (функцию) на непрерывность. Синтаксис этой команды:

iscont(expr, x=a..b)
iscont(expr, x=a..b,'closed')

expr - выражение, исследуемое на непрерывность,
x - независимая переменная
a..b - промежуток изменения независимой переменной
'closed' - параметр, указывающий, что конечные точки также должны проверяться.

Если выражение непрерывно, возвращается логическое значение true, иначе - false.

Другая функция discont() позволяет определить точки, в которых нарушается непрерывность функции f(x). Она вычисляет все точки в пределах изменения x от минус бесконечности до плюс бесконечности. Обращение к этой команде:

discont(f(x),x)

Многие операции, например, интегрирования и дифференцирования, чувствительны к особенностям функций, в частности, к ее разрывам и особым точкам. Команда singular(expr, vars) позволяет найти особые (сингулярные) точки выражения expr, в которых оно испытывает разрывы.