Методические указания к изучению курса

Саратовский государственный технический университет

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Методические указания и контрольные задания

для студентов строительных специальностей

заочной формы обучения

 

 

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

 

Саратов-2005

ВВЕДЕНИЕ

Изучение начертательной геометрии и черчения необходимо для приобретения знаний и навыков, позволяющих составлять и читать технические чертежи, проектную документацию, а также для развития инженерного пространственного воображения. Общим для начертательной геометрии и черчения является метод построения изображений, называемый методом проецирования. В начертательной геометрии изучают теоретические основы этого метода, а в черчении – практическое использование. Знания по построению изображений, решению задач, правила составления и оформления чертежа находят широкое применение при разработке проектов и в строительстве сооружений.

Основная форма работы студента-заочника – самостоятельное изучение материала по учебникам, учебным пособиям; знакомство с положениями ГОСТ и других официальных документов.

Основная форма отчетности – выполненные графические контрольные работы, зачеты и экзамены.

В процессе изучения начертательной геометрии студенты выполняют три контрольные работы. Задачи контрольных работ выполняют по индивидуальным вариантам. Вариант должен соответствовать последней цифре шифра – номера студенческого билета. Например, если шифр 456, студент выполняет вариант 6.

Общие требования к оформлению контрольных работ. Материалы контрольных работ сшиваются в альбомы. Обложка: титульный лист и содержание - выполняются по форме рис.1.

Листы контрольных работ альбома прочно сшиваются нитками. Поле графических документов (чертежей) ограничивается рамкой, внутри которой помещается основная надпись. Форма и размеры основных надписей, выполненных по ГОСТ 21.103 – 78 и используемых при оформлении контрольных работ, приведены на рис.2: форма 1 предназначена для чертежей зданий и сооружений; форма 2 – для первых листов чертежей строительных изделий; форма 3 – для первых листов текстовых документов, в том числе отдельно расположенной спецификации; форма 4 – для последующих листов чертежей изделий и текстовых документов. На рис. 2 также представлены примеры заполнения основных надписей.

Все текстовые и графические документы выполняют в соответствии с государственными стандартами СПДС (Системы проектной документации для строительства) и ЕСКД (Единой системы конструкторской документации). Они должны отличаться выразительностью, аккуратностью и четкостью графического исполнения. Толщину и тип линий принимают в соответствии с ГОСТ 2.303 – 68*. Условия задач, все геометрические построения выполняют с помощью чертежных инструментов, карандашом 2Т, Т, вначале тонкими линиями (0,2 мм), а затем линии видимого контура обводят карандашом ТМ сплошной линией толщиной 0,6…0,8 мм, линии невидимого контура – штриховой 0,3…0,4 мм, все остальные – тонкой линией 0,2 мм. Надписи и буквенно-цифровые обозначения на листах и в основной надписи выполняют стандартным шрифтом по ГОСТ ЕСКД 2.304 – 81.

Рис. 1

 

Рис.2

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ КУРСА

 

При изучении курса начертательной геометрии рекомендуется внимательно озна­комиться с программой, приобрести необхо­димую учебную литературу, организовать рабочее место и обратить особое внимание на рабочий план, который является первым помощником студентов в организации само­стоятельного изучения курса, так как под­сказывает, какую тему нужно изучить за не­делю, какой учебный материал проработать и какое графическое задание выполнить. Правильно построенные самостоятельные занятия позволяют сэкономить время и получить хорошие результаты.

При само­стоятельной организации учебного процесса следует руководствоваться следующим:

1) изучать начертательную геометрию строго последовательно и систематически;

2) проработанные теоретические поло­жения обязательно подкреплять практиче­ским решением задач;

3) уделять серьезное внимание вопросам, предложенным данными мето­дическими указаниями;

4) проявлять максимальную самостоя­тельность на занятиях, так как начертатель­ную геометрию заучить нельзя, ее надо по­нимать;

5) научиться понимать чертежи, привлекая на помощь свое простран­ственное воображение, допуская в отдель­ных случаях простейшие модели;

6) приучить себя укладываться в сроки, рекомендуемые рабочим планом, и своевре­менно отсылать и передавать на рецензи­рование контрольные работы.

Принятые обозначения

1. Точки, расположенные в простран­стве, обозначают прописными буквами латинского алфавита А, В, С,D... или цифрами 1, 2, 3, 4,....

2. Прямые и кривые линии в простран­стве — строчными буквами латинского алфавита а, b, с, d,....

3. Плоскости — строчными буквами гре­ческого алфавита: a, b, g,....

4. Поверхности - прописными буквами греческого алфавита: F, Q, L, S,....

5. Основные операции над геометриче­скими образами:

а) совпадение двух геометрических обра­зов: º, например, аºb, А₁ºВ₁;

б) взаимная принадлежность геометрических образов: Î, например, АÎа, bÎВ;

в) пересечение двух геометрических образов: х, например, t х a,

а х b;

г) результат геометрической операции: =, например, К= а х a.

6. Особые прямые и плоскости имеют постоянные обозначения:

линии уровня: горизонталь - h, фронталь – f;

касательная прямая - t;

нормаль -n;

оси вращения - i,j.

7. Плоскость проекций при образовании комплексного чертежа — прописной буквой греческого алфавита П.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1

Лист 1

Формат А3. Выполняются титульный лист и содержание контрольных работ по рис. 1.

Лист 2

Формат А3. Выполняются графические задания, связанные с допущенными ошибка­ми в рецензируемых листах. Объем и ха­рактер задач определяются преподавателем.

Лист 3

Формат А3. Выполняются две задачи по формали­зации процесса графического решения пози­ционных и метрических задач. Пример оформления листа-нарис. 3.

 

Задача 1. Построить блок-схему алго­ритма поэтапного графического решения задачи 1 листа 4. Исходные данные к ней — по табл. 1.

Указания к выполнению задачи 1. Пред­ставить решение задачи в виде определен­ной последовательности описаний элементарных графических задач: построение проекции плоскости (А, B, С), построение к плоскости (А, B,C) перпендикуляра, проходящего через т. D, и т. д. Каждая элементарная графическая задача оформля­ется блоком (прямоугольником с порядко­вым номером). Размеры блока 70х15 мм, расстояние между блоками 10 мм.

 

Задача 2. Осуществить поэтапное гра­фическое выполнение задачи 1 листа 4 в виде определенной последова­тельности решения элементарных графиче­ских задач с нанесением на изображение мнемонических знаков, раскрывающих по­рядок и характер выполнения элементарных графических процедур. Исходные данные те же, что и к
задаче 1.

Указания к выполнению задачи 2. Каждую элементарную задачу оформляют отдельным эпюром в последовательности, указанной в блок-схеме. При построении проекции тт. A, В, С, D, Е необходимо числовые значения их координат, прини­маемые по табл. 1, уменьшить вдвое.

Над каждой элементарной задачей размещают ее номер в кружке диаметром 7 мм (см. лист 3 рис. 3).

 

 

Таблица 1

Номер варианта

Значение координат, мм

XA

YA

ZA

XB

YB

ZB

XC

YC

ZC

XD

YD

ZD

XE

YE

ZE

Лист 4

Формат А3. Выполнить три задачи на точку, прямую и плоскость в ортогональных проек­циях. Пример выполнения листа - на рис. 4. Задачи 1 и 2 совместить на одном чертеже в левой части листа, а задачу 3 располо­жить в правой части листа. Точку Е по­строить только для задачи 3. Для левой и правой частей листа координатные оси показывать раздельно. В листе 4 и осталь­ных листах контрольных работ обводку ре­шенных задач выполнять цветной пастой шариковой ручки или тушью. Четко разли­чать видимые и невидимые линии чертежа: видимые — сплошные толстые 0,6...0,8 мм; невидимые — штриховые 0,4 мм.

Черной пастой обводят исходные данные, красной— полученный результат решения. Все промежуточные построения должны быть показаны на чертеже тонкими линиями, 0.1… 0.2 мм различными цветами (синим, зеленым, коричневым и т. д.) в зависимости oт принадлежности к этапу решения задачи. Все вспомогательные построения не стирать и все точки чертежа обозначить.

 

Задача 1. Дано: плоскость треугольника (А,В,С) и точка D. Требуется: определить расстояние от точки D до плоскости, заданной треугольником (А, В, С). Определить видимость перпендикуляра, проходящего через точку D, и плоскости треугольника (A, В,С). Данные для выполнения задачи взять из табл. 1 в соответствии с вариантом.

Указания к выполнению задачи 1. Задачу выполняют в следующей последовательности: 1) из точки D опускают перпендикуляр, используя гори­зонталь h и фронталь f плоскости. При этом горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проек­ции горизонтали h₁, а фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной

проекции фронтали f_2; 2) опре­деляют точку пересечения перпендикуляра с плоскостью (А, В,С), для чего перпен­дикуляр (прямую) заключают во вспомога­тельную, обычно проецирующую, плоскость (g), находят линию пересечения плоскости (А, В,С) с вспомогательной плоскостью и отмечают точку К, в которой эта линия пересекается с перпендикуляром; 3) определяют нату­ральную величину (Н.В.) расстояния от точки D до плоскости (А,В,С), при­меняя способ прямоугольного треугольника; 4) видимость проекции перпендикуляра опре­деляют методом конкурирующих точек.

 

Задача 2. Д а н о: плоскость треугольни­ка (А, В. С). Т р е б у е т с я: постро­ить плоскость, параллельную заданной и отстоящую от нее на 45...50 мм. Данные для выполнения задачи взять из табл. 1.

Указания к выполнению задачи 2. Задачу выполняют в следующей последовательности: 1) в заданной плоскости (А, В, С) выбирают произволь­ную точку (в том числе вершину (на рис.4 взята точка С) и из нее восстанавливают перпендикуляр к плоскости (А, В, С) (аналогично первому действию в первой задаче). В связи с тем, что задачи 1 и 2 совмещены на одном чертеже и направление перпендикуляра к плоскости (А, В, С) уже выявлено (прямая b (D, К), то пер­пендикуляр через произвольно выбранную точку можно провести как прямую, па­раллельную перпендикуляру b (D, К). На эпюре одноименные проекции параллель­ных прямых параллельны; 2) определяют методом прямоугольного треугольника на­туральную величину произвольного отрез­ка перпендикуляра, который ограничивают произвольной точкой Р; 3) на натуральной величине произвольного отрезка перпенди­куляра находят точку Т, расположенную на заданном расстоянии 45 мм от плоскости, и строят проекции этой точки на проек­циях перпендикуляра; 4) через точку Т строят искомую плоскость, соблюдая условие параллельности плоскостей: если плоскости параллельны, то две пересекаю­щиеся прямые одной плоскости параллель­ны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На эпюре одноименные проек­ции пересекающихся прямых параллельны.

Задача 3. Д а н о: плоскость треугольни­ка а (А, В, С) и прямая (D, Е). Т р е ­б у е т с я: через прямую (D, Е) провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника (А, В, С), построить линию пересечения этих двух плоскостей, опреде­лить видимость. Данные для выполнения задачи взять из табл. 1.

Указания к выполнению задачи 3. Зада­ча предполагает следующие действия: 1) строят плоскость, перпендикулярную плоскости (А, В, С). Плоскость, перпендикулярная другой плоскости, должна проходить через перпендикуляр к этой плоскости. Искомая плоскость, перпендикулярная плоскости (А, В, С), должна содержать в себе заданную прямую (D, Е) и перпендику­ляр, опущенный из любой точки этой пря­мой на заданную плоскость (А, В, С), (например, из точки D); 2) строят линию пересечения двух плоскостей: заданной плоскостью треугольника (А, В, С) и по­строенной, перпендикулярной ей. Задачу на определение линии пересечения двух плоскостей можно решить двумя способа­ми. Первый - построить точки пересечения двух прямых одной плоскости с другой плоскостью, т. е. использовать два раза схему нахождения точки пересечения пря­мой с плоскостью. Второй — ввести две вспомогательные секущие плоскости частно­го положения, которые одновременно пересекали бы плоскость (А, В, С) и плос­кость, перпендикулярную ей, построить их линии пересечения с заданными плоскостя­ми. Две собственные точки пересечения этих линий определяют линию пересечения дан­ных плоскостей. На примеревыполнениялиста 4 (рис. 4) в задаче 3 применен первый способ. Точки пересечения прямой а (D, Е) и перпендикуляра b (D,K) опре­деляют линию пересечения плоскостей а (А,B,C) и искомой перпендикулярной к ней; 3) определяют видимость пересекаю­щихся заданных плоскостей. Видимость плоскостей устанавливают с помощью кон­курирующих точек скрещивающихся пря­мых, принадлежащих этим плоскостям.

При решении задач 1, 2, 3 нужно помнить следующие положения ортогональных проекций.

1. Две проекции точки определяют ее положение в пространстве (относительно плоскостей проекций), так как по двум проекциям можно установить расстояние от точки до всех трех основных плоско­стей проекций.

2. Ортогональные проекции одной итойже точки располагаются на перпендикуля­ре к оси проекции, который называется линией связи.

3. Если одна проекция прямой парал­лельна оси проекции, то такая прямая па­раллельна одной из плоскостей проекции. Принадлежащий ей отрезок проецируется на одну плоскость в натуральную величину (горизонтальная, фронтальная, профильная прямые). Если обе проекции прямой па­раллельны одной из осей проекций, то такая прямая занимает проецирующее положение. Одна из ее проекций вырождается в точку.

4. Проекция отрезка прямой общего по­ложения всегда меньше отрезка в натуре.

5. Одноименные проекции параллельных прямых взаимно параллельны.

6. Точки пересечения одноименных проекций пересекающихся прямых располо­жены на одной и той же линии связи. Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не расположены на одной и той же линии связи.

7. Прямой угол проецируется на плос­кость также в прямой угол, если одна его сторона параллельна этой плоскости.

8. Горизонталь, фронталь и линии накло­на плоскости являются главными линиями плоскости. Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси X, горизонтальная проекция параллельна горизонтальному сле­ду плоскости. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси X, фронтальная проекция — фронтальному следу плоскости. Линии наклона плоскости перпендикулярны фронталям, горизонталям или профильным прямым плоскости. Угол их наклона к соот­ветствующей плоскости проекций определяет угол наклона плоскости к той же плоскости проекций.

9. Линия пересечения любой плоскости с горизонтальной плоскостью является го­ризонталью, с фронтальной — фронталью.

Лист 5

Формат А3. Выполнить две задачи на способы преобразования проекций. Пример выпол­нения листа представлен на рис.5.

 

Задача 1. Д а н о: треугольник АВС. Т р е б у е т с я: способом вращения вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проек­ций, определить величину треугольника AВС. Данные для выполнения задачи берут из табл. 2.

Указания к выполнению задачи 1. Соблюдая правила вращения геометрических фигур вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, не­обходимо выполнить два действия: 1) при­вести треугольник AВС в положение проеци­рующей плоскости, т. е. перпендикулярной плоскости проекций. Признаком перпенди­кулярности заданной плоскости плоскостям проекций на эпюре является вырождение одной из проекций плоскости треугольника (A,В,С) в прямую линию. Для получе­ния фронтально-проецирующей плоскости не­обходимо горизонталь плоскости (A,В,С) вместе с системой всех точек треугольника А, В, С поставить в положение, перпендику­лярное фронтальной плоскости проекций, а для получения горизонтально-проецирую­щей плоскости необходимо фронталь плоскости (A,В,С) со всеми точками плоскости перевести в положение прямой, перпендикулярной горизонтальной плоско­сти проекций;

2) полученную проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня, т. е. па­раллельную либо горизонтальной, либо фронтальной плоскости проекций, в зави­симости от ее положения на первом этапе преобразования. Для этого выродившуюся в прямую линию проекцию треугольника AВС изобразить в положении, параллель­ном оси X. Проекция треугольника АВС на одной из плоскостей проекций и будет являться натуральной величиной треуголь­ника AВС.

При вращении фигур вокруг осей, пер­пендикулярных плоскостям проекций, необ­ходимо учитывать следующее.

1. Линия перемещения точки (траекто­рия) представляет собой окружность. Так как плоскость траектории параллельна плоскости проекций, то проекции точки пере­мещаются: одна — по окружности, другая — по прямой, параллельной оси проекций.

 

 

Таблица 2

Номер варианта	Значение координат, мм
XA	YA	ZA	XB	YB	ZB	XC	YC	ZC

 

2. Проекция фигуры на ту плоскость проекций, на которой ось вращения проеци­руется в точку, не изменяется ни по вели­чине, ни по форме, изменяется только ее положение относительно оси проекций.

3. Ось проекций не участвует в решении задач (как это имеет место при замене плоскостей проекций), поэтому на чертеже она может быть не проведена.

 

Задача 2. Д а н о: четырехугольник ЕВСD и точка A. Т р е б у е т с я: способом замены плоскостей проекций определить расстояние от точки A до плоскости (Е, В, С, D), построить проекции этого расстояния на исходном Точки Е, В, С, D для всех вариантов имеют одинаковые координаты: E (90, 60, 10), B (60, 90, 80), C (10, 60, 80), D (40, 30, 10). Координаты точки A берут из табл. 3.

Таблица 3

Варианты
Координаты точек	Значение координат, мм
XA
YA
ZA

Указания к выполнению задачи 2. Соблюдая правила построения геометрических фигур на заме­ненных плоскостях проекций, необходимо:

1) преобразовать плоскость общего поло­жения (Е, В, С, D) в плоскость фронтально-проецирующую и построить проек­цию точки A. Положение

 

новой плоскости определяет новая ось проекций X ₁₄. Она должна располагаться перпендикулярно го­ризонтальной проекции горизонтали плоско­сти (Е, В, С, D); 2) определить рас­стояние от точки A до заданной плоскости. Оно равно отрезку перпендикуляра AK, опущенного из точки A на плоскость (Е, В, С, D), выродившуюся на новой фронтальной плоскости проекций в прямую линию; 3) получив основание перпендику­ляра K_4, построить его проекции на исход­ном чертеже задачи. Так как проекция отрезка А₄ К₄ перпендикуляра b — нату­ральная величина отрезка, то, следователь­но, его проекция на плоскостьП₁ будет параллельна оси Х₁₄. Координату Z для плоскости П₂ следует снять с плоскости проекций P₄.

При изучении способа замены плоско­стей нужно иметь в виду, что фигура не меняет своего положения в пространстве, плоскость же проекций P₁ или П₂ заменяют новой плоскостью соответственно или П_5, или П _4. Такую замену проводят последовательно, сначала заменяют одну плоскость, затем другую.

При построении проекции фигуры на новой плоскости проекций необходимо помнить, что происходит переход от одного эпюра к другому, на котором соответствующие проекции точек также расположены на линиях связи. Координата точки на новой плоскости проекций равна координате точки на заменяемой плоскости проекций.

Лист 6

 

Формат А3. Выполнить две задачи на пересече­ние многогранных поверхностей и построение развертки призмы. Пример выполне­ния листа- на рис.6.

 

Задача 1. Д а н о: координаты трехгранной пирамиды SABC и прямой четырехгранной призмы EFKM высотой 85 мм. Т р е б у е т с я: вычертить две проекции пирамиды и призмы, построить линию пересечения этих многогранников и определить ее видимость. Значения координат точек A,B,C,S,E,F,K,M берут из табл.4 в соответ­ствии с номером варианта.

Указания к выполнению задачи 1. Решение задачи начинают с выбора системы координат: осей проекций x,y,z и положения точки О – начала координат. Далее приступают к построению горизонтальных и фронтальных проекций точек S (S_1, S₂ ), A(A₁,A₂), B(B₁,B₂), C(C₁,C₂), E(E₁,E₂), F(F₁,F₂), K(K₁,K₂), M(M₁,M₂) – вершин пирамиды и призмы в масштабе 1:1 по координатам, соответствующим номеру варианта задачи.

 

 

 

Таблица 4

Грани прямой призмы располагаются перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций, то есть являются горизонтально-проецирующими плоскостями. Соответственно, и ребра призмы являются горизонтально-проецирующими прямыми. По высоте последние ограничиваются верхним основанием призмы, расположенным параллельно нижнему ее основанию на расстоянии, равном 85 мм для всех вариантов задач. Так как нижнее основание призмы располагается непосредственно в горизонтальной плоскости проекций, ее фронтальная проекция совпадает с осью проекций Х, а фронтальная проекция верхнего основания призмы располагается параллельно оси проекции Х на расстоянии, равном 85 мм.

Тонкими линиями соединяют между собой одноименные проекции вершин пирамиды и получают, таким образом, фронтальную и горизонтальную проекции трехгранной пирамиды SABC. Затем тонкими линиями соединяют между собой горизонтальные проекции вершин нижнего и верхнего оснований (их проекции совпадают) и от горизонтальных проекций вершин оснований проводят линии связи в направлении, перпендикулярном оси проекции Х, до пересечения с фронтальной проекцией верхнего основания призмы.

Далее производится анализ расположения заданных геометрических фигур на чертеже относительно друг друга и плоскостей проекций. Это позволяет составить план решения задачи, наметить последовательность требуемых графических построений и предварительно установить видимость проекций ребер многогранников на исходном чертеже.

Линия пересечения многогранников опре­деляется по точкам пересечения ребер каж­дого из них с гранями другого многогранни­ка или построением линий пересечения гра­ней многогранников. Соединяя каждые па­ры точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем линии пересечения много­гранников. Видимыми линиями пересечения многогранников будут те, которые принад­лежат их видимым граням.

Все построения выполняются с помощью чертежных инструментов тонкими линиями. Положение проекций точек следует выделять кружками с просветом диаметром 1,5 – 2 мм и обозначать арабскими цифрами с добавлением индексов, соответствующих плоскостям проекций.

Буквенные и цифровые обозначения выполняются по ГОСТ 2.304 – 81 шрифтом размером 3,5; 5 или 7 мм.

Результаты выполненных построений – проекции линий пересечения многогранников - допускается обводить цветным карандашом (красным или зеленым). Линии связи и линии дополнительных построений на чертеже необходимо сохранить.

 

Задача 2. Д а н о: две пересекающиеся поверхности: трехгран­ная пирамида и прямая четырехгранная призма.

Т р е­ б у е т с я: построить полную развертку прямой четырехгранной призмы и нанести на ней линию пересечения данных фигур. Линия пересечения поверхности наносится по результату решения задачи 1.

Указания к выполнению задачи 2. Задачу выполняют на правой половине листа. Вначале строим полную развертку призмы. Для этого проводим горизонтальную прямую и откладываем на ней четыре стороны основания призмы по ее натуральным размерам. Высота берется с фронтальной проекции, которая откладывается на вертикальных прямых, перпендикулярных сторонам призмы. Затем пристраивается верхнее и нижнее основания призмы.

Линии пересечения поверхностей наносятся на развертку с помощью ее характерных точек. Для каждой такой точки в ортогональных проекциях определяется положение образующей и направляющей линий поверхности, на пересечении которых расположена взятая точка. Строят эти линии (образующую и направляющую) на развертке и в их пересечении отмечают искомую точку линии пересечения поверхностей. Точки соединяют прямой линией.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2

 

Лист 7

 

Формат А3. Выполнить три задачи на пересечение поверхности плоскостью и прямой.Пример выполнения листа - на рис.7. Задачи 1 и 2 выполняют в левой части листа (одна под другой), а задачу 3— на правой части листа.

 

Задача 1. Д а н о: пирамида и прямая l. Т р е б у е т с я: определить точки пересечения прямой l с поверхностью трехгранной пирамиды. Все варианты задач имеют два одинаковых параметра: высоту пирамиды - 70 мм и диаметр вспомогательной окруж­ности - 60 мм, в которую вписывается треугольное основание произвольного распо­ложения по усмотрению студента. Положе­ние прямой общего положения, которая пересекает пирамиду, устанавливается сту­дентом также самостоятельно.

Указания к выполнению задачи 1. Чтобы решить за­дачу, необходимо: 1) заключить прямую во вспомогательную плоскость частного положения (фронтально-проецирующую или горизонтально-проецирующую); 2) построить линию пересечения пирамиды с этой вспомогательной плоскостью; 3) отметить точки пересечения проекций прямой с проекциями линии пересечения; 4) определить видимость.

Так как плоскость, в которую заключается прямая, частного положения, то одна из проекций фигуры сечения пирамиды совпадает с проекцией секущей плоскости, вы­родившейся в линию. Вторую проекцию сече-

ния достраивают по точкам фигуры сечения, которые лежат непосредственно на ребрах. Задача может иметь одно из трех решений: прямая пересекает пирамиду в двух точках, в одной точке (касается) и не пересекает поверхность.

 

Задача 2. Д а н о: основание конуса — окружность диаметром 60 мм, высота ко­нуса - 70 мм; прямая l. Т р е б у е т с я: определить точки пересечения прямой l с поверхностью прямого кругового кону­са. Положение прямой студент выбирает самостоятельно, учитывая характеристику прямой, указанную в табл.5.

Таблица 5

Номер варианта	Характеристика прямой l
	Нисходящая общего положения
	Фронтальная под углом к П1 45°
	Горизонтально-проецирующая
	Горизонтальная под углом к П2 30°
	Фронтально-проецирующая
	Восходящая общего положения
	Горизонтальная под углом к П2 45°
	Фронтально-проецирующая

Указания к выполнению задачи 2. Чтобы решить за­дачу, необходимо выполнить действия, ана­логичные перечисленным в указаниях к за­даче 1. При этом следует напомнить, что выбирать нужно такие вспомогательно-се­кущие плоскости, которые дают наипростей­ший контур сечения конуса: окружность и треугольник. Так, например, для задачи 2, помещенной на рис.7, вспомогательная се­кущая плоскость является горизонтально-проецирующей. Такая плоскость дает сечение в виде треу­гольника. После определения точек пересечения пря­мой с конусом не забудьте установить ви­димые отрезки прямой.

 

Задача 3. Построить три проекции ли­нии пересечения сложной поверхности с фронтально-проецирующей плоскостью и способом совмещения (вращения вокруг ли­нии уровня) определить натуральную вели­чину этого сечения. Данные для вычерчи­вания комбинированной поверхности берут из табл. 6.

Указания к выполнению задачи 3. Задачу размеща­ют на правой стороне листа (см. рис.7).Высота всей комбинированной поверхности равна 100 мм, нижняя ее часть — 35 мм. Размеры диаметров оснований поверхностей и вспомогательных окружностей, а также стороны многоугольников приведены в табл. 6. Положение секущей плоскости для своего варианта берется из табл. 6. Задачу решают в два этапа: 1) строят проекции сечения; 2) определя­ют натуральную величину сечения указан­ным способом.

Так как в данном задании для пересе­чения предложена плоскость частного по­ложения: фронтально-проецирующая, то решение задачи сводится к построению проекций ряда точек фигуры сечения задан­ной поверхности как точек, расположенных на образующих или направляющих линиях этой поверхности. Первоначально крайние и промежуточные точки сечения назначают­ся на следе секущей плоскости. Натураль­ную величину сечения определяют по тем же точкам, которые были установленына первом этапе. За ось вращения плоскости сечения выбирают фронталь плоскости се­чения, совпадающую с его осью симмет­рии. Для того чтобы избежать наложения изображений, фронталь следует размещать на свободном поле чертежа параллельно следу секущей плоскости. Каждая точка сечения будет вращаться вокруг оси в пло­скости, перпендикулярной ей. Радиус вра­щения отображен в натуральную величину на горизонтальной плоскости проекций и соответствует расстоянию от точки до про­дольной оси симметрии (оси вращения).

 

Лист 8

Формат А3. Выполнить две задачи на пересече­ние многогранных и кривых поверхностей и построение разверток поверхностей. При­мер выполнения приведен на рис. 8.

 

Задача 1. Д а н о: многогранник и кри­вая поверхность. Т р е б у е т с я: способом вспомогательно-секущих плоскостей постро­ить линию пересечения многогранной и кри­вой поверхностей, выделив ее видимые и не­видимые участки. Данные для задачи бе­рут из табл. 7.

Указания к выполнению задачи 1. Задачу выполня­ют на левой половине листа в такой по­следовательности: 1) намечают расположе­ние вспомогательных секущих плоскостей частного положения (уровня) или проеци­рующих; 2) с их помощью определяют ха­рактерные и промежуточные точки линии пересечения поверхностей; 3) полученные точки соединяют плавными кривыми или прямыми линиями, установив предваритель­но последовательность расположения точек на линии пересечения поверхностей. Види­мую часть линий контура, в том числе и линии пересечения, обводят сплошной ос­новной, а невидимую—штриховой линия­ми. При решении задач на взаимное пере­сечение поверхностей следует помнить следующие положения.

1. Чтобы построить точку, принадлежа­щую линии пересечения поверхностей, нуж­но обе поверхности рассечь вспомогатель­ной плоскостью (иногда вспомогательной поверхностью) и, найдя линии пересечения вспомогательной плоскости с заданными по­верхностями, отметить общие для них точ­ки. Плоскость следует выбирать так, чтобы линии ее пересечения с поверхностями прое­цировались в простейшие фигуры (окруж­ности или прямые). Использование несколь­ких вспомогательных плоскостей позволяет определить ряд точек линий пересечения. Соединять можно только те точки, которые расположены в одной грани многогранника.

2. Когда боковая поверхность цилиндра или призмы занимает относительно плоско­сти проекций проецирующее положение (об­разующие поверхности перпендикулярны этой плоскости проекций), то одна проек­ция линии пересечения поверхностей ста­новится известной без дополнительных по­строений: она совпадает с проекцией по­верхности.

3. Если линия, принадлежащая поверх­ности, видна не полностью, то точки пере­хода от видимой части линии пересечения к невидимой располагаются на очерке по­верхности. Видимая часть линии пересече­ния поверхностей должна быть видимой как на одной поверхности, отдельно взя­той, так и на другой.

4. Чтобы найти верхнюю или нижнюю точку линии пересечения, соответствующей грани с конусом, нужно взять такую вспо­могательную плоскость, которая должна проходить через вершину конуса перпен­дикулярно

этой грани призмы. (Для пря­мой призмы - перпендикулярно ребрам основания.)

 

Задача 2. Д а н о: две пересекающиеся поверхности - многогранник и кривая по­верхность - и линия их пересечения. Т р е­ б у е т с я: построить полную развертку од­ной из пересекающихся поверхностей и на­нести на ней линию их пересечения. По­верхность для построения развертки студент выбирает сам из двух поверхностей зада­чи 1 в соответствии со своим вариантом. Линия пересечения поверхностей наносится по результату решения задачи 1.

Указания к выполнению задачи 2. Задачу выполняют на правой половине листа в такой последовательности: 1) в кривую поверхность впи­сывают многогранник; 2) определяют натуральные величины всех ребер вписанного многогранника; 3) на плоскости чертежа строят одну из граней поверхности по ее натуральным величинам ребер и к ней по­следовательно пристраивают остальные гра­ни, пользуясь смежными ребрами; 4) соот­ветствующие вершины граней соединяют плавными кривыми линиями.

При развертывании многогранной по­верхности выполняют только вторую и третью операции. Линия пересечения по­верхностей наносится на развертку с по­мощью ее характерных точек. Для каждой такой точки в ортогональных проекциях оп­ределяют положение образующей и направ­ляющей линий поверхности, на пересечении которых расположена взятая точка. Строят эти линии (образующую и направляющую) на развертке и в их пересечении отмечают искомую точку линии пересечения поверхностей (рис. 8).

Лист 9

 

Формат А 4. Выполнить задачу на построение линии пересечения поверхностей. Пример выполнения листа представлен на рис.9.

 

Задача 1. Д а н о: две пересекающиеся кривые поверхности. Т р е б у е т- с я: спосо­бом вспомогательных секущих плоскостей по­строить линию их пересечения, выделив ее видимые и невидимые участки. Данные ва­рианта задачи берут из табл.8.

Указания к выполнению задачи 1. Задачу выполняют в такой последова­тельности: 1) определяют точки пересечения очерковых образующих одной поверхности с другой, затем второй поверхности с пер­вой; 2) определяют наивысшие и наиниз­шие точки линии пересечения; 3) определя­ют промежуточные точки линии пересече­ния; 4) все найденные точки пересечения последовательно соединяют кривой линией, учитывая их видимость.

 

 

При выборе вспомогательных секущих плоскостей необходимо помнить, что они должны пересечь одновременно обе поверх­ности и дать наипростейшие фигуры сечения. Для всех вариантов заданий вспомогательными секущими плоскостями могут быть выбраны плоскости уровня: для одних - горизонтальные, для других - вертикальные или те и другие. Точками пересечения поверхностей являются точки пересечения контуров фигур сечения поверхностей, лежащих в одной и той же вспомогательной секущей плоскости. Каждая секущая плоскость может определить от одной до четырех точек линии пересечения в зависимости от характера пересекающихся поверхностей, их расположения относительно друг друга и положения самой секущей плоскости.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 3

Лист 10

Формат А3. Основная надпись по форме 4. Выполнить две задачи, связанные с определением границ земляных работ при строительстве земляного сооружения и профиля земляного сооружения. Пример выполнения листа приведен на рис. 10.

 

Задача 1. Д а н о: топографическая поверхность, заданная горизонталями; земляное сооружение. Т р е б у е т с я: построить линии пе­ресечения откосов выемок и насыпей земляно­го сооружения (площадки и дороги) между собой и с топографической поверхностью, при­няв уклон откосов выемок 1:1; уклон откосов насыпей 1:1,5; уклон дороги 1:6.

Указания к выполнению задачи 1. Для выполнения задания необходимо начертить в масштабе 1:200 план земельного участка, рельеф которого за­дан горизонталями (рис. 11), и нанести на не­го в том же масштабе план земляного соору­жения так, чтобы центр сооружения О совпал с центром участка О и ось сооружения была наклонена к меридиану под заданным углом. Планы земляных сооружений изображены на рис. 11. Форму сооружения и угол наклона оси сооружения определяют по номеру вари­анта по табл. 9.

 

Таблица 9

Номер варианта
Тип сооружения	А	Б	В	Г	А	Б	В	Г	А	Б
Отклонение от оси меридиана, град.	С	СЗ	С	С	СВ	СЗ	ЮЗ	СЗ	СЗ	ЮВ

Листвыполняют на чертежной бумаге формата А3 карандашом. Горизонтали топографической поверхности об­водят тонкими линиями толщиной 0,1-0,2 мм. Допускается горизонтали рельефа обвести ко­ричневой тушью или цветной пастой шариковой ручки, что об­легчает последующие построения карандашом.

Контур земляного сооружения и линии пересечения откосов с топографической поверхностью и между собой обводят карандашом линиями толщиной 0,4-0,6 мм; штриховку откосов выемок и насыпей выполняют линиями толщиной 0,1-0,2 мм перпендикулярно проектным горизонталям при расстоянии между штрихами 1,5-2,5 мм. Линии построения (в том числе проектные горизонтали) должны иметь толщину 0,1-0,2 мм.

При вы­полнении задачи исходят из следующих поло­жений.

1. Точка в проекциях с числовыми отмет­ками задается своей горизонтальной проекци­ей и числом при ней (отметкой), выражаю­щим высоту этой точки над горизонтальной плоскостью, принятой за нулевую.

2. Прямая линия задается проекциями двух точек и их отметками или отметкой од­ной точки и уклоном. Во втором случае долж­но быть указано направление, в котором пря­мая опускается (стрелкой).

3. Плоскость может быть задана проекция­ми трех точек, не лежащих на одной прямой, и их отметками, двумя параллельными или пересекающимися прямыми (прямые задают­ся в соответствии с п. 2), точкой и непроходя­щей через нее прямой (см.пп. 1 и 2). Кроме того, ее можно задать масштабом уклонов (градуированной линией ската) или одной го­ризонталью и уклоном. В последнем случае указывают направление спуска плоскости.

4. Если прямые параллельны, то парал­лельны их проекции, одинаковы уклон и его направление.

5. Линия пересечения плоскостей определя­ется точками пересечения двух пар однознач­ных горизонталей этих плоскостей.

6. Линия пересечения плоскости и поверх­ности или двух поверхностей определяется точками пересечения однозначных горизонта­лей обеих поверхностей (или плоскости и по­верхности).

7. Для построения линии пересечения пря­мой с плоскостью или поверхностью нужно че­рез прямую провести плоскость общего поло­жения, задав ее произвольно выбранными горизонталями. Определив линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной пло­скостью или поверхностью, отмечают на ней точку, в которой эта линия пересекается с за­данной прямой.

8. Так как топографическая поверхность в проекциях с числовыми отметками изобра­жается большей частью с помощью горизонта­лей, то линию пересечения поверхности зем­ляного сооружения (откосов) с топографиче­ской поверхностью можно построить, соединив точки пересечения однозначных горизонталей откосов и поверхности земли (см. п. 7).

Приступая к работе над задачей, следует определить величину интервалов для откосов насыпей, откосов выемок и дороги в масштабе чертежа (1:200), затем нанести эти интервалы на масштабах уклонов дорог, откосов насыпей и выемок. Проведя проектные горизонтали, определяют их пересечение между собой и с соответствующими горизонталями земной по­верхности.

Рис.11

Задача 2. Д а н о: топографическая поверхность и земляное сооружение на ней. Т р е б у е т с я: построить профиль сооружения – сечение от вертикальной плоскости Е-Е.

Задача выполняется по результатам решения задачи 1. Положение секущей плоскости указано на рис. 11. Пример выполнения задачи приведен на рис. 11.

Указания к выполнению задачи 2. Задачу выполняют в такой последовательности: 1) в масштабе 1:200 на расстоянии 1м по высоте изображают горизонтали рельефа в пределах отметок той части сооружения, которая пересекается плоскостью Е-Е; 2) строят профиль земли; для этого измеряют и откладывают на чертеже горизонталей точки пересечения горизонталей топографической поверхности и следа секущей плоскости. Из полученных точек восстанавливают вертикальные линии до горизонталей, отметки которых определяются отметками этих точек на топографической поверхности. Пересечение одноименных горизонталей и вертикальных линий соответствует точкам профиля земли, соединяя которые плавной линией получают искомый профиль; 3) строят профиль земляного сооружения аналогично построению профиля земли.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Начертательная геометрия / Н.Н.Крылов, Г.С.Иконникова, В.Л. Николаев и др.; под ред. Н.Н.Крылова. – М: Высшая школа, 1984.

2. Виницкий И.Г. Начертательная геометрия /И.Г.Виницкий М.: Высшая школа, 1975.

3. Начертательная геометрия и черчение: метод. указ. и контрольные задания для студентов–заочников строительных специальностей вузов / сост.: В.Н.Семенов, В.В. Константинова, О.В. Георгиевский, В.П. Абарыков. – М.: Высшая школа, 1988.

 

Рис.10 Таблица 7 Таблица 6 Рис. 7 Рис. 5 Рис. 4 Рис. 3 Рис. 11