Методика определения коэффициента Пуассона

Теоретическая часть

Для характеристики тепловых свойств газа, как и всякого другого тела, пользуются особой величиной - теплоемкостью.

Теплоемкостью тела называют количество теплоты, которое нужно подвести к нему или отнять от него для изменения его температуры на 1 К:

.

Теплоемкость, отнесенная к единице массы вещества, называется удельной теплоемкостью. Она, очевидно, характеризует уже не тело, а вещество, из которого это тело состоит. Теплоемкость, отнесенная к одному молю вещества, называется молярной теплоемкостью.

Между удельной теплоемкостью - c и молярной - C существует очевидное соотношение:

,

где М - молярная масса (измеряется в кг/моль).

Теплоемкость газа зависит от условий его нагревания. В частности, газ можно нагревать при постоянном объеме V или при постоянном давлении Р. Соответственно получаем теплоемкость при постоянном объеме C_v и теплоемкость при постоянном давлении C_p.

Отношение С_p/С_v = γ является параметром при адиабатных процессах и при процессах, близких к ним (γ называют коэффициентом Пуассона).

Процесс называется адиабатным, если в этом процессе нет теплообмена газа с окружающей средой (стенки сосуда теплоизолированы). Если адиабатный процесс является равновесным (в каждый момент времени давление Р и температура Т одинаковы по всему объему), то он описывается уравнением Пуассона

РV^γ = const.

Согласно первому началу термодинамики

∆Q = ∆U +∆A,

где ∆Q - количество теплоты, сообщенное газу, ∆U - изменение внутренней энергии газа, ∆A - работа, совершенная газом над внешними телами.

Рассмотрим один моль газа. Если V = const, то ∆A = 0 и, следовательно,
С_v = ∆U / ∆Т. Если Р = const, то ∆A = Р∆V = R ∆T, так как уравнение состояния (PV = RT) справедливо в начальном и конечном состоянии газа.

Следовательно,

.

Таким образом, молярные теплоемкости C_p и С_v для идеального газа связаны соотношением

C_p = С_v + R,

где R - универсальная газовая постоянная.

C_p > С_v, так как при V = const вся сообщаемая газу теплота идет только на изменение внутренней энергии газа, тогда как при Р = const нагревание газа неизбежно сопровождается его расширением. При этом газ совершает работу, для чего приходится сообщать ему дополнительное количество теплоты.

В молекулярно-кинетической теории газов показывается, что , где i - число степеней свободы одной молекулы - число независимых координат, с помощью которых однозначно определяется положение и ориентация молекулы в пространстве.

Для одноатомных молекул i = 3 (например, инертные газы), для двух атомной жесткой молекулы (расстояние между молекулами постоянно) i = 5.

Именно такими являются молекулы N₂ и О₂ в воздухе при комнатных температурах и, следовательно, для них

.

 

Методика определения коэффициента Пуассона

Рассмотрим баллон с воздухом, герметично закрытый поршнем и соединенный с жидкостным U-образным манометром (рис 2.1).

1. Пусть первоначально температура воздуха в баллоне равна комнатной, а давление превышает атмосферное на небольшую величину Р'. Уравнение состояния воздуха в баллоне имеет вид

, (2.1)

где Р - атмосферное давление; Т - абсолютная температура газа, равная температуре окружающей среды; V - объем, занимаемый воздухом; Р' - добавочное давление (определяется по манометру), m - масса воздуха в баллоне, М - молярная масса воздуха (смесь азота и кислорода).

2. Переместим поршень вверх. При этом воздух в баллоне расширяется и охлаждается. Остановим поршень (в положении V₂) в тот момент, когда давление в баллоне станет равным атмосферному (уровни жидкости в обоих коленах манометра равны). При расширении газ совершает работу и охлаждается.

После остановки поршня воздух в баллоне нагревается до комнатной температуры (за счет теплообмена с окружающей средой). при этом давление в баллоне повышается на некоторую величину P" (Р" < Р'). Уравнение состояния воздуха в баллоне теперь имеет вид

. (2.2)

Подчеркнем, что масса воздуха в баллоне в состояниях 1 и 2 одинакова.

3. В данной работе существенным является характер перехода воздуха в баллоне из состояния 1 в состояние 2, а именно: если расширение воздуха происходит достаточно быстро, то изменение его внутренней энергии значительно превышает энергию, которая успевает за это время пройти через стенки баллона из окружающей среды, и процесс расширения можно считать адиабатным. Если процесс расширения воздуха в баллоне является равновесным (давление и температура одинаковы по всему объему), то такой процесс описывается уравнением Пуассона: РV^γ = const. Ясно, что это справедливо только при медленном расширении. При выполнении обоих из указанных условий уравнение Пуассона применимо и, следовательно,

(Р+P') V₁^γ =Р V₂^γ, (2.3)

где P - атмосферное давление.

Из (2.3) находим

, (2.4)

а из (2.1) и (2.2) следует

. (2.5)

Сравнивая (2.4) и (2.5), получаем

. (2.6)

Логарифмируя (2.6), имеем

. (2.7)

При Р' «P (при этом и Р" «P) можно воспользоваться приближением
ln(1 + x)→x при x → 0. [Убедитесь с помощью калькулятора, что при x ≤ 0,02 ошибка при замене ln(1+ x) на x не превышает 1%. А в данной работе h ≈ 0,2 м, тогда как атмосферному давлению соответствует высота водяного столба h ≈ 10 м ].

В результате получаем

, (2.8)

так как Р'=ρgh', Р"=ρgh". Таким образом, измерив h' и h", можно найти коэффициент Пуассона γ.

 

Описание установки

Экспериментальная установка состоит из металлического баллона, наполненного воздухом, который соединен с манометром и компрессором.

Рис. 2.2. Схема установки:

1 - компрессор, 2 - баллон, 3 - клапан, 4 - U -образный манометр, 5 - вентиль

 

Порядок выполнения работы

1. С помощью компрессора осторожно накачать в баллон воздух так, чтобы разность уровней жидкости в манометре стала равной 25-30 см. Закрыть клапан насоса, выждать 3-4 минуты, пока температура воздуха в баллоне не сравняется с комнатной (пока движение уровней в манометре не прекратится). По нижнему уровню мениска определить уровни жидкости L₁' и L₂' в коленах манометра. Занести значения L₁', L₂' и h' = L₁' – L₂' в табл. 2.1.

2. С помощью вентиля соединить баллон с атмосферой и держать его открытым до тех пор, пока уровни в манометре не сравняются. При этом вплоть до выравнивания каждый уровень должен двигаться в одну сторону. После этого закрыть вентиль. Воздух в баллоне будет нагреваться до комнатной температуры. Соответственно и давление будет повышаться. Через 3-4 минуты, когда движение уровней в манометре прекратится, записать значения L₁", L₂" и h"= L₁" - L₂" в табл. 2.1.

Замечание. При проведении данного эксперимента масса воздуха в баллоне не остается постоянной. Если после накачки (состояние 1) его масса m₁, то после открытия крана часть воздуха выходит из баллона (состояние 2), так что масса оставшегося в нем воздуха m₂ < m₁.

Именно для m₂ справедливо все вышесказанное при выводе формулы (2.8). Действительно, в состоянии 1 масса m₂ занимает некоторый объем V₁ < V (рис.2.3), так как на весь объем баллона V приходится масса m₁ > m₂.

А в состоянии 2 масса m₂ занимает уже весь объем баллона (V₂ = V, рис.2.3). Таким образом, для воздуха массой m₂ состояния 1 и 2 описываются формулами (2.1) и (2.2) соответственно, а переход 1 → 2 - формулой (2.3).

3. Повторить опыты не менее 10 раз.

Результаты измерений занести в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Номер опыта	L1', мм	L2', мм	h', мм	L1", мм	L2", мм	h", мм	γ
. .

4. По формуле (2.8) рассчитать γ для каждого опыта.

5. Рассчитать среднее значение γ.

6. Ошибку в определении γ рассчитать по формуле:

,

где - коэффициент Стьюдента, n - число измерений, α – коэффициент надежности (принять равным 0,95), S_γ - стандартное отклонение среднего.

7. Сравнить полученное значение γ = γ_ср + ∆γ с теоретическим значением γ для двухатомного газа.

 

Контрольные вопросы

1. Как определяются удельная и молярная теплоемкости? Какова связь между ними? Единицы измерения.

2. От чего зависит теплоемкость газов?

3. Что такое коэффициент Пуассона?

4. Какой процесс называется адиабатным и каким уравнением он описывается?

5. Почему С_р > С_v?

6. Что такое число степеней свободы молекулы?

7. Чему равно теоретическое значение коэффициента Пуассона для воздуха?

8. Как и почему меняются температура и давление воздуха в баллоне во время опыта?

9. Какое влияние оказывает на результат запаздывание при закрытии крана К₁?

 

Литература: [1].....[5]