Обратная матрица
Матрица 
называется обратной к матрице 
если AB = BA = Е; при этом пишут 
Матрица А имеет обратную только в том случае, если она невырожденная, то есть если 
. Если 
– невырожденная матрица, то
где 
алгебраические дополнения элементов 
Системы линейных алгебраических уравнений
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система уравнений вида
Система называется однородной, если свободные члены равны нулю: 
Однородная система всегда является совместной - она имеет решение 
(возможно, не единственное).
Матрицы
называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно; столбцы 
называются столбцом неизвестных и столбцом свободных членов соответственно. С учетом этих обозначений систему можно записать в матричной форме 
Решение СЛАУ с помощью обратной матрицы (матричный способ)
Система совместна при и имеет единственное решение – столбец 
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.
1. Найти обратную матрицу к матрице А и сделать проверку, если:
1) 
;
Решение. Вычислим 
.
Матрица A невырожденная, следовательно, имеет обратную матрицу.
Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A:
Тогда 
Проверка
.
2) 
.
Ответ. 1) 
; 2) 
.
2. Решить СЛАУ матричным способом:
1) 
Решение. Пусть 
, 
, 
.
Тогда систему можно записать в матричном виде 
. Умножая последнее
равенство на 
слева, получим: 
, 
.
Найдем detA: 
. Следовательно, существует обратная
матрица : 
. Желательно сделать проверку:
.
Отсюда 
.
Имеем 
, т.е. 
.
2) 
Ответ. 1) 
; 2) 
.
3. Даны 
, 
, 
. Решить матричные уравнения:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение. 1) . Умножим слева на : , .
Найдем 
, 
.
Матрица A невырожденная, т.е. имеет обратную матрицу.
.
.
2) . Умножим справа на : 
, .
.
3) . 
.
;
.
Ответ. 1) 
; 2) 
; 3) 
.
Задания для самостоятельного решения
1. Найти g (A), если:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Ответ. 1) 
; 2) 
; 3) 
.
2. Решить матричные уравнения:
1) 
; 2) 
.
Ответ. 1) 
; 2) 
.
Правило Крамера
Обозначим
(определитель 
получается из D заменой i -го столбца на столбец свободных членов). Правило Крамера состоит в том, что при 
СЛАУ совместна и имеет единственное решение 
Решение СЛАУ методом Гаусса
При решении методом Гаусса расширенную матрицу 
системы элементарными преобразованиями приводят к трапецеидальному виду. Затем, начиная с последнего уравнения, последовательно находят неизвестные.
К числу элементарных преобразований относят:
1) перестановку столбцов или строк;
2) умножение столбца (строки) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к столбцу (строке) другого столбца (другой строки), умноженного предварительно на некоторое число;
4) зачеркивание нулевого столбца (строки).
Трапецеидальной матрицей называется матрица 
имеющая вид
где 
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия.
1. Решить систему по правилу Крамера:
1) 
Решение. Находим главный определитель системы:
. Следовательно, система имеет единственное решение. Формулы Крамера:
, 
, 
.
Вычислим определители 
, 
, 
.
.
В главном определителе первый столбец заменили столбцом свободных членов.
.
.
В главном определителе второй столбец заменили столбцом свободных членов.
.
В главном определителе третий столбец заменим столбцом свободных членов.
.
Находим 
, 
, 
.
; 
; 
.
2) 
Ответ. 1) 
;
2) 
.
2. Решить СЛАУ методом Гаусса:
1)
Запишем расширенную матрицу системы и выполним эквивалентные преобразования. В результате получим:
.
Последней матрице соответствует система линейных уравнений треугольного вида, т.е имеет единственное решение:
Получим решение системы:
Метод последовательного исключения неизвестных предусматривает, что переменные можно исключать в любом порядке.
.
Последней матрице соответствует система линейных уравнений:
2) 
Запишем расширенную матрицу системы и выполним эквивалентные преобразования. В результате получим:
.
В последней матрице отбросили нулевую строку. Запишем систему линейных уравнений, соответствующую последней матрице:
Эта система является совместной и неопределенной. Перенесем одно неизвестное, например 
, в правую часть последнего уравнения системы, получим решение:
Неизвестному можно придать любые значения, поэтому система имеет бесчисленное множество решений.
Рассуждая в терминах строчного ранга матрицы, можно заключить, что ранг матрицы системы равен 3 (число ненулевых строк после применения к ней метода Гаусса), а количество свободных неизвестных равно 
(n-число неизвестных системы).
3) 
Выполнив над системой эквивалентные преобразования, получим:
.
Получим систему:
Получили противоречивый результат 
. Система несовместна (ранг расширенной матрицы, равный 4, оказался больше ранга матрицы системы, равный 3).
4) 
.
Ответ. 1) 
; 2) 
;
3) Система несовместна; 4) 
.
