Второй закон термодинамики

Несокращаемость площади черной дыры заставляет вспомнить о поведении физической величины, называемой энтропией и служащей мерой неупорядоченности любой системы. Обыденный опыт показывает, что беспорядок имеет свойство нарастать, если вещи предоставлены сами себе; чтобы увидеть это, достаточно не чинить ничего в доме. Мы можем создавать порядок из беспорядка, например, когда красим дом. Однако это требует затрат энергии, а значит, уменьшает количество доступной нам упорядоченной энергии.

Точная формулировка данной идеи носит название второго закона термодинамики. Он постулирует, что в изолированной системе энтропия со временем никогда не уменьшается. Более того, при объединении двух систем энтропия объединенной системы превышает сумму энтропий отдельных систем. Рассмотрим в качестве примера систему молекул газа в замкнутом объеме. Молекулы можно уподобить крошечным бильярдным шарам, непрерывно сталкивающимся друг с другом и ударяющим в бортики стола. Предположим, что изначально все молекулы собраны в левой части емкости при помощи перегородки. Если затем перегородку убрать, они распространятся по всему объему, заняв обе половины емкости. Спустя некоторое время они все могут случайно оказаться в правой половине или вновь соберутся в левой. Но гораздо более вероятно, что в обеих половинах будет приблизительно одинаковое число молекул. Такое состояние менее упорядоченно или более неупорядоченно, чем исходное, когда все молекулы располагались в одной половине. В этом случае говорят, что энтропия газа повышается.

А теперь представьте, что изначально имеются две емкости: одна с молекулами кислорода, другая — азота. Если соединить емкости, удалив перегородку между ними, молекулы

кислорода и азота начнут смешиваться. Через некоторое время в обеих емкостях, скорее всего, будет содержаться относительно однородная смесь кислорода и азота. Это состояние будет менее упорядоченным, а значит, обладающим более высокой энтропией, чем исходное состояние двух отдельных емкостей.

Второй закон термодинамики занимает совершенно особое место среди других физических законов. Эти другие, например закон всемирного тяготения Ньютона, абсолютны, то есть выполняются всегда. Второй же закон термодинамики носит вероятностный характер, иначе говоря, выполняется не всегда, но в подавляющем большинстве случаев. Вероятность того, что все молекулы газа через какое-то время будут обнаружены в одной половине сосуда, составляет множество миллиардов к одному, но такое может случиться.

Но если поблизости есть черная дыра, нарушить второй закон гораздо проще: достаточно поместить в нее некоторое количество вещества с высокой энтропией (например, сосуд с газом). Полная энтропия вещества вне дыры должна понизиться. Конечно, можно сказать, что полная энтропия, включая энтропию внутри черной дыры, не пойдет вниз. Но поскольку не существует способа заглянуть в черную дыру, мы никак не сможем оценить энтропию вещества внутри нее. Поэтому было бы хорошо, если бы черная дыра обладала некоторым свойством, позволяющим наблюдателям снаружи черной дыры судить об ее энтропии; она должна возрастать всякий раз, когда в черную дыру попадает вещество, несущее энтропию.

Следуя моей идее о том, что площадь горизонта событий увеличивается, когда в черную дыру попадает вещество, аспирант из Принстона Джейкоб Бекенштейн предположил, что площадь горизонта событий может служить мерой энтропии

черной дыры. Когда вещество, несущее энтропию, попадает внутрь черной дыры, площадь горизонта событий увеличивается, так что суммарная энтропия вещества вне черных дыр и площадь горизонтов никогда не уменьшатся.

На первый взгляд, это предположение исключает нарушение второго закона термодинамики в большинстве случаев. Однако оно содержит серьезную ошибку: если черной дыре присуща энтропия, то у нее должна быть также и температура. Между тем физическое тело, температура которого отлична от нуля, должно испускать излучение той или иной интенсивности. Все тот же обыденный опыт подсказывает нам, что, если накалить кочергу на огне, она начнет светиться красным и испускать излучение. Но и тела с более низкой температурой также испускают его; только мы обычно этого не замечаем, потому что оно очень слабо. Излучать они должны для того, чтобы не нарушался второй закон термодинамики. Так что черные дыры должны испускать излучение, но по определению они не должны излучать ничего. Поэтому представляется, что площадь горизонта событий черной дыры не может служить мерой ее энтропии.

Действительно, в 1972 г. я написал статью на эту тему вместе с Брендоном Картером и американским коллегой Джимом Бардиным. Мы указали, что, несмотря на все сходство между энтропией и площадью горизонта событий, существует эта самая, явно фатальная сложность. Должен признаться, что при написании статьи мною отчасти руководило раздражение против Бекенштейна, поскольку я чувствовал, что он неверно использовал мое открытие, касающееся возрастания площади горизонта событий черных дыр. Позднее, однако, выяснилось, что он был в основном прав, хотя и на неожиданный для него самого лад.

 

Излучение черных дыр

В сентябре 1973 г. во время поездки в Москву я обсудил проблему черных дыр с двумя ведущими советскими специалистами в этой области, Яковом Зельдовичем и Алексеем Старобинским. Они убеждали меня в том, что в соответствии с принципом неопределенности квантовой механики вращающиеся черные дыры должны порождать и испускать элементарные частицы. Я соглашался с их физическими аргументами, но мне не нравились математические методы, при помощи которых они рассчитывали излучение. Поэтому я занялся разработкой более совершенного математического аппарата, с которым ознакомил слушателей неформального семинара в Оксфорде в конце ноября 1973 г. В то время я еще не произвел расчетов для выяснения параметров излучения. Я ожидал обнаружить лишь излучение, предсказанное Зельдовичем и Старобинским для вращающихся черных дыр. Однако, проделав вычисления, я обнаружил, к собственному удивлению и досаде, что даже невращающиеся черные дыры должны порождать и испускать частицы с постоянной скоростью.

Вначале я подумал, что это связано с ошибочностью приближений, использованных мною при расчете. Я опасался, как бы Бекенштейн, узнав о моих выводах, не использовал их для защиты своей идеи об энтропии черных дыр, которая мне не нравилась. Однако чем больше я думал об этом, тем сильнее во мне крепло убеждение, что использованные приближения правомерны. Окончательно же меня убедило в реальности излучения черных дыр полное сходство спектра испускаемых ими частиц со спектром излучения нагретого тела.

Черная дыра испускала частицы в точности с той самой скоростью, которая не допускает нарушений второго закона термодинамики.

С тех пор аналогичные вычисления были повторены другими специалистами в разной форме. И все они подтвердили, что черные дыры должны испускать частицы и излучение, как если бы они были нагретым телом, чья температура зависит от массы черной дыры: чем больше масса, тем ниже температура. Это испускание можно трактовать следующим образом: то, что кажется нам пустым пространством, в действительности никогда не бывает совершенно пустым, поскольку это означало бы, что все поля, включая гравитационное и электромагнитное, должны в точности равняться нулю. Однако напряженность любого поля и скорость ее изменения в известном смысле подобны положению и скорости элементарной частицы. Согласно принципу неопределенности, чем точнее известное нам значение одного из этих параметров, тем менее точным будет значение второго.

Таким образом, в пустом пространстве поле не может постоянно в точности равняться нулю, потому что тогда мы имели бы сразу два точных (равных нулю) значения сопряженных величин — напряженности поля и скорости ее изменения. Вместо этого должна существовать некоторая минимальная неопределенность, квантовая флуктуация, в значении напряженности поля. Флуктуации можно представлять себе в виде пары частиц света или гравитации, которые в какое-то время появляются вместе, разлетаются в разные стороны, а затем снова сходятся и аннигилируют. Эти частицы называют виртуальными. В отличие от реальных частиц, они не могут быть непосредственно зарегистрированы детектором элементарных частиц. Тем не менее их косвенное влияние — вроде небольшого изменения энергии электронных орбит и атомов — может быть измерено и соответствует теоретическим предсказаниям с замечательной степенью точности.

По закону сохранения энергии в такой виртуальной паре одна частица должна обладать положительной энергией, а другая — отрицательной. Той, что обладает отрицательной энергией, суждена недолгая жизнь. А всё потому, что реальные частицы при обычных условиях всегда имеют положительную энергию. Поэтому она должна найти парную частицу и аннигилировать. Однако гравитационное поле внутри черной дыры настолько сильно, что в ней даже реальная частица может иметь отрицательную энергию.

Поэтому попавшие в черную дыру виртуальные частицы с отрицательной энергией могут стать реальными. В этом случае им больше нет нужды аннигилировать с парными частицами. Покинутый частицей партнер точно так же может попасть в черную дыру. Но поскольку парная частица обладает положительной энергией, ничто не мешает ей ускользнуть в бесконечность в виде реальной частицы. Для удаленного наблюдателя это будет выглядеть так, будто она испущена черной дырой. Чем меньше черная дыра, тем меньше расстояние, которое следует преодолеть частице с отрицательной энергией, чтобы стать реальной. Таким образом, скорость испускания частиц будет больше, а видимая температура черной дыры — выше.

Положительная энергия испускаемого излучения должна компенсироваться притоком в черную дыру частиц с отрицательной энергией. В соответствии со знаменитым уравнением Эйнштейна Е=mc² энергия эквивалентна массе. Поэтому приток отрицательной энергии в черную дыру уменьшает ее массу. По мере уменьшения массы сокращается площадь горизонта событий, однако это понижение энтропии черной дыры с избытком компенсируется энтропией испускаемого излучения, так что второй закон термодинамики никак не нарушается.

 

Взрывы черных дыр

Итак, чем меньше масса черной дыры, тем выше ее температура. Так что по мере того как черная дыра теряет массу, ее температура и интенсивность излучения растут. Как следствие, она теряет массу еще быстрее. Что происходит с черной дырой, когда масса ее становится крайне малой, не совсем ясно. Самое приемлемое предположение состоит в том, что она просто исчезнет в последнем чудовищном всплеске излучения, эквивалентном по мощности взрыву миллионов водородных бомб.

Черная дыра с массой, в несколько раз превосходящей массу нашего Солнца, должна иметь температуру, равную всего лишь одной десятимиллионной доле градуса выше абсолютного нуля. Это намного меньше температуры заполняющего Вселенную фонового космического излучения (около 2,7 градуса выше абсолютного нуля), так что такие черные дыры должны излучать меньше энергии, чем они поглощают, хотя и это очень мало. Если Вселенная обречена на вечное расширение, то температура фонового излучения рано или поздно станет ниже температуры черной дыры. Тогда черная дыра начнет поглощать меньше энергии, чем она излучает, и терять массу. Но ее температура настолько низка, что даже в этом случае для полного испарения черной дыры понадобится около 10⁶⁶ лет. Это намного больше возраста Вселенной, составляющего всего около 10¹⁰ лет.

С другой стороны, как вы узнали из предыдущей лекции, могут существовать первичные черные дыры очень малой массы, возникшие при коллапсе неоднородностей на самой ранней стадии формирования Вселенной. Такие дыры должны иметь гораздо более высокую температуру и значительно интенсивнее испускать излучение. Время жизни первичных черных дыр с начальной массой в миллиарды тонн должно

равняться возрасту Вселенной. А те, чья начальная масса была меньше, по всей видимости, уже полностью испарились. Однако первичные черные дыры с чуть большей массой должны до сих пор испускать излучение в форме рентгеновских и гамма-лучей, которые сродни видимому свету, но имеют гораздо более короткие длины волн. Такие дыры вряд ли можно называть черными. Они нагреты до белого каления, а мощность их излучения около десяти тысяч мегаватт.

Одна такая черная дыра могла бы питать десять крупных электростанций, если бы мы научились использовать ее энергию. Однако добиться этого довольно трудно. Черная дыра должна иметь массу земной горы, сжатую до размера атомного ядра. Попади она на поверхность Земли, не нашлось бы способа предотвратить ее падение сквозь все геологические пласты к центру планеты. Она раз за разом пронизывала бы Землю, снуя вверх и вниз, пока не остановилась бы в центре. Поэтому, если мы когда-нибудь надумаем использовать энергию излучения черной дыры, единственным местом, куда ее можно будет поместить, окажется орбита вокруг Земли. А единственным способом доставки черной дыры на такую орбиту пока представляется буксировка при помощи массивного объекта, расположенного перед черной дырой и притягивающего ее, как морковка, подвешенная перед запряженным в повозку осликом. Этот проект не похож на практическое предложение, по крайней мере для ближайшего будущего.