Лекция 7 Плоскость и прямая в пространстве.
Уравнения плоскости в пространстве.
1. Общее уравнение плоскости. Пусть плоскость задана тремя точками 
, 
и 
. Тогда ее уравнение имеет вид:
. (7.1)
Разложив определитель (7.1) по первой строке, получим уравнение:
, (7.2)
где 
, 
, 
.
Раскрыв скобки в уравнении (7.2) и обозначив 
, получим общее уравнение плоскости: 
. (7.3)
Другие формы уравнения плоскости.
а) Уравнение плоскости, проходящей через точку 
и перпендикулярно к вектору 
, имеет вид: 
. (7.4)
Вектор 
называется нормальным вектором плоскости.
б) Уравнение плоскости в отрезках на осях: 
, (7.5)
где 
– длины отрезков, отсекаемых на координатных осях, взятые с соответствующими знаками.
в) Нормальное уравнение плоскости: 
, (7.6)
где 
– направляющие косинусы перпендикуляра, проведенного из начала координат к данной плоскости, а 
– его длина.
Для приведения общего уравнения плоскости (7.3) к нормальному виду (7.6), следует умножить (7.3) на нормирующий множитель 
, где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена D в общем уравнении плоскости.
Угол между плоскостями.
Условия перпендикулярности и параллельности плоскостей.
Расстояние от точки до прямой.
Угол 
между плоскостями 
и 
определяется по формуле: 
. (7.7)
Условием параллельности плоскостей является: 
|| 
, 
или в координатной форме 
. (7.8)
Условием перпендикулярности двух плоскостей будет 
, т.е. 
или в координатной форме: 
. (7.9)
Расстояние d от данной точки 
до плоскости, заданной уравнением 
, находится по формуле:
. (7.10)
Прямая в пространстве.
Прямую в пространстве можно представить как пересечение двух плоскостей, поэтому аналитически ее можно задать системой двух линейных уравнений вида:
(7.11)
Система (7.11) определяет прямую только в том случае, когда коэффициенты 
не пропорциональны коэффициентам 
и называется общими уравнениями прямой.
Канонические уравнения прямой 
(7.12)
определяют прямую, проходящую через точку 
параллельно вектору 
, который называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой имеют вид: 
. (7.13)
Угол между прямыми.
Взаимное расположение прямых в пространстве.
Угол между прямыми 
и 
, заданными каноническими уравнениями 
и 
, (7.14)
находится по формуле: 
. (7.15)
Условие параллельности двух прямых 
и 
записывают в виде:
|| 
или 
. (7.16)
Условие перпендикулярности двух прямых 
и 
записывают в виде:
, т.е. 
, 
. (7.17)
Прямые называются компланарными, если они лежат в одной плоскости. Необходимое и достаточное условие компланарности двух прямых, заданных каноническими уравнениями, записывают в виде:
. (7.18)
Если условие (7.18) не выполняется, то прямые скрещиваются.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Возможны следующие случаи расположения прямой и плоскости:
1) Прямая параллельна плоскости.
Условие параллельности прямой 
и плоскости 
(рис. 7.1) означает, что 
, т.е. 
или 
. При этом 
.
Рис. 7.1
2) Прямая лежит в плоскости.
Условие того, что прямая l лежит в плоскости P означает, что точка 
и 
(рис. 7.2), откуда имеем: 
Рис. 7.2
3) Прямая пересекает плоскость, если 
.Для определения точки пересечения прямой 
с плоскостью 
надо совместно решить их уравнения, для чего следует воспользоваться параметрическими уравнениями прямой (7.13). В этом случае из уравнения 
находим значение параметра t, соответствующее точке пересечения. Подставляя значение t в параметрические уравнения прямой 
, получаем координаты точки 
пересечения прямой и плоскости.
Частным случаем пересечения прямой и плоскости является их перпендикулярность.
Условие перпендикулярности прямой l и плоскости P (рис.7.3) означает, что 
|| 
, т.е. 
или 
Рис. 7.3
Угол между прямой и плоскостью находится по формуле:
, (7.19)
где 
; 
(рис. 7.4)
Рис.7.4
