Лекция 5. Векторы и линейные операции над ними. Линейная зависимость и независимость векторов. Скалярное произведение векторов.
§ 5.1 Векторы: основные понятия.
В математике и ее приложениях различают два типа величин: скалярные и векторные.
Определение 5.1 Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, масса тела, объем и др.
Другие величины, такие как скорость, ускорение, представляют собой величины, задание которых имеет смысл только тогда, когда кроме их численных значений указывается и их направление в пространстве. Такие величины называются векторными.
Определение 5.2 Направленный отрезок или упорядоченная пара точек, называется вектором.
Основные понятия:
Вектор с началом А и концом В будем обозначать 
. Часто вектор обозначается одной буквой 
, 
и т.д. Если отрезок АВ соответствует вектору , то будем писать = .
Вектор 
называется противоположным вектору и обозначается 
.
Если точки А и В совпадают, то вектор 
называется нулевым, а при несовпадении этих точек – ненулевым.
Длиной 
вектора или его модулем называется длина 
соответствующего направленного отрезка. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным или ортом.
Вектор = называется параллельным прямой l (плоскости P), если либо он нулевой, либо прямая, проходящая через точки A и B, параллельна прямой l (плоскости P). Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными, а векторы, расположенные в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, – компланарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления.
Два вектора и 
называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. Равенство векторов и записывают так: = .
Из определения равенства векторов следует, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный исходному. Поэтому начало вектора можно перемещать в любую точку пространства.
Линейные операции над векторами.
П.1 Умножение вектора на число.
Определение 5.3 Произведением вектора на число 
называется вектор , имеющий направление вектора , если 
, и противоположное направление, если 
. Длина этого вектора равна произведению длины вектора на модуль числа 
.
Из определения следует, что вектор коллинеарен вектору . Результат умножения вектора на число записывается равенством 
.
Свойства произведения вектора на число:
1) для любых чисел и 
и любого вектора справедливо равенство 
;
2) если вектор 
, то для любого коллинеарного ему вектора существует, и при этом только одно, число 
, удовлетворяющее равенству 
.