Метод контурных токов (МКТ)
Выбираем независимые контуры, т.е. ячейки, включающие в себя хотя бы одну ветвь, ранее не представленную в других контурах.
Число независимых контуров N определяется соотношением:
N = m-(n-1),
где m - число ветвей в схеме (их 8), n - число узлов в схеме (узлом считается соединение трёх и более ветвей, в нашем случае их 6).
На рисунке выше представлены произвольно выбранные независимые контуры и направления контурных токов в них. Ток J44 протекает по ветви с источником тока,
и так как он единственный, то будет совпадать с заданным током источника.
Другими словами:
J44 = J = 20 A
Следовательно, составлять уравнения по II-ому закону Кирхгофа имеет смысл лишь для трёх контуров. Для них данные уравнения примут вид:
J11(R4+R6+R8) - J22(R4+R8) = -E6
J22(R1+R3+R4+R8) - J11(R4+R8) - J33R3= 0
J33(R3+R5) - J22R3= E5 - JR5
Рассчитаем систему уравнений методом Крамера и найдем контурные токи:
Теперь определим реальные токи в ветвях алгебраическим суммированием соответствующих контурных токов с учетом направления (контурные токи, совпадающие по направлению с направлением реального тока, учитываются
со знаком «+», встречные – со знаком «-»):
I1=-J22= 2.35 A I4=J22-J11= 7.16 A
I2=J11-J33= - 9.59 A I5=J33+J= 20.09 A
I3=J33-J22= 2.43 A I6=-J11= 9.51 A
Проверка по первому закону Кирхгофа
I1 = I6 – I4 = 9.51 – 7.16 = 2.35 А
I2 = -I3 – I4 = -2.43 – 7.16 = -9.59 А
I3 = I1 + I5 - J = 2.35 + 20.09 - 20 = 2.44 А
I4 = I6 – I1 = 9.51 – 2.35 = 7.16 А
I5 = -I6 – I2 + J = -9.51 + 9.59 + 20 = 20.08 А
I6 = I1 + I4 = 2.35 + 7.16 = 9.51 А
Проверка по второму закону Кирхгофа
(1ый контур): -I4(R4+R8) - I6R6 = -E6 => -7.16*(21+9)-9.51*30 =-500
(2ой контур): I4(R4+R8) - I3R3 - I1R1 = 0 => 7.16*(21+9)-2.43*40-2.35*50 = 0
(3ий контур): I3R3 + I5R5 = E5 => 2.43*40+20.09*30 = 700
Все три выражения тождественны (с учётом небольшой погрешности вычислений), а значит токи найдены верно.
Составление баланса мощности
Pпотр = I12R1 + I32R3 + I42(R4+R8) + I52R5 + I62R6
Pпотр = 276.1 + 236.2 + 1537.97 + 12108.2 + 2713.2 = 16871 Вт
Pген = E5I5 + E6I6 + J(I5R5-E5)
Pген = 14063 + 4755 – 1946 = 16872 Вт
Pпотр = Рген
Баланс мощности составлен, с учётом погрешности мощность генерируемая равна мощности потребляемой.
Метод узловых потенциалов (МУП)
Количество уравнений для схемы в МУП равно n-1, где n - число неустранимых узлов (в нашем случае n =3).
Выбор узла, потенциал которого равен 0, обычно произволен. Однако, в нашем случае предлагается принять равным нулю потенциал 4-го узла.
Токи в ветвях с ненулевыми сопротивлениями определяются с помощью обобщенного закона Ома по найденным значениям потенциалов узлов цепи. Ток в ветви с сопротивлением, равным нулю, определяется из уравнения по I-му закону Кирхгофа, составленного для любого из узлов, к которым присоединена идеальная ветвь.
φ2 = φ4 = 0
φ1(G1+G48+G6)- φ3(G1)= E6G6
φ3(G1+G3+G5)- φ1(G1)= E5G5 - J
Теперь рассчитаем систему уравнений методом Крамераи найдем потенциалы:
т.е. φ1 = 214.7 В
φ3 = 97.4 В
Применяем обобщенный закон Ома и находим токи:
Для тока I2 из уравнения по I-ому закону Кирхгофа для
второго узла:
- I2 – I4 – I3 = 0
откуда I2 = -I4-I3 = -7.159 - 2.435 = -9.59 А
Метод эквивалентного генератора (МЭГ)
По теореме об активном двухполюснике любая схема может быть представлена одной ветвью с ЭДС Еэкв и сопротивлением Rэкв (параметрами эквивалентного генератора) относительно ветви с сопротивлением R и искомым током I. В результате, исходная схема преобразуется в одноконтурную, благодаря чему искомый ток определится
по формуле:
1) Сначала определяем ЭДС эквивалентного генератора Еэкв. Для этого размыкается ветвь с искомым током. Любым удобным способом рассчитывается полученная схема и определяется напряжение холостого хода Uabxx в разрыве ветви с искомым током. Полученное напряжение и будеть определять величину и направление ЭДС эквивалентного генератора Eэкв=Uabxx
В данной схеме удобнее искать Uabxx по методу двух узлов (частный случай метода узловых потенциалов). Для этого удаляем ветвь с разрывом, составляем уравнение напряжения на контуре по II-ому закону Кирхгофа через напряжение Uxx и ток I6x и записываем уравнение напряжения U34.
Eэкв = Uхх
Uхх+I6xR6 = E6
=> Uxx = E6 – I6xR6
где I6x = (-U34 + E6)/(R1+R6) = 4.54 А
U34 = φ3(G16+G3+G5) — φ4*0 = E6G16 + E5G5 – J
возвращаясь к исходному,
Еэкв = Uxx = E6 – I6xR6 = 363.3 В
2) Находим внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Rэкв.
Рассматриваемая схема преобразуется в пассивную, для чего все источники энергии удаляются из схемы, но сохраняются их внутренние сопротивления (на месте источника ЭДС остаются «провода», а на месте источников тока сохраняется «разрыв»). Рассчитывается входное сопротивление Rвх пассивной схемы относительно зажимов ветви с искомым током (без учета сопротивления этой ветви), определяющее сопротивление эквивалентного генератора (Rэкв=Rвх=Rab).
Зная Eэкв и находим по описанной выше формуле:
= 7.16 А
Вывод: в результате выполнения расчетно-графического задания №1, мною были приобретены необходимые навыки анализа линейных электрических цепей постоянного тока, разработано умение применять различные методы для расчёта токов в электрических цепях (МКТ, МУП, МЭГ), а также умение проверять правильность расчетов при помощи законов Кирхгофа и составления баланса мощности.