Системы счисления
Основные определения
Система счисления - совокупность приемов записи чисел. Алфавит системы счисления - упорядоченное множество символов для записи чисел. Цифра - элемент алфавита системы счисления. Основание системы счисления - количество цифр в алфавите. Система счисления определяет способ записи чисел, при котором используются цифры алфавита.
Позиционные системы счисления - системы, в которых значение каждой цифры зависит от ее места в изображении числа. Позиционные системы счисления также называются аддитивно-мультипликативными. Непозиционные системы счисления - системы, в которых значение каждой цифры не зависит от ее места в изображении числа.Непозиционные системы счисления также называются аддитивными.
Примеры систем счисления:
- Десятичная система счисления:
позиционная (аддитивно-мультипликативная), алфавит {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. - Римская система счисления:
непозиционная (аддитивная), алфавит {I, V, X, L, C, D, M}, где I =1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.
Правила построения чисел: - Если цифра справа меньше либо равна цифре слева, то эти цифры складываются (например, VII=7, XVI=16).
- Если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой (например, IV=4, XL=40).
Вид числа в позиционной системе счисления
Пусть имеется позиционная система счисления с основанием P и алфавитом AP ={0,1,2,..., P } и вещественное число X, записанное цифрами этого алфавита в виде a n a n-1 a n-2...a 1 a 0,a -1 a -2...a -m (цифры в записи числа - разряды; разряды нумеруются с 0; n - количество разрядов в десятичной части числа, m - количество разрядов в дробной части числа). Тогда X представимо в виде полинома X =a nPn +a n-1Pn-1 +...+a 1P1 +a 0P0 +a -1P-1 +a -2P-2 +...+a -mP-m.
Основание системы счисления показывает соотношение весов цифр соседних разрядов.
Пример:
1237,089=1*103+2*102+3*101+7*100+0*10-1+8*10-2+9*10-3
Двоичная система счисления
В компьютерах используется в основном двоичная система счисления. Одна из основных причин - для ее реализации нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями ("есть ток"-"нет тока" и т.д., а не, например, с десятью, - как в десятичной системе счисления). Алфавит A2={0,1}.
Таблица сложения
| + | ||
Таблица умножения
| * | ||
Примеры:
101112+11012=1001002; 101112*11012=1001010112; 101112-11012=10102. (Проверьте вручную, используя таблицы сложения и умножения!)
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Двоичная система счисления приводит к громоздкой записи чисел, поэтому для кодирования используют также 8-ю и 16-ю системы счисления. Алфавит A8={0,1,2,3,4,5,6,7}. Алфавит A16={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}(используются латинские буквы, т.к. для записи алфавита не хватает арабских цифр).
Изображение чисел одной системы счисления с помощью цифр другой системы счисления
Для изображение чисел системы счисления с основанием P с помощью цифр системы счисления с основанием Q (Q < P) используется смешанная система счисления (Q-P) -ичная со старшим основанием P и младшим основанием Q. Для представления числа в смешанной системе счисления каждая его цифра из AP заменяется на соответствующую цифру из AQ, причем используется всегда такое количество Q -ичных разрядов, которое достаточно для представления любой цифры из AP.
Примеры:
Для изображения любой 10-чной цифры требуется 4 двоичных разряда. Тогда 72310=0111 0010 00112-10. Для изображения любой 8-чной цифры требуется 3 двоичных разряда. Тогда 7238=111 010 0112-8.
Перевод чисел из некоторой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления
Пусть имеется число X, записанное P -ичной системе счисления в виде a n a n-1 a n-2...a 1 a 0,a -1 a -2...a -m и требуется найти представление X в 10 -й системе счисления.
Для перевода необходимо вычислить полином X =a nPn +a n-1Pn-1 +...+a 1P1 +a 0P0 +a -1P-1 +a -2P-2 +...+a -mP-m, где цифры a i заменяются их десятичными изображениями и операции выполняются в 10-й системе счисления.
Примеры:
Пусть требуется перевести 5478 в 10-чную систему счисления. Запишем число в виде в виде полинома и выполним действия в 10-чной системе счисления. Получим 5*82+4*81+7*80=359. Таким образом, 5478 есть 35910.
Пусть требуется перевести DF,316 в 10-чную систему счисления. Запишем число в виде в виде полинома и выполним действия в 10-чной системе счисления. Получим 13*162+15*161+3*16-1=223,1875. Таким образом, DF,316 есть 223,187510.
