Лекции.Орг


Поиск:




Свойства неопределенного интеграла.




Таблица основных интегралов

Пользуясь определением первообразной функции, можно доказать следующие свойства неопределенного интеграла.

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Действительно, используя формулу du = (x) dx и первое свойство, получим

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

Действительно, так как dF (x) = (x) dx, то , т.к. F (x)– есть первообразная для F ¢(x).

4) Константу можно выносить за знак неопределенного интеграла: .

Действительно, по свойству первому, и

. Значит, и есть первообразные одной и той же функции Аf (x), поэтому, по теореме 1.1, они равны между собой с точностью до константы.

5) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых в отдельности:

Пусть , а . Тогда = (F (x) + C 1) ± (G (x) + C 2) = (F (x) ± G (x))+(C 1 ± C 2) = (F (x) ± G (x))+ C = – ч.т.д.

Заметим, что это свойство можно распространить на сумму любого конечного числа слагаемых. Свойства 4 и 5 можно объединить в одно, называемое свойством линейности неопределенного интеграла

6) Если , то для любой дифференцируемой функции и = и (х) имеет место равенство . Это свойство называется свойством инвариантности неопределенного интеграла.

Докажем его. По условию, F (x) есть первообразная для f (x), т.е. F ¢(x) = f (x). Пусть и = и (х) любая дифференцируемая функция. Тогда

f (u) du = f (u (x)) du (x) = f (u (x)) u ¢(x) dx.

Доказать свойство 6 – значит, доказать, что F (u) = F (u (x)) есть первообразная для функции f (u (x)) u ¢(x). Но это действительно так, поскольку по правилу дифференцирования сложной функции имеем

Значит, . Ч.т.д.

В частности, из этого свойства следует, что

, ,

 

Поскольку операция интегрирования является обратной операции дифференцирования, то каждой из ранее доказанных формул дифференцирования соответствует обратная ей формула интегрирования. Составим таблицу, в которой каждой формуле дифференцирования поставим в соответствие обратную ей формулу интегрирования (будем полагать, как обычно, что х – независимая переменная, а >0, a ÎR и СÎR – константы):

1. С¢ = 0 1.
2. х ¢ = 1 2.
3. 3.
4. 4.
5. (ах)¢ = ах ln a 5.
6. (ex)¢ = ex 6.
7. (cos x)¢ = – sin x 7.
8. (sin x)¢ = cos x 8.
9. 9.
10. 10.
11. , 11.
12. , 12.

Для удобства вычислений дополним таблицу еще несколькими часто встречающимися интегралами:

13.
14.
15.
16.

Рассмотрим примеры использования свойств интегралов и табличных формул.

Пример1.

а)

.

б)

.

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2016-11-23; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 275 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Начинайте делать все, что вы можете сделать – и даже то, о чем можете хотя бы мечтать. В смелости гений, сила и магия. © Иоганн Вольфганг Гете
==> читать все изречения...

801 - | 734 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.008 с.