Таблица основных интегралов
Пользуясь определением первообразной функции, можно доказать следующие свойства неопределенного интеграла.
1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
2) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: 
Действительно, используя формулу du = u¢ (x) dx и первое свойство, получим
3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: 
Действительно, так как dF (x) = F¢ (x) dx, то 
, т.к. F (x)– есть первообразная для F ¢(x).
4) Константу можно выносить за знак неопределенного интеграла: 
.
Действительно, 
по свойству первому, и
. Значит, 
и 
есть первообразные одной и той же функции Аf (x), поэтому, по теореме 1.1, они равны между собой с точностью до константы.
5) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых в отдельности: 
Пусть 
, а 
. Тогда 
= (F (x) + C 1) ± (G (x) + C 2) = (F (x) ± G (x))+(C 1 ± C 2) = (F (x) ± G (x))+ C = 
– ч.т.д.
Заметим, что это свойство можно распространить на сумму любого конечного числа слагаемых. Свойства 4 и 5 можно объединить в одно, называемое свойством линейности неопределенного интеграла
6) Если 
, то для любой дифференцируемой функции и = и (х) имеет место равенство 
. Это свойство называется свойством инвариантности неопределенного интеграла.
Докажем его. По условию, F (x) есть первообразная для f (x), т.е. F ¢(x) = f (x). Пусть и = и (х) любая дифференцируемая функция. Тогда
f (u) du = f (u (x)) du (x) = f (u (x)) u ¢(x) dx.
Доказать свойство 6 – значит, доказать, что F (u) = F (u (x)) есть первообразная для функции f (u (x)) u ¢(x). Но это действительно так, поскольку по правилу дифференцирования сложной функции имеем
Значит, 
. Ч.т.д.
В частности, из этого свойства следует, что
, 
,
Поскольку операция интегрирования является обратной операции дифференцирования, то каждой из ранее доказанных формул дифференцирования соответствует обратная ей формула интегрирования. Составим таблицу, в которой каждой формуле дифференцирования поставим в соответствие обратную ей формулу интегрирования (будем полагать, как обычно, что х – независимая переменная, а >0, a ÎR и СÎR – константы):
| 1. С¢ = 0 | 1. 
|
| 2. х ¢ = 1 | 2. 
|
3. 
| 3. 
|
4. 
| 4. 
|
| 5. (ах)¢ = ах ln a | 5. 
|
| 6. (ex)¢ = ex | 6. 
|
| 7. (cos x)¢ = – sin x | 7. 
|
| 8. (sin x)¢ = cos x | 8. 
|
9. 
| 9. 
|
10. 
| 10. 
|
11.  ,
| 11. 
|
12.  ,
| 12. 
|
Для удобства вычислений дополним таблицу еще несколькими часто встречающимися интегралами:
13.  
|
14.  
|
15. 
|
16. 
|
Рассмотрим примеры использования свойств интегралов и табличных формул.
Пример1.
а) 
.
б) 
.
