Гармоникалық осциллятор. Фонондар

 

Гармоникалық осциллятор (ГО) деп квази серпімді күштер әсерінен бірөлшемді қозғалыс жасай алатын бөлшекті айтады. Көптеген модельдерде тербелетін атомдар шын мәнінде гармоникалық осциллятор ретінде қарастырылады. Гармоникалық осциллятордың потенциалық энергиясы ( – серпімділік коэффициенті), гармоникалық осциллятордың меншікті жиілігі . Осыны ескерсек . Бірөлшемді жағдайда Шредингердің стационар теңдеуі мына түрде болады:

, (5.7)

мұндағы – осциллятордың толық энергиясы. Толық энергияның меншікті мәндері

, мұндағы (5.8)

Гармоникалық осциллятор деңгейлері эквидистантты, яғни бір-бірінен тең ара қашықтықта орналасқан (5.2-сурет). Энергияның ең аз мөлшері нөлдік энергия деп аталады. Нөлдік энергияның болуы анықталмағандық қатынасынан шығады. Осциллятордың толық энергиясына арналған классикалық өрнек:

;

Яғни, және бір мезгілде нөлге тең бола алмайды, осциллятор энергиясы нөл болуы мүмкін емес.

Нөлдік энергияның бар екендігін төменгі температураларды кристалдардан жарықтың шашырауына жасалған тәжірибелер дәлелдеді. Шашыраған жарықтың қарқындылығы температура төмендеген сайын нөлге ұмтылмайды, ал қандай да бір шекті мәнге ұмтылады екен. Бұл жуық температурада да атомдар тербелістерінің тоқтамайтынын көрсетеді.

Кванттық механика әртүрлі үрдістердің ықтималдығын есептеуге мүмкіндік береді. Көршілес деңгейлер арасында ғана өтулер болуы мүмкін, яғни гармоникалық осциллятор үшін таңдап алу ережесі мынадай: .

Гармоникалық осцилятор энергиясы үлес түрінде -ге өзгеріп отырады. Кванттық механика микробөлшектердің кез келген өзара әсерлесулерін бөлшектермен алмасуға негізделген (электромагниттік өзара әсерлесулерде – фотондармен алмасу, күшті өзара әсерлесулер – пиондармен (немесе кварктік модельдерде глюондармен) және т.б.) микробөлшектердің мінез-құлығын сипаттайтын теория.

Кванттық механикада кристалдық тордағы атомдар арасындағы энергия алмасу квазибөлшектер –фонондармен болады.

Осцилляторлар алмасатын қалыпты тербелістер энергиясының минималь порциясы –фонондар деп аталады. Фонондар – квази бөлшектер, оларды кристалдан бөліп алуға болмайды. Бірақ та, фонондар кәдімгі бөлшектер сияқты энергия мен импульске ие. Кристалл арқылы өтетін дыбыс толқындар жүйесі кванттық тұрғыдан кристалды толтырып тұрған фонондық газға эквивалентті. Фонондар – бозондар, олар Паули принципіне бағынбайды және Бозе-Эйнштейн статистикасымен сипатталады (5.3-сурет). , .

Шынында да энергияcы -ге тең фонондардың орташа саны, бірақ та -ді -ге көбейтіп, фонондардың орташа санын ааламыз:

. (5.9)

Фонондар энергиясын қалыпты тербелістер энергиясымен шатастыруға болмайды: фонон – тербелетін атомдардың бір-бірімен ауыстыратын энергиясы. Осциллятордың бөлінбейтін бөлігі бар, ол нөлдік тербелістер, сондықтан қалыпты тербелістердің орташа энергиясы мынаған тең:

. (5.10)

 

Диэлектриктердің жылу сиымдылығы (Дебай теориясы)

 

Диэлектриктерде (және жоғары атомдық жартылай өткізгіштерде) еркін заряд тасушылар жоқ немесе өте аз. Кристалдың энергиясы тек қана кристалдық тордың энергиясымен анықталады. Жылу сиымдылық . Сонымен, кристалдық тордың энергиясын анықтау керек.

, (5.11)

мұндағы

(5.12)

. (5.13)

Теңдеудің бірінші мүшесі – кристалдық тордың нөлдік энергиясы.

.

Заттың бір молі үшін және деп ауыстырамыз.

. (5.14)

Ендеше: (5.15)

Өлшемсіз айнымалыға ауысу ыңғайлы, сонда

Þ ; (5.16)

, Þ (5.17)

. (5.18)

Жоғары және төменгі температуралар аймақтарын жеке түрді қарастырамыз.

1) Жоғары температуралар аймағы, .

болады, яғни – аз шама.

Қатарға жіктеуді қолданамыз:

Þ (5.19)

;

(5.20)

Бір моль үшін :

; (5.21)

Дюлонг және Пти заңын алдық: және температураға байланысты емес. Қатты дене атомында 6 еркіндік дәрежесі бар: үш өлшемді координата осьтері бойындағы серпімді тербелістер кинетикалық және потенциалық энергияларға байланысты. Сонымен: .

(Қатты денені қыздырғандағы көлем өзгерісін ескермеуге болады, ).

2) Төменгі температуралар аймағы, .

Бұл кезде . Ендеше

Þ

(5.22)

(5.23)

– бұл төменгі температураларға арналған Дебай заңы.

 

Дебай теориясының экспериментпен сәйкестілігі 5.4-суретте көрсетілген. Дебай өз теориясын 1912 жылы ұсынды. Бұдан ертерек (1908 жылы) А.Эйнштейн өзінің жылу сиымдылық теориясын ұсынған. Ол ең алғаш рет осциллятор энергиясы мәндерінің дискреттілігін қолданды және олар бір-біріне тәуелсіз деп алып, мына заңды алды: . Бұл заң төменгі температуралар аймағында эксперимент нәтижелерімен сәйкес келмейді.

Әртүрлі температураларда тәуелділігі неге әртүрлі? болған кезде, артқанда тербелістер амплитудалары ғана артады: , . Төменгі температуралар аймағында тербелістер амплитудалары артады және ; (, , ендеше, ); (5.9), .