Значения критерия Стьюдента

Число степеней свободы f 1
Значение коэффициента	12.71	4.30	3.18	2.78	2.57	2.45	2.36

 

Если коэффициент не удовлетворяет критерию Стьюдента, то он считается незначимым и приравнивается к нулю.

Проверка адекватности (соответствия) полученного уравнения регрессии экспериментальным данным проводится с помощью критерия Фишера. Для этого вычисляются

, F = ,

где – оценка дисперсии адекватности; B – число значимых коэффициентов уравнения регрессии; yэ_j, yp_j – экспериментальное и рассчитанное по найденной математической модели значения y в j -м опыте.

Определяется также табличное значение критерия Фишера F_Т из табл. 21.2 по числу степеней свободы f 1 и числу степеней свободы f 2 = N – B.

Если F < F_Т, то уравнение регрессии рассматривается как модель исследуемого процесса.

 

Таблица 21.2

Коэффициенты критерия Фишера

Число степеней свободы f 1	Число степеней свободы f 2
	161.40	199.50	215.70	224.60	320.20	234.00
	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33
	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94
	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16
	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95
	5.99	5.14	4.76	4.53	3.39	4.28
	5.99	4.74	4.35	4.12	3.97	3.97

 

Если полученное уравнение не адекватно процессу, то нужно перейти к более сложному виду математической модели, вновь провести опыты и обработать их результаты.

Если уравнение адекватно процессу, то нужно от кодированных переменных перейти к физическим.

Задание для выполнения на компьютере

1. В табл. 21.3 приведены значения входных и выходных параметров некоторого процесса. В качестве эмпирической формулы выбрать полином второй степени и составить программу получения его коэффициентов. Номер варианта определяет преподаватель.

2. Определить коэффициенты математической модели процесса в виде полинома второй степени с помощью приложений Mathcad и Excel. Результаты сравнить между собой.

 

Таблица 21.3

Исходные данные для расчета

№ п/п	Переменные	Значения переменных
	x	2.1	2.7	3.3	3.8	4.2	4.9	5.6	6.1	6.8
y	1.2	1.6	2.1	2.4	2.5	2.8	3.4	3.8	4.0
	x	0.2	0.7	1.1	1.6	2.2	2.3	3.0	3.9	4.3
y	6.3	10.6	14.2	15.7	15.9	15.5	12.5	5.0	0.2
	x	–5.0	–4.2	–3.5	–2.8	–1.9	–1.2	–0.3	0.8	1.3
y	8.8	4.3	1.8	–0.2	–0.8	–0.5	1.8	7.6	12.2
	x	0.0	0.6	1.3	1.8	2.7	3.1	3.9	4.2	5.1
y	10.2	8.2	6.0	5.1	1.5	0.8	–1.6	–2.8	–5.5
	x	–0.4	–3.5	–2.4	–2.0	–0.8	0.5	1.4	2.5	3.8
y	–1.6	–1.4	–1.1	–0.9	–0.7	–0.5	–0.4	–0.2	0.1
	x	3.1	3.7	4.3	4.8	5.2	5.9	6.6	7.1	7.8
y	1.2	1.6	2.1	2.4	2.5	2.8	3.4	3.8	4.0
	x	0.2	0.7	1.1	1.6	2.2	2.3	3.0	3.9	4.7
y	6.3	9.6	13.2	14.7	14.9	14.5	11.5	4.0	2.1
	x	–3.0	–2.2	–1.5	–1.1	–0.9	–0.2	0.3	0.8	1.3
y	8.8	4.3	1.8	–0.2	–0.8	–0.5	1.8	7.6	12.2
	x	0.0	0.6	1.3	1.8	2.7	3.1	3.9	4.2	5.1
y	12.2	9.2	8.0	7.1	0.5	0.8	–2.6	–3.8	–6.5
	x	–5.4	–3.5	–2.4	–2.0	–0.8	0.5	1.4	2.5	3.4
y	–1.6	–1.1	–0.8	–0.7	0.7	1.4	2.1	3.2	3.9
	x	4.1	5.7	6.3	6.8	7.2	7.9	8.6	9.1	9.8
y	1.2	1.6	2.1	2.4	2.5	2.8	3.4	3.8	4.0
	x	0.2	0.7	1.1	1.6	2.2	2.3	3.0	3.9	4.3
y	7.3	11.6	16.2	17.7	17.9	15.5	12.5	5.0	0.2
	x	–3.0	–2.2	–1.5	–0.8	0.2	0.3	1.3	1.8	2.3
y	8.8	4.3	1.8	–0.2	–0.8	–0.5	1.8	7.6	12.2
	x	0.0	0.6	1.3	1.8	2.7	3.1	3.9	4.2	5.1
y	20.2	28.2	26.0	25.1	21.5	20.8	11.6	12.8	15.5
	x	0.4	1.5	2.4	2.8	3.1	4.5	5.4	5.5	6.8
y	–1.6	–1.3	–1.0	–0.8	–0.7	–0.4	–0.2	–0.2	0.3

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Задачу оптимизации в общем виде можно сформулировать так: определить значения входных параметров x ₁, x ₂, …, x_n некоторого процесса, которые обеспечивают максимум или минимум целевой функции f (x ₁, x ₂, …, x_n), характеризующей показатели процесса, и удовлетворяют ограничениям, если они присутствуют.

Метод сканирования

Рассмотрим использование метода сканирования на примере для оптимизации процесса, имеющего два входных параметра x₁, x₂ и выходной параметр – y. Пусть требуется определить оптимальные значения x ₁ и x ₂, которые обеспечивали бы минимум целевой функции

y = f (x ₁, x ₂)

и удовлетворяли ограничениям:

a 1 <= x ₁ <= b 1, a 2 <= x ₂ <= b 2

g (x ₁, x ₂) > 0

(последнее ограничение может отсутствовать).

Метод сканирования заключается в нахождении значений x ₁ из интервала [ a 1, b 1], начиная с a 1 и до b 1 с шагом h 1 и определении значений x ₂ из интервала [ a 2, b 2], начиная с a 2 и до b 2 с шагом h 2. Для всех значений x ₁ и x ₂, удовлетворяющих ограничениям g (x ₁, x ₂) > 0, нужно вычислить значения целевой функции y = f (x ₁, x ₂).

Те значения x₁ и x₂, для которых значение целевой функции минимально, являются искомым решением.

Рассмотрим алгоритм метода сканирования:

1. Ввод исходных данных: a 1, b 1, h 1, a 2, b 2, h 2 инекоторого числа A, заведомо большего, чем значение целевой функции.

2. Вычисление yopt = A, x 1 opt = a 1, x 2 opt = a 2.

3. x ₁ = a 1

4. x ₂ = a 2

5. Проверка ограничения: если ограничение не выполняется, т. е. g (x ₁, x ₂) <= 0, то переход к п. 8, иначе – переход к следующему пункту.

6. Вычисление целевой функции y = f (x ₁, x ₂).

7. Если y < yopt, то yopt = y, x 1 opt = x ₁, x 2 opt = x ₂, иначе – переход к следующему пункту.

8. Вычисление x ₂ = x ₂ + h 2.

9. Если x ₂ <= b 2, то переход к п. 5, иначе – переход к следующему пункту.

10. Вычисление x ₁ = x ₁ + h 1.

11. Если x ₁ <= b 1, то переход к п. 4, иначе – переход к следующему пункту.

12. Вывод оптимальных значений x 1 opt, x 2 opt и минимального значения целевой функции yopt.

Метод случайного поиска

Рассмотрим применение метода случайного поиска для оптимизации процесса на примере, приведенном выше. Идея метода основана на многократном (N раз) вычислении целевой функции y для значений x ₁ и x ₂, выбранных из отрезков [ a 1, b 1] и [ a 2, b 2] случайным образом. Те значения x ₁ и x ₂, при которых целевая функция минимальна и удовлетворяются ограничения и являются решением.

Для определения случайного числа x на отрезке [ a, b ] можно использовать встроенную функцию Rnd. Тогда x = (b – a) × Rnd (1) + a.

Алгоритм метода случайного поиска:

1. Ввод исходных данных: a 1, b 1, a 2, b 2,количества опытов N ичисла A, заведомо большего, чем значение целевой функции.

2. Вычисление yopt = A, x 1 opt = a 1, x 2 opt = a 2.

3. i = 1.

4. Вычисление x ₁ = (b 1 – a 1) × Rnd (1) + a 1, x ₂ = (b 2 – a2) × Rnd (1) + + a 2.

5. Проверка ограничения: если g (x ₁, x ₂) <= 0, то переход к п. 8, иначе – переход к следующему пункту.

6. Вычисление целевой функции y = f (x ₁, x ₂).

7. Если y < yopt,то yopt = y, x 1 opt = x ₁, x 2 opt = x ₂, иначе – переход к следующему пункту.

8. i = i + 1.

9. Если i <= N, то переход к п. 4, иначе – переход к п. 10.

10. Вывод оптимальных значений x 1 opt, x 2 opt и минимального значения целевой функции yopt.