Геометрическая интерпретация смешанного произведения

т.к. площадь параллелограмма – произведение двух сторон на Sina- между ними – это модуль векторного
произведения.

- это расстояние от конца вектора с до плоскости векторов а и в.

дает объем параллелипипеда, построенного на этих трех векторах.

числение смешанного произведения.

Результат векторного произведения (формула 1) умножаем скалярно на вектор .

Уравнение плоскости./вывод/

Если , то вектора будут компланарны.

Три ненулевых вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.т.к

1. Если два из трех вектора коллиниарны (тогда sina=0), то три вектора компланарны.

2. Если Cosb=0, то <в=90*, тогда вектор перпендикулярен к нормали к плоскости, образованной векторами , т.е вектор с лежит в плоскости векторов

Вектор , - координаты конкретной точки, лежащей в плоскости.

, ,

Уравнение плоскости имеет вид:

Заметим, что если дано уравнение плоскости, то нам известны координаты нормали.

Расстояние от точки до плоскости

исходная точка. KN- нормаль, точка Е

произвольная точка плоскости.

Расстояние равно- МК=ЕМ*cos(a).

Используем скалярное произведение векторов.

Расстояние от точки М до плоскости: - вектор нормали.

Получаем формулу:d= .преобразуем,

d= т.к. точка Е принадлежит плоскости, то её координаты обращают уравнение плоскости в верное равенство.

Задачи:

3. (из ЕГЭ) В единичном кубе АВСDА1В1С1D1найти расстояние от точки С1 до плоскости АВ1С

4. (из ЕГЭ)Ребро АD пирамиды АВСD- перпендикулярно плоскости основания. Найти расстояние от вершины А до плоскости ЕМК, где Е и М – середины ребер АВ, АС, АК:КD=3:1.АD=4, АВ=АС=5, ВС=6

Задачи:

1. Найдите острый угол между плоскостями 2х-у-3z+5=0 и х+у-2=0.

2. Составить уравнение плоскости:

a. Которая проходит через точку М(2,1,-1) и имеет нормальный вектор п(1,-2,3)

b. Проходит через точку М(3.-1,2) и перпендикулярно вектору МК, К(4,-2,-1)

3. Установить компланарны ли вектора а(2,3,-1),в(1.-1,3),с(1,9,-11)

4. Даны точки А(1,0,1),В(-2,2,1),С(2,0,3). Найдите уравнение плоскости АВС.

5. Даны точки А(1,0,1),В(-2,2,1),С(2,0,3) и D(0,4,-2). Найдите острый угол между плоскостями АВС и ВСD.

6. Даны точки А(1,0,1),В(-2,2,1),С(2,0,3) и D(0,4,-2). Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС.

7. Дан параллелепипед А(1,2.3), В(9,6.4), D(3,0,4) А1(5,2,6).Вычислить

a. Объем параллелепипеда

b. Угол между АС1 и плоскостью (АВС)

Задания из ЕГЭ

1. В кубе АВСDА1В1С1D1, плоскость Р проходит через диагональ А1С1 и середину ребра DD1. Найдите расстояние от середины ребра СD до плоскости Р, если ребро куба равно 4.

2. В кубе АВСDА1В1С1D1 найдите тангенс угла между прямой ВС и плоскостью, проходящей через точки А1,D и М- середину грани А1В1С1D1.

3. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 АА1=1,АВ=1,M и N середины граней ВВ1СС1(пересечение диагоналей) и А1В1С(точка пересечения медиан). Найти угол между прямой MN и плоскостью ВВ1С1

4. В правильной четырех угольной пирамиде SАВСD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью SАD.

5. Стороны основания правильной треугольной пирамиды SАВС равна 6, а боковое ребро равно . найти синус угла между основанием АВС и отрезком, соединяющим середины ребер SС и АВ.

6. В правильной шестиугольной пирамиде SA…F боковые ребра равны 2, а стороны основания 1. Найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF

Задания для домашней работы:

1. Даны точки А(-3,0,1) В (2,1,-1),С(-2,2,0) и D(1,3,2)

Найдите:

· Уравнение плоскости АВС.

· Острый угол между плоскостями АВС и ВСD.

· Расстояние от точки D до плоскости АВС.

7. В кубе АВСDА1В1С1D1, плоскость Р проходит через А1,С и середину ребра DС1. Найдите расстояние от вершины D1 до плоскости Р, если ребро куба равно 6.

Уравнение прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой.

В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1, АD=4, АВ=2, АА1=6. Найти расстояние от точки А до прямой ЕК, Где ЕD:ЕD1=1:5, К- Середина отрезка С1В1.

Решение. АМ расстояние от точки А до прямой ЕК. А(0,0,0),D(4,0,0), Е(4,0,1),К(2,2,6) М(х,у,z), вектора ЕМ и ЕК коллиниарны,