Комплексне число як вектор

Модуль к.ч.

 

Модулем числа називається невід’ємне число .

Модуль дійсного числа дорівнює його абсолютній величині. Справді, якщо , то .

Приклади.

1) .

2)

3) .

4) Показати, що модулі спряжених чисел рівні.

Розв¢язання. Досить обчислити модулі спряжених чисел

 

4.6. Додавання і віднімання к.ч.

 

Приклади

1. .

2. .

Обчислити самостійно

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. .

8. . 9. . 10. .

 

Множення к.ч.

 

Множення к.ч. виконуємо згідно правила (вважаючи, що ):

Приклади.

.

Правильна тотожність Дійсно,

 

Спростити самостійно

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

6. . 7. .

 

4.8. Ділення к.ч.

 

Ділення к.ч. виконується згідно правила (при умові ):

Приклади.

1)

2)

3) Розв’язати рівняння

Розв’язання. Відповідь: .

Перевірка:

 

Спростити самостійно вирази

1. 2. 3. .

Відповіді. 1. . 2. . 3. .

 

Комплексне число як точка площини

 

У вибраній прямокутній системі координат число зображається точкою (рис.1.1). Навпаки, якщо задана точка , то їй співставляється к.ч. . Таким чином, між множиною к.ч. і множиною точок площини (з заданою прямокутною системою координат) встановлюється взаємно однозначна відповідність.

Рис.1.1.

Очевидно, що дійсні числа зображуються точками на осі , а чисто уявні - на осі ; з цієї причини називають дійсною, а – уявною віссю; площину називають комплексною площиною, а к.ч. - точками цієї площини.

Приклади. Знайти множину к.ч., що задовольняють умову:

;

.

Розв’язання.

1) Нехай . Умову перепишемо в рівносильній формі:

Відповідь: множина чисел пряма

2) Якщо , то,

, отже,

Відповідь: множина чисел - півплощина, що розміщена нижче прямої .

Побудувати на площині ХОУ к.ч., записати їх дійсну та уявну частину. Обчислити модулі к.ч.

1. . 2. . 3.

Відповіді. 1.

2. .

3. .

 

4.10. Коло, круг, кільце

Нехай дано числа

Рівнянню задовольняють всі числа (і тільки вони), що розміщені на колі радіуса з центром у точці . Дійсно, якщо , то .

Очевидно, що нерівності і задають відповідно круг і кільце. На рис. 1.2 зображено кільце з центром у точці .

Звернемо увагу на вироджені випадки кільця :

(1) – круг з виключеним центром ;

(2) – зовнішність круга – круг з границею;

(3) – вся площина з виключеною точкою ;

(4) при маємо пусту множину.

 

Рис. 1.2

 

Приклад. З’ясувати, чи належить точка p до круга .

Розв’язання. Порівняємо радіус з відстанню від центра круга до точки p:

.

Відповідь: точка p розміщена поза кругом.

 

Комплексне число як вектор

 

Кожному к.ч. відповідає єдиний радіус-вектор , і навпаки, кожному радіусу-вектору відповідає єдине к.ч. (рис.1.1). Ми будемо зображати к.ч. відповідним йому радіус-вектором або довільним направленим відрізком, який при паралельному переносі збігається з . Зрозуміло, що модулі к.ч. і відповідного йому вектора рівні.

Якщо вектор зображає к.ч. , то домовимось писати .

Нехай Розглянемо паралелограм , див. рис.1.3.

 

Рис.1.3

Очевидно,

, тобто сума і різниця к.ч. відповідають сумі і різниці векторів. Таким чином, додавання і віднімання набуває простого геометричного змісту.

Множення і ділення к.ч.в геометричній формі розглядаються в §1.14.

Приклад. Доведемо нерівність , яка є узагальненням нерівності абсолютних величин дійсних чисел.

Використовуємо простий факт: сума довжин довільних двох сторін трикутника більша довжини третьої сторони. З рис. 1.3 випливає, що , тобто .

Випадок чисел, розміщених на одній прямій пропонуємо розглянути самостійно.

Приклад. Знайти суму і різницю і , де , . Переконатися за допомогою геометричної побудови, що ці вектори можна додавати і віднімати за правилом паралелограма.

Розв’язання.

.

Виконати самостійно

В умовах попереднього прикладу знайти і , де 1) , ;

2) , .

 

4.12. Кут нахилу вектора до осі

 

Розглянемо довільний ненульовий вектор (див. рис. 1.4). Величина кута j, утвореного обертанням осі в площині навколо точки до суміщення її з напрямком вектора , називається кутом нахилу цього вектора до осі ; при цьому j , якщо обертання здійснюється проти годинкової стрілки, і j при обертанні за годинковою стрілкою; якщо напрямок збігається з напрямком , то j .

Рис. 1.4

Таким чином, кут нахилу задає напрямок вектора. З рис.1.4. випливає, що додатний j₊ і від’ємний j_- кути визначають один і той же напрямок.

Очевидно також, якщо довільний кут j задає деякий напрямок, то такий же напрямок будуть задавати і кути , де . Отже, за кут нахилу вектора можна приймати будь-який з кутів , де ціле число.

Приклад. Легко перевірити, що кути 135⁰,495⁰,-225⁰,-945⁰ визначають один і той же напрямок (відносно осі ).