Основные теоремы строительной механики.
Определение перемещений
Общие понятия
Δ – перемещения от внешних воздействий;
δ– перемещения от единичных безразмерных сил
Δ iF = δ iF∙F
Δ iF = ∑δ iF∙Fn
Работа сил. Потенциальная энергия деформации
d T = d Fi ∙dΔ i
(теорема Б. Клайперона)
.
Mi, Qi и Ni – силы, совершающие работу
Mk, Qk и Nk – силы, вызывающие деформации
T = – W
Принцип возможных перемещений
(принцип Ж. Лагранжа)
Для того, чтобы система, имеющая идеальные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на любой совокупности возможных перемещений равнялась нулю.
– Rq ∙Δ К + RB ∙Δ B – F 1∙Δ С + F 2∙Δ F = 0
Rq = 1,2 q
Δ С = Δ Δ B = Δ/1,2
Δ К = 0,5Δ Δ F = 0,25Δ
–1,2 ql ∙0,5Δ + RB ∙Δ /1,2– 0,5 ql ∙Δ + +ql ∙0,25Δ = 0
RB = 1,02 ql
Если упругая деформируемая система под действием приложенных к ней внешних сил находится в равновесии, то при всяком возможном бесконечно малом перемещении точек этой системы сумма работ её внешних и внутренних сил равна нулю.
Основные теоремы строительной
Механики
Теорема о взаимности возможных рабоn
(теорема Бетти)
Ti = 0,5 Fi Δ ii + Fi Δ ik + 0,5 Fk Δ kk
Tk = 0,5 Fk Δ kk + Fk Δ ki + 0,5 Fi Δ ii
Ti = Tk
Fi Δ ik = Fk Δ ki
Tik = Tki
Возможная работа сил состояния i на перемещениях, вызванных силами состояния k, равна возможной работе сил состояния k на перемещениях, вызванных силами состояния i.
Теорема о взаимности возможных
перемещений
(теорема Максвелла)
Δ ki = δ kiFi
Δ ik = δ ikFk
Fi Δ ik = Fk Δ ki
Fi δ ikFk = Fk δ kiFi
δ ik =δ ki
Возможное перемещение по направлению i от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению k, численно рано возможному перемещению по направлению k от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению i.
Теорема о взаимности возможных реакций
(теорема Рэлея)
Rii ∙0 – Rki ∙Δ k = – Rik ∙Δ i + Rkk ∙0
Rki ∙Δ k = Rik ∙Δ i
Rki = rki ∙Δ i Rik = rik ∙Δ k
rki ∙Δ i ∙Δ k = rik ∙Δ k ∙Δ i
rik = rki
Возможная реакция в связи i от единичного смещения связи k численно равна возможной реакции в связи k от смещения связи i.
Определение перемещений от внешней нагрузки
ТFk = 1∙Δ kF
− при определении перемещений в фермах
− при определении перемещений в изгибаемых системах
− при определении перемещений в комбинированных системах
Вспомогательные состояния при определении перемещений
Способы “перемножения” эпюр
− способ Верещагина
Mk = x tg α
MF d x = dΩ
x∙MF d x = x dΩ
Площади и центры тяжести простейших геометрических фигур
, y 01= 1;
Ω2 = 0,5∙48∙4 = 96, y 02 = 2∙2/3 = 4/3;
Ω3 = Ω2 = 96, y 03 = y 02 = 4/3;
Ω4 = Ω1 = 128/3, y 04 = y 01 = 1;
Ω5 = 0,5∙32∙4 = 64, y 02 = 1∙2/3 = 2/3.
− использование формул “перемножения” эпюр
h 1 = 0,5∙2 = 1,
h 2 = 0,5∙2 = 1,
f 1 = 0,5∙48 + 8·42/8 = 40,
f 2 = 0,5∙(48 –32) + 8·42/8 = 24.
Пример 2
Пояса:
∟80 х 50 х 6 (A 1 = = 2∙7,55 = 15,1 см2)
EA 1 = 2,06∙108∙15,1∙10-4 = 31,106∙104 кН= EA
Решётка:
∟50 х 5 (A 2 = 2∙4,8 = 9,6 см2)
EA 2 = 2,06∙108∙9,6∙10-4 = 19,776∙104 кН= 0,636 EA
Определить изменение угла между левой стойкой и раскосом во второй панели
Пример 3
Определение перемещений от теплового воздействия
Ttk = 1∙ Δ kt
Ttk = – Wtk
Формула для определения перемещений от теплового воздействия
.
Пример 5
Левая стойка:
t 01 = 0,5(– 45º + 15º) = –15ºС;
Δ t 1 = |15º – (– 45º)| = 60ºС
Правая стойка:
t 02 = 0,5(45º + 150) = 30ºС;
Δ t 2 = |15º – 45º | = 30ºС
Удлинения стержней:
левая стойкая
Δ l 1 t =α tt 01 l 1= 120∙10-7∙(– 15º)∙4,5 =
= – 0,081∙10-2 м;
правая стойка
Δ l 2 t =α tt 02 l 2= 120∙10-7∙30º ∙4,5 = 0,162∙10-2 м
Определение перемещений
от неравномерной осадки опор и
