От неравномерной осадки опор и

Основные теоремы строительной механики.

Определение перемещений

Общие понятия

Δ – перемещения от внешних воздействий;

δ– перемещения от единичных безразмерных сил

 

Δ _iF = δ _iF∙F

Δ _iF = ∑δ _iF∙F_n

Работа сил. Потенциальная энергия деформации

d T = d F_i ∙dΔ _i

(теорема Б. Клайперона)

 

 

 

.

 

M_i, Q_i и N_i – силы, совершающие работу

M_k, Q_k и N_k – силы, вызывающие деформации

 

 

T = – W

Принцип возможных перемещений

(принцип Ж. Лагранжа)

 

Для того, чтобы система, имеющая идеальные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к ней сил на любой совокупности возможных перемещений равнялась нулю.

 

– R_q ∙Δ _К + R_B ∙Δ _B – F ₁∙Δ _С + F ₂∙Δ _F = 0

R_q = 1,2 q

Δ _С = Δ Δ _B = Δ/1,2

Δ _К = 0,5Δ Δ _F = 0,25Δ

 

–1,2 ql ∙0,5Δ + R_B ∙Δ /1,2– 0,5 ql ∙Δ + +ql ∙0,25Δ = 0

 

R_B = 1,02 ql

 

 

Если упругая деформируемая система под действием приложенных к ней внешних сил находится в равновесии, то при всяком возможном бесконечно малом перемещении точек этой системы сумма работ её внешних и внутренних сил равна нулю.

Основные теоремы строительной

Механики

Теорема о взаимности возможных рабоn

(теорема Бетти)

T_i = 0,5 F_i Δ _ii + F_i Δ _ik + 0,5 F_k Δ _kk

T_k = 0,5 F_k Δ _kk + F_k Δ _ki + 0,5 F_i Δ _ii

T_i = T_k

F_i Δ _ik = F_k Δ _ki

T_ik = T_ki

 

Возможная работа сил состояния i на перемещениях, вызванных силами состояния k, равна возможной работе сил состояния k на перемещениях, вызванных силами состояния i.

Теорема о взаимности возможных

перемещений

(теорема Максвелла)

 

Δ _ki = δ _kiF_i

Δ _ik = δ _ikF_k

F_i Δ _ik = F_k Δ _ki

F_i δ _ikF_k = F_k δ _kiF_i

δ _ik =δ _ki

 

Возможное перемещение по направлению i от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению k, численно рано возможному перемещению по направлению k от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению i.

Теорема о взаимности возможных реакций

(теорема Рэлея)

R_ii ∙0 – R_ki ∙Δ _k = – R_ik ∙Δ _i + R_kk ∙0

R_ki ∙Δ _k = R_ik ∙Δ _i

R_ki = r_ki ∙Δ _i R_ik = r_ik ∙Δ _k

r_ki ∙Δ _i ∙Δ _k = r_ik ∙Δ _k ∙Δ _i

r_ik = r_ki

 

Возможная реакция в связи i от единичного смещения связи k численно равна возможной реакции в связи k от смещения связи i.

Определение перемещений от внешней нагрузки

Т_Fk = 1∙Δ _kF

 

 

− при определении перемещений в фермах

 

 

− при определении перемещений в изгибаемых системах

 

− при определении перемещений в комбинированных системах

Вспомогательные состояния при определении перемещений

 

 

 

 

Способы “перемножения” эпюр

 

− способ Верещагина

 

M_k = x tg α

M_F d x = dΩ

x∙M_F d x = x dΩ

 

Площади и центры тяжести простейших геометрических фигур

 

 

 

 

 

, y ₀₁= 1;

 

Ω₂ = 0,5∙48∙4 = 96, y ₀₂ = 2∙2/3 = 4/3;

Ω₃ = Ω₂ = 96, y ₀₃ = y ₀₂ = 4/3;

Ω₄ = Ω₁ = 128/3, y ₀₄ = y ₀₁ = 1;

Ω₅ = 0,5∙32∙4 = 64, y ₀₂ = 1∙2/3 = 2/3.

 

 

 

− использование формул “перемножения” эпюр

 

 

 

 

h ₁ = 0,5∙2 = 1,

h ₂ = 0,5∙2 = 1,

f ₁ = 0,5∙48 + 8·4²/8 = 40,

f ₂ = 0,5∙(48 –32) + 8·4²/8 = 24.

Пример 2

 

 

Пояса:

∟80 х 50 х 6 (A ₁ = = 2∙7,55 = 15,1 см²)

EA ₁ = 2,06∙10⁸∙15,1∙10^-4 = 31,106∙10⁴ кН= EA

Решётка:

∟50 х 5 (A ₂ = 2∙4,8 = 9,6 см²)

EA ₂ = 2,06∙10⁸∙9,6∙10^-4 = 19,776∙10⁴ кН= 0,636 EA

 

Определить изменение угла между левой стойкой и раскосом во второй панели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение перемещений от теплового воздействия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T_tk = 1∙ Δ _kt

T_tk = – W_tk

 

Формула для определения перемещений от теплового воздействия

 

 

.

 

Пример 5

 

Левая стойка:

t ₀₁ = 0,5(– 45^º + 15^º) = –15^ºС;

Δ t ₁ = |15^º – (– 45^º)| = 60^ºС

Правая стойка:

t ₀₂ = 0,5(45^º + 15⁰) = 30^ºС;

Δ t ₂ = |15^º – 45^º | = 30^ºС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Удлинения стержней:

левая стойкая

Δ l _{1 t} =α _tt ₀₁ l ₁= 120∙10^-7∙(– 15^º)∙4,5 =

= – 0,081∙10^{-2 м;}

правая стойка

Δ l _{2 t} =α _tt ₀₂ l ₂= 120∙10^-7∙30^º ∙4,5 = 0,162∙10^-2 м

 

 

 

 

Определение перемещений

от неравномерной осадки опор и