Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


I. ќбращение верхней треугольной матрицы




ѕрактическое зан€тие 3. ќперации с треугольными матрицами

—ведени€ из теории. —ущность метода обращени€ верхней треугольной матрицы разберем на матрицах четвертого пор€дка, а формулы дл€ обращени€ верхней треугольной матрицы любого пор€дка приведем без вывода

ѕусть ј Ц верхн€€ треугольна€ матрица четвертого пор€дка

ј = .

а искома€ обратна€ ей матрица, элементы которой подлежат определению, запишетс€ в виде

= .

ѕо определению обратной матрицы должно выполн€тьс€ равенство

· = .

»спользу€ правило умножени€ матриц, перемножим матрицы в левой части равенства

=

= .

»сход€ из определени€ равенства двух матриц, дл€ отыскивани€ неизвестных величин получаем уравнени€, сравнив соответствующие элементы первых строк.

= 1; (1)
= 0; (2)
= 0; (3)
= 0. (4)

»з этих уравнений следует:

из (1) ; (5)
из (2) ; (6)
из (3) (7)
из (4) (8)

ѕроделав аналогичную работу дл€ второй, третьей и четвертой строк, получим дл€ второй строки

= 0; (9)
= 1; (10)
= 0; (11)
= 0 (12)
из (9) = 0. (13)

— учетом, что = 0, получаем:

из (10) ; (14)
из (11) ; (15)
из (12) (16)

ƒл€ третьей строки

= 0; (17)
= 0; (18)
= 1; (19)
= 0. (20)

»з этих уравнений следует:

из (17) = 0. (21)

”читыва€, что = 0, из (18) получаем

= 0, (22)

а учитыва€, что и = 0, и = 0, находим:

из (19) ; (23)
из (20) ; (24)

» наконец, дл€ четвертой строки ищем

= 0; (25)
= 0; (26)
= 0; (27)
= 1. (28)

»з (25), (26) и (27) следует, что

= 0; (29)
= 0; (30)
= 0, (31)
а с учетом этого и (28) получаем  
. (32)

–авенства (9), (21), (22), (29), (30) и (31) показывают, что равны нулю те элементы обратной матрицы , у которых первый индекс i больше второго индекса j, т.е. если i > j, то

. (3.1)

»з равенства (5), (14), (23), (32) диагональные элементы обратной матрицы , у которой первый и второй индексы равны (i=j), определ€ютс€ так:

; ; ; ,

что можно объединить одной записью: если i = j, то

. (3.2)

ѕо формулам (6), (7), (8), (15), (16), (24) и (32) определ€ютс€ те элементы обратной матрицы дл€ верхней треугольной, у которых первый индекс i меньше второго индекса j (i<j), т.е. элементы, сто€щие над главной диагональю. ѕолученна€ по этим формулам обратна€ матрица будет также верхней треугольной.

 огда верхн€€ треугольна€ матрица имеет пор€док n, элементы обратной ей матрицы наход€тс€ по аналогичным формулам, которые имеют следующий вид:

если i = j, то ; (3.3)
если i > j, то ; (3.4)
если i < j, то ; (3.5)

Ќапример, по формуле (3.5) элемент обратной матрицы п€того пор€дка

. (3.6)

«амечани€. ѕримен€€ формулу (3.5), надо иметь в виду, что будут равны нулю те произведени€, в которых первый индекс элемента α больше второго индекса. ћожно указать простое правило дл€ определени€ элементов обращенной верхней треугольной матрицы.

1. ќпределить диагональные элементы обращенной матрицы по формуле (3.3)

2. ѕосле этого подписать матрицы одну под другой.

3. Ќа места элементов, сто€щих ниже главной, вписать нули.

4. „тобы определить элемент, сто€щий над главной диагональю обратной матрицы, надо составить алгебраическую сумму произведений элементов, сто€щих в обратной матрице , левее определ€емого, на соответствующие элементы того столбца матрицы ј (т.е. той матрицы, дл€ которой ищетс€ обратна€), в котором стоит определ€емый элемент. Ёту алгебраическую сумму надо разделить на диагональный элемент матрицы ј, сто€щий в том же столбце, что и определ€емый элемент. ќпредел€емый элемент равен этому частному, вз€тому с обратным знаком.

ѕо этому правилу выражение в скобках в (3.6) получаетс€ так: искомый элемент матрицы находитс€ в первой строке и п€том столбце. ѕеред ним в первой строке обратной матрицы сто€т элементы , , и , а в п€том столбце матрицы ј Ц элементы , , и . —оставл€етс€ алгебраическа€ сумма произведений первого элемента в первой строке матрицы на второй элемент в п€том столбце матрицы ј и т.д. ƒл€ у€снени€ этого правила решим несколько задач.

«адача 3.1 Ќайти обратную матрицу дл€ матрицы

ј = .

–ешение. п. 1.Ќаходим диагональные элементы , , и обращенной матрицы по формуле (3.3)

; ; ; .

пп. 2 и 3. ѕодписываем матрицы одну под другой и вписываем нули на места элементов, сто€щих под главной диагональю

ј =

п. 4. ќпредел€ем элементы , сто€щие над главной диагональю (i < j), по формуле (3.5), пользу€сь указанным в п.4 правилом.

;

=

 

ƒл€ проверки надо перемножить матрицы ј и и убедитс€, что получитс€ единична€ матрица

= .

ѕри решении этой задачи все элементы обратной матрицы были представлены в виде простых дробей дл€ облегчени€ контрол€. Ќа практике же все вычислени€ ведутс€ в дес€тичных дроб€х.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 5370 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ѕутерброд по-студенчески - кусок черного хлеба, а на него кусок белого. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

664 - | 716 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.013 с.