Основы механики жидкостей и газов

Предмет гидроаэромеханики

Гидроаэромеханика – раздел механики, посвящённый изучению равновесия и движения жидких и газообразных сред и их взаимодействия между собой и обтекаемыми ими твёрдыми телами.

Движение несжимаемой жидкости изучается в гидродинамике, а газов – в аэродинамике.

Газ и жидкость в гидроаэромеханике

Газ (от греч. chaos – хаос) – агрегатное состояние вещества, в котором его частицы не связаны или слабо связаны силами взаимодействия и движутся свободно, занимая весь предоставленный им объём.

В отличие от твёрдых тел и жидкостей объём газа существенно зависит от давления и температуры.

Жидкость – это агрегатное состояние вещества, промежуточное между твёрдым и газообразным.

Жидкости присущи некоторые черты твёрдого тела (сохраняет свой объём, образует поверхность, обладает определённой прочностью на разрыв) и газа (принимает форму сосуда, в котором находится, может непрерывно переходить в газ); в то же время она обладает рядом только ей присущих особенностей, из которых наиболее характерной является текучесть.

Нормальные жидкости макроскопически однородны и изотропны при отсутствии внешних воздействий. Последнее так же сближает их с газами.

В гидроаэромеханике жидкости и газы рассматривают как сплошную, непрерывную среду, отвлекаясь от их молекулярного строения.

Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде механических явлений их поведение описывается одинаковыми параметрами и идентичными уравнениями.

Предмет гидроаэростатики

Гидростатика – раздел гидроаэромеханики, в котором изучаются равновесие жидкости и воздействие покоящейся жидкости на погруженные в неё тела, жидкость при этом считается практически несжимаемой.

Аэростатика – раздел гидроаэромеханики, в котором изучается равновесие газообразных сред, в основном атмосферы.

При этом необходимо учитывать, что сжимаемость газов во много раз превосходит сжимаемость жидкостей.

Основными законами гидроаэростатики являются закон Паскаля[18] и закон Архимеда[19].

Давление покоящейся жидкости (газа). Закон Паскаля

Закон был установлен экспериментально французским учёным Б.Паскалем в 1648 г.: давление, производимое на покоящуюся жидкость (газ) внешними силами передаётся жидкостью (газом) одинаково во всех направлениях (рис. 86): , Па, где – это давление, – приложеннаясила, – площадь поверхности, на которую действует) сила давления .

Рис. 86.

Это утверждение объясняется подвижностью частиц жидкостей и газов во всех направлениях. Из формулы мы видим, что при увеличении силы воздействия при той же площади сосуда давление на его стенки будет увеличиваться.

Действительно, если в покоящуюся жидкость (газ) поместить небольшую тонкую пластинку, то части жидкости (газа), находящиеся по разные стороны от неё, будут действовать на каждый её элемент с силами , которые независимо от того, как пластинка ориентирована, будут равны по модулю и направлены перпендикулярно площадке , т.к. наличие касательных сил привело бы частицы жидкости в движение (рис. 87).

Рис. 87.

Для сжимаемых жидкостей (газов) закон Паскаля, вообще говоря, несправедлив.

Закон Паскаля неприменим в случае движущейся жидкости (газа), а также в случае, когда жидкость (газ) находится в гравитационном поле; так, известно, что атмосферное и гидростатическое давление уменьшается с высотой.

Рис.88. Гидравлический мультипликатор предназначен для увеличения давления (, так как при одинаковой силе давления ).

На основе закона Паскаля работают различные гидравлические устройства: тормозные системы, гидравлические прессы и др., например, гидравлический мультипликатор (рис. 88), гидравлический пресс (рис. 89).

Рис. 89.

Гидравлический пресс

Гидравлический пресс – это простейшая гидравлическая машина, предназначенная для создания больших сжимающих усилий. Ранее назывался «пресс Брама», так как изобретён и запатентован Джозефом Брама в 1795 году.

Гидравлический пресс состоит из двух сообщающихся цилиндров с поршнями разного диаметра (рис. 89). Цилиндр заполняется водой, маслом или другой подходящей жидкостью. По закону Паскаля давление в любом месте неподвижной жидкости одинаково по всем направлениям и одинаково передается по всему объёму. Силы, действующие на поршни, пропорциональны площадям этих поршней.

Пусть и – силы, действующие на поршни со стороны находящихся на них гирь. Докажем, что жидкость в цилиндрах будет находиться в равновесии лишь тогда, когда сила, действующая на большой поршень, во столько раз превышает силу, действующую на меньший поршень, во сколько раз площадь большего поршня превышает площадь меньшего поршня. Для этого заметим, что жидкость будет оставаться в равновесии только тогда, когда давления под поршнями будут одинаковыми: .Но каждое из этих давлений можно выразить через силу и площадь: ; . Таким образом, ,откуда ,что и требовалось доказать.

Отношение характеризует выигрыш в силе, получаемый в данной машине. Согласно полученной формуле выигрыш в силе определяется отношением площадей . Поэтому, чем больше отношение площадей поршней, тем больше выигрыш в силе.

Гидростатическое давление

Рассмотрим равновесие однородной жидкости, находящейся в поле тяготения Земли. На каждую частицу жидкости, находящейся в поле тяготения Земли, действует сила тяжести. Жидкости и газы передают по всем направлениям не только оказываемое на них внешнее давление, но и то давление, которое существует внутри их благодаря весу собственных частей. Верхние слои жидкости давят на средние слои, те - на нижние, а последние – на дно.

Давление, оказываемое покоящейся жидкостью, называется гидростатическим.

Получим формулу для расчета гидростатического давления жидкости на произвольной глубине в окрестности точки (рис. 90).

Сила давления, действующая в этом месте со стороны вышележащего узкого вертикального столба жидкости, может быть выражена двумя способами: во-первых, как произведение давления в основании этого столба на площадь его сечения:

;

Рис. 90.

во-вторых, как вес того же столба жидкости, т. е. произведение массы жидкости на ускорение свободного падения : .

Приравняем оба выражения для силы давления:

.

Разделив обе части этого равенства на площадь , найдем давление жидкости на глубине : ,

где – гидростатическое давление, – плотность жидкости, – высота столба жидкости.

Мы получили формулу гидростатического давления: гидростатическое давление на любой глубине внутри жидкости не зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость, и равно произведению плотности жидкости, ускорения свободного падения и глубины, на которой рассматривается давление.

Одно и то же количество воды, находясь в разных сосудах, может оказывать разное давление на дно. Поскольку это давление зависит от высоты столба жидкости, то в узких сосудах оно будет больше, чем в широких. Благодаря этому даже небольшим количеством воды можно создать очень большое давление.

Рис. 91.

Давление жидкости на дно не зависит от формы сосуда, а определяется только высотой уровня жидкости и ее плотностью. Во всех случаях, приведенных на рисунке 91, давление жидкости на дно сосудов одинаково.

Жидкость давит на данной глубине одинаково по всем направлениям – не только вниз, но и вверх, и в стороны. Следовательно, давление на стенку на данной глубине будет таким же, как и давление на горизонтальную площадку, расположенную на той же глубине.

Если над свободной поверхностью жидкости создается давление то давление в жидкости на глубине будет: .

Силы давления на дно и на стенки можно рассчитать по формулам:

– сила давления жидкости на горизонтальное дно, где – площадь дна;

– сила давления жидкости на боковую прямоугольную вертикальную стенку сосуда, где – площадь стенки.

Пример. В покоящейся жидкости свободная поверхность жидкости всегда горизонтальна. Нередко встречаются случаи, когда жидкость, покоясь относительно сосуда, движется вместе с ним. Если при этом сосуд движется равномерно и прямолинейно, то свободная поверхность жидкости будет горизонтальна. Но если сосуд движется с ускорением, то ситуация меняется и возникают вопросы о форме свободной поверхности жидкости, о распределении давления в ней.

Рис. 92.

Так, в случае горизонтального движения сосуда с ускорением в поле тяготения Земли любая часть жидкости массой движется с тем же ускорением под действием равнодействующей силы давления , действующей со стороны остальной жидкости и силы тяжести (рис. 92).

Основное уравнение динамики: .

В результате свободная поверхность жидкости не будет горизонтальна, а образует с горизонтом угол , который можно легко найти, если спроецировать основное уравнение динамики на горизонтальную и вертикальную оси:

; .

Отсюда: .

Давление на горизонтальную поверхность (горизонтальное дно) будет возрастать в направлении, противоположном ускорению.

Закон Архимеда. Условия плавания тел

Архимед из Сиракуз (ок.287–212г. до н.э.)

Древнегреческий математик, изобретатель и натурфилософ. О его жизни известно мало. Доказал ряд основополагающих математических теорем, прославился благодаря изобретению различных механизмов, до сих пор находящих широкое применение как в быту, так и в оборонной промышленности. Легенда гласит, что Архимед умер насильственной смертью, пав от руки римского воина во время осады Сиракуз, не пожелав укрыться в доме, поскольку был всецело поглощен геометрической задачей, начертанной им на прибрежном песке.

Закон Архимеда, закон статики жидкостей и газов, согласно которому на всякое тело, погруженное в жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (газа) выталкивающая сила (сила Архимеда ), равная весу вытесненной телом жидкости (газа), направленная вверх и приложенная к центру тяжести вытесненного объёма:

,

где – плотность жидкости (газа), – ускорение свободного падения, а – объём погружённого тела (или часть объёма тела, находящаяся ниже поверхности). Если тело плавает на поверхности или равномерно движется вверх или вниз, то выталкивающая сила (называемая также архимедовой силой) равна по модулю (и противоположна по направлению) силе тяжести, действовавшей на вытесненный телом объём жидкости (газа), и приложена к центру тяжести этого объёма.

Закон Архимеда в интегральной форме: где – площадь поверхности, – давление в произвольной точке, интегрирование производится по всей поверхности тела

Рис. 93

Давление, действующее на погруженное в жидкость тело, увеличивается с глубиной погружения, поэтому сила давления жидкости на нижние элементы поверхности тела больше, чем на верхние. В результате сложения всех сил, действующих на каждый элемент поверхности, получается равнодействующая , направленная вверх (рис. 93). Это и есть выталкивающая сила.

Архимедова сила направлена всегда противоположно силе тяжести. Она равна нулю, если погруженное в жидкость тело плотно, всем основанием прижато ко дну.

Что касается тела, которое находится в газе, например в воздухе, то для нахождения подъёмной силы нужно заменить плотность жидкости на плотность газа. Например, шарик с гелием летит вверх из-за того, что плотность гелия меньше, чем плотность воздуха.

В отсутствие гравитационного поля, то есть в состоянии невесомости, закон Архимеда не работает.

Закон Архимеда – основа теории плавания тел в жидкостях и газах.

Условие плавания тел

Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести и силы Архимеда , которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:

· – тело тонет;

· – тело плавает в жидкости или газе;

· – тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.

Другая формулировка (где – плотность тела, – плотность среды, в которую оно погружено):

· – тело тонет;

· – тело плавает в жидкости или газе;

· – тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.

Природа силы Архимеда

Рис.94.

Чтобы понять природу силы, действующей на погруженное тело со стороны жидкости, достаточно рассмотреть простой пример (рис. 94).

Кубик с ребром погружен в воду, причем и вода, и кубик неподвижны. Известно, что давление в тяжелой жидкости увеличивается пропорционально глубине – очевидно, что более высокий столбик жидкости более сильно давит на основание. Гораздо менее очевидно (или совсем не очевидно), что это давление действует не только вниз, но и в стороны, и вверх с той же интенсивностью – это закон Паскаля.

Если рассмотреть силы, действующие на кубик (рис. 94), то в силу очевидной симметрии силы, действующие на противоположные боковые грани, равны и противоположно направлены – они стараются сжать кубик, но не могут влиять на его равновесие или движение. Остаются силы, действующие на верхнюю и на нижнюю грани. Пусть – глубина погружения верхней грани, – плотность жидкости, – ускорение силы тяжести; тогда давление на верхнюю грань равно^

,

а на нижнюю:

.

Сила давления равна давлению, умноженному на площадь, т.е.

, ,

где – ребро кубика,причем сила направлена вниз, а сила – вверх. Таким образом, действие жидкости на кубик сводится к двум силам – и и определяется их разностью, которая и является выталкивающей силой:

.

Сила – выталкивающая, так как нижняя грань, естественно, расположена ниже верхней и сила, действующая вверх, больше, чем сила, действующая вниз. Величина равна объему тела (кубика) , умноженному на вес одного кубического сантиметра жидкости (если принять за единицу длины 1 см). Другими словами, выталкивающая сила, которую часто называют архимедовой силой, равна весу жидкости в объеме тела и направлена вверх.

Пример. Если тело неоднородно и его центр тяжести не совпадает с центром тяжести вытесненного им объёма жидкости, то возникает ещё и вращение тела.

Рис. 95.

Выведем плавающее тело (модель корабля) из положения равновесия, слегка наклонив его (рис. 95).

При этом объём погружённой части корабля изменится, изменится и выталкивающая сила, причём точка её приложения сместится в сторону более погружённой части тела. Образовавшаяся пара сил (сила тяжести и выталкивающая сила) будет возвращать тело в первоначальное положение, если направление выталкивающей силы пересечётся с линией , содержащей цент тяжести тела . Если же точка пересечения окажется ниже центра тяжести, то тело перевернётся. Для устойчивости корабля точка должна располагаться выше центра тяжести последнего. Количество воды, вытесненной плавающим судном, называется водоизмещением.

Предмет гидроаэродинамики

Гидроаэродинамикой называется раздел гидроаэромеханики, в котором изучаются движение жидкостей и газов и их взаимодействие с твёрдыми телами.

Будем рассматривать движущуюся жидкость. Движение жидкости называется течением, а совокупность частиц движущейся жидкости – потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока.

Рис. 96.

Линия тока в гидромеханике – это линия, в каждой точке которой касательная к ней совпадает по направлению с вектором скорости частицы в данный момент времени (рис. 96).

Линии тока проводят так, чтобы густота их, характеризуемая отношением числа линий к площади перпендикулярной им поверхности, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течёт медленнее.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока (рис. 97).

В случае установившегося движения трубка тока подобна трубе со стенками, внутри которой с постоянным расходом течёт жидкость.

Рис. 97. Трубка тока. – векторы скоростей в соответствующих точках.

Движение жидкостей или газов представляет собой сложное явление. Для его описания используются различные упрощающие предположения (модели).Ограничимся простейшим случаем движения жидкости, когда выполняются следующие условия:

1). Жидкость несжимаемая .

Опыт показывает, что сжимаемостью жидкости и газа можно пренебречь, когда скорости их движения малы по сравнению со скоростью распространения звука .

2). Жидкость идеальная, (т.е. без внутреннего трения между движущимися слоями). При движении идеальной жидкости не происходит превращения механической энергии во внутреннюю энергию, поэтому выполняется закон сохранения механической энергии.

Движению реальных жидкостей и газов всегда присуща вязкость.

3). Движение жидкости установившиеся (стационарное).

Течение жидкости называется стационарным, если форма и расположение линий тока, а также значения скоростей в каждой её точке со временем не изменяются (при стационарном течении отсутствуют вихри).

Вязкость

Идеальная жидкость является абстракцией. Всем реальным жидкостям присуща вязкость (внутреннее трение). Вязкость проявляется в том, что возникшее в жидкости или газе движение после прекращения действия причин, его вызывающих, постепенно прекращается. Говоря о вязкости, имеют в виду тела жидкие, капельно–жидкие и упруго–жидкие.

Вязкость– важная физико-химическая характеристика веществ. Значение вязкости приходится учитывать при перекачивании жидкостей и газов по трубам (нефтепроводы, газопроводы).

Вя́зкость (вну́треннее тре́ние)–1). одно из явлений переноса, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой.; 2). свойство газов и жидкостей оказывать сопротивление необратимому перемещению одной их части относительно другой при сдвиге, растяжении и других видах деформации. В результате работа, затрачиваемая на это перемещение, рассеивается в виде тепла.

Силы вязкости (силы внутреннего трения) возникают при относительном движении слоёв жидкости (газа). Они приложены к слоям жидкости и действуют по касательным к ним. Два слоя, движущихся друг относительно друга, взаимодействуют вдоль поверхности раздела с равными по модулю и противоположными по направлению силами внутреннего трения. Физические причины появления таких сил различны для жидкостей и газов.

В жидкостях эти силы обусловлены главным образом сцеплением между молекулами, принадлежащими разным слоям. В газах сцепление между молекулами мало, а их подвижность велика. Поэтому образование сил внутреннего трения в газах происходит в основном за счёт обмена молекулами между движущимися слоями. Однако в обоих случаях (и в жидкостях, и в газах) между движущимися слоями осуществляется перенос импульса.

Вязкость твёрдых тел обладает рядом специфических особенностей и рассматривается обычно отдельно.

Рис. 98.

Силы внутреннего трения и в жидкостях, и в газах подчиняется одному и томуже закону. Выделим в потоке два параллельных, равных по площади слоя, отстоящих друг от друга на расстоянии (рис. 98).

Рис. 99.

Изменение скорости от слоя к слою с увеличением координаты происходит по линейному закону (рис. 99).

Опыт показывает, что на каждый слой действует сила пропорциональная площади слоёв и величине , характеризующей быстроту изменения скорости слоёв при переходе от слоя к слою, т.е. направлении, перпендикулярном слоям: . Величину называют градиентом [20] скорости.

При ламинарном сдвиговом течении жидкости между двумя плоскопараллельными пластинками, верхняя из которых движется с постоянной скоростью под действием силы , а нижняя пластинка неподвижная, слои жидкости перемещаются с разными скоростями – от максимальной у верхней пластинки до нуля у нижней (рис. 99). При этом касательное напряжение , а скорость деформации , где – площадь пластинок, –расстояние между ними. Ньютоновскими называют жидкости, для которых вязкость не зависит от скорости деформации.

Основной закон вязкого течения был установлен И.Ньютоном (1687 г.):

,

где - тангенциальная (касательная) сила, вызывающая сдвиг слоёв жидкости (газа) друг относительно друга; – площадь слоя, по которому происходит сдвиг; – коэффициент динамической вязкости (или просто вязкость).

Используя понятие касательного напряжения формулу закона Ньютона можно представить в виде: . Касательное напряжение в общем случае неодинаково в разных точках поверхности. Сила вязкости, действующая на элемент поверхности , равна: . Поэтому полная сила вязкости равна:

Значение вязкости зависит от рода жидкости (газа) и от температуры.

Характер зависимости вязкости жидкостей и газов от температуры различный. У жидкостей с увеличением температуры уменьшается и растёт с увеличением давления; а у газов, наоборот, с ростом температуры вязкость увеличивается. Последнее указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Отечественный физик П.Л.Капица[21] установил, что при температуре жидкий гелий переходит в сверхтекучее состояние, в котором его вязкость равна нулю. Переход вещества из жидкого состояния в стеклообразное обычно связывают с достижением вязкости порядка .

Наряду с динамической вязкостью используют понятие кинематической вязкости:

,

где – плотность вещества.

Величина называется текучестью.

В технических науках часто пользуются понятием относительной вязкости, под которой понимают отношение коэффициента динамической вязкости раствора к коэффициенту динамической вязкости чистого растворителя: ,где – динамическая вязкость раствора; – динамическая вязкость растворителя.

Слоистое течение с градиентом скорости обычно возникает так. В результате молекулярного сцепления тонкий слой жидкости «прилипает» к поверхности твёрдого тела. И если это тело движется относительно жидкости, то вместе с ним движется и прилипший слой, который благодаря силам вязкого трения увлекает соседний слой, а тот в свою очередь – следующий слой и т.д. По мере удаления от поверхности тела в перпендикулярном направлении скорость слоёв жидкости убывает, что и означает возникновение градиента скорости.

Вязкость газов

В кинетической теории газов коэффициент внутреннего трения вычисляется по формуле:

,

где – средняя скорость теплового движения молекул, − средняя длина свободного пробега. Из этого выражения, в частности, следует, что вязкость не очень разреженных газов практически не зависит от давления, поскольку плотность прямо пропорциональна давлению, а − обратно пропорциональна.

С повышением температуры вязкость большинства газов увеличивается, это объясняется увеличением средней скорости молекул газа , растущей с температурой как .

Прибор для измерения вязкости называется вискозиметром.

Качественно существенное отличие сил вязкого трения от сухого тренияв том, что тело при наличии только вязкого трения и сколь угодно малой внешней силы обязательно придет в движение, т.е. для вязкого трения не существует трения покоя, и наоборот− под действием только вязкого трения тело, вначале двигавшееся, никогда (в рамках макроскопического приближения, пренебрегающего броуновским движением) полностью не остановится, хотя движение и будет бесконечно замедляться.

Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей

Существует два режима течения жидкостей: ламинарный и турбулентный.

Рис. 100.

Ламинарное течение (лат. Lāmina − «пластинка») – упорядоченное течение жидкости и газа, при котором жидкость (газ) перемещается как бы слоями, параллельными направлению течения (рис. 100).

Установившееся течение идеальной жидкости всегда ламинарное при любых скоростях течения, т.к. в такой жидкости отсутствуют силы внутреннего трения. В случае реальных жидкостей ламинарное течение наблюдается у очень вязких жидкостей или при течениях, происходящих с достаточно малыми скоростями, а также при медленном обтекании жидкостью тел малых размеров. В частности, ламинарное течение имеет место в узких (капиллярных) трубках, в слое смазки в подшипниках, в тонком пограничном слое, образующемся при обтекании их жидкостью или газом и др.

Рис. 101.

При ламинарном течении скорость слоёв изменяется от оси трубки к стенкам по параболическому закону (рис. 101).

С увеличением скорости движения жидкости ламинарное течение в некоторый момент времени переходит в турбулентное течение. При этом существенно изменяются все его свойства, например, структура потока, профиль скоростей, закон сопротивления.

Рис. 102.

Турбулентное течение (от лат. turbulentus – бурный, беспорядочный) – форма течения жидкости или газа, при которой их элементы совершают неустановившиеся движения по сложным траекториям, что приводит к интенсивному перемешиванию между слоями жидкости или газа (рис. 102).

Большинство течений жидкостей и газов турбулентное как в природе (движение воздуха в земной атмосфере, воды в реках и морях, газа в атмосферах Солнца и звёзд и в межзвёздных туманностях и т.п.), так и в технических устройствах (трубах, каналах, струях, в пограничных слоях около твёрдых тел, в следах за такими телами и т.п.).

Турбулентное течение нестационарно: скорость и давление в каждой точке потока колеблется около некоторых средних значений. Это связано с тем, что при турбулентном течении частицы жидкости приобретают составляющие скоростей, перпендикулярные течению, поэтому они могут переходить из одного слоя в другой, а их скорости в различных слоях мало отличаются.

В результате перемешивания слоёв жидкости средняя скорость течения практически одинакова по всему сечению трубки тока (трубы). Только в очень тонком слое, примыкающем к стенкам трубы, скорость быстро падает до нуля. Изменение средней скорости турбулентного течения в зависимости от расстояния от оси трубы представлено на рис. 103.

Рис. 103.

При турбулентном течении резко возрастают силы внутреннего трения, т.к. между стенкой и турбулентным потоком вследствие явления прилипания возникает очень тонкий слой с большим поперечным градиентом скорости. Увеличение внутреннего трения обусловлено ещё и тем, что коэффициент вязкости возрастает при переходе к турбулентному движению.

Английский учёный О. Рейнольдс[22]доказал, что характер течения жидкости зависит от безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса: ,где –кинематическая вязкость, –средняя по сечению трубы скорость течения жидкости, – характерный линейный размер, например, диаметр трубы.

Опыт показывает, что при малых значениях числа Рейнольдса течение жидкости (газа) является ламинарным, а при больших – турбулентным.

Значение числа Рейнольдса, характеризующее переход от ламинарного к турбулентному течению, называют критическим – .

Изучая на опыте течение жидкости (газа) по круглым трубам в обычных условиях, установили, что .

Если для некоторого потока ,то течение будет ламинарным, если – течение турбулентное. При , близком к , ламинарное течение неустойчиво и очень чувствительно к разного рода факторам (резкие переходы в трубе, шероховатость стенок, вибрации и др.). Устраняя эти факторы, можно добиться того, что ламинарное течение сохраняется вплоть до значения . Это явление называется затягиванием ламинарного режима. «Затягивание» приобретает большое практическое значение в связи с созданием длинных линий газо – нефтепроводов, т.к. силы внутреннего трения при ламинарном течении значительно меньше, чем при турбулентном: при одном и том же расходе перекачка жидкости при ламинарном течении требует меньших перепадов давления, т.е. меньших затрат энергии.

Уравнение неразрывности струи

Рис.104.

Рассмотрим трубку тока переменного сечения и , по которой течёт идеальная несжимаемая жидкость (рис. 104).

За время через сечение проходит объём жидкости , через сечение – объём жидкости . Следовательно, за через сечение пройдёт объём жидкости где - скорость течения жидкости в сечении , а через сечение за – , где - скорость течения жидкости в сечении S ₂.

Так как жидкость несжимаемая, то через сечение пройдёт такой же объём жидкости, как и через сечение , т.е. .

Произведение скорости стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока:

.

Последнее соотношение, выражающее закон сохранения массы для любого объёма жидкости (газа), называется уравнением неразрывности струи.

Следствие из уравнения неразрывности струи: если жидкость движется по трубе переменного сечения, то скорость ее движения обратно пропорциональна площади сечения трубок: .

На частицы реальной жидкости действуют силы трения со стороны стенок трубы и со стороны соседних частиц. Поэтому скорость частиц жидкости в поперечном сечении трубы различна: она максимальна в центре трубы и уменьшается до нуля у ее стенок. В этом случае в формуле уравнения неразрывности – это средняя скорость течения жидкости в данном сечении.

Уравнение Бернулли [23]

Следствием закона сохранения механической энергии для стационарного поток аидеальной и несжимаемой жидкости является уравнение Бернулли, сформулированное в 1738г.

Рис. 105.

Рассматривается стационарное движение идеальной несжимаемой жидкости по трубе переменного сечения (рис.105). Различные части трубы находятся на разных высотах.

Исходя из закона сохранения механической энергии и уравнения неразрывности струи Д.Бернулли получил следующее уравнение:

,

где –плотность жидкости, – динамическое давление, –гидростатическое давление, – статическое давление (давление жидкости на поверхность обтекаемого тела).

При стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме статического, динамического и гидростатического давлений, одинаково во всех поперечных сечениях трубки тока.

Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли примет вид:

,

где –полное давление.

Из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость течения жидкости больше в местах сужения, а статическое давление – в более широких местах, т.е. там, где скорость меньше.

Уравнение Бернулли хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение которых невелико. Поэтому уравнение Бернулли широко применяется в гидравлике при расчёте течения жидкостей и газов в трубопроводах, при расчёте компрессоров, турбин, насосов и других гидравлических и газовых машин.

Теоретическое обоснование уравнения Бернулли

За промежуток времени жидкость в трубе сечением переместится на , а в трубе сечением – на , где и – скорости частиц жидкости в трубах.

Условие несжимаемости записывается в виде:

или ,

здесь – объем жидкости, протекшей через сечения и .

Таким образом, при переходе жидкости с участка трубы с большим сечением на участок с меньшим сечением скорость течения возрастает, т.е. жидкость движется с ускорением. Следовательно, на жидкость действует сила. В горизонтальной трубе эта сила может возникнуть только из-за разности давлений в широком и узком участках трубы. Давление в широком участке трубы должно быть больше чем в узком участке. Если участки трубы расположены на разной высоте, то ускорение жидкости вызывается совместным действием силы тяжести и силы давления. Сила давления – это упругая сила сжатия жидкости. Несжимаемость жидкости означает лишь то, что появление упругих сил происходит при пренебрежимо малом изменении объема любой части жидкости.

Так как жидкость предполагается идеальной, то она течет по трубе без трения. Поэтому к ее течению можно применить закон сохранения механической энергии.

При перемещении жидкости силы давления совершают работу:

.

Работа сил давления равна изменению потенциальной энергии упругой деформации жидкости, взятому с обратным знаком.

Изменения, произошедшие за время в выделенной части жидкости, заключенной между сечениями и в начальный момент времени, при стационарном течении, сводятся к перемещению массы жидкости ( – плотность жидкости) из одной части трубы сечением в другую часть сечением (заштрихованные объемы на рис. 105). Закон сохранения механической энергии для этой массы имеет вид:

,

где и – полные механические энергии массы в поле тяготения:

,

.

Отсюда следует:

.

Это и есть уравнение Бернулли. Из него следует, что сумма:

.

остается неизменной вдоль всей трубы.

Уравнение Бернулли можно применять к достаточно широкому классу задач аэродинамики.

Примеры.

1). Рассмотрим истечение жидкости из широкого сосуда (рис. 106).

Рис. 106.

Поскольку скорость жидкости вблизи поверхности в широком сосуде пренебрежимо мала, то уравнение Бернулли принимает вид:

,

где – атмосферное давление, – перепад высоты вдоль линии тока. Таким образом,

.

Это выражение для скорости истечения называют формулой Торричелли. Скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в сосуде такая же, как и при свободном падении тела с высоты без начальной скорости.

2). Подъёмная сила крыла самолёта

Рис. 107. Линии тока при обтекании крыла самолета и возникновение подъемной силы. – угол атаки.

Строгое теоретическое решение этой задачи чрезвычайно сложно, и обычно для исследования сил применяются экспериментальные методы. Уравнение Бернулли позволяет дать лишь качественное объяснение возникновению подъемной силы крыла. На рис.107 изображены линии тока воздуха при обтекании крыла самолета. Из-за специального профиля крыла и наличия угла атаки, т.е. угла наклона крыла по отношению к набегающему потоку воздуха, скорость воздушного потока над крылом оказывается больше, чем под крылом. Поэтому на рис.107 линии тока над крылом располагаются ближе друг к другу, чем под крылом. Из уравнения Бернулли следует, что давление в нижней части крыла будет больше, чем в верхней; в результате появляется сила действующая на крыло. Вертикальная составляющая этой силы называется подъемной силой. Подъемная сила позволяет скомпенсировать силу тяжести, действующую на самолет, и тем самым она обеспечивает возможность полета тяжелых летательных аппаратов в воздухе. Горизонтальная составляющая представляет собой силу сопротивления среды.

Теория подъемной силы крыла самолета была создана Н.Е.Жуковским. Он показал, что при обтекании крыла существенную роль играют силы вязкого трения в поверхностном слое. В результате их действия возникает круговое движение (циркуляция ) воздуха вокруг крыла (зеленые стрелки на рис.107). В верхней части крыла скорость циркулирующего воздуха складывается со скоростью набегающего потока, в нижней части эти скорости направлены в противоположные стороны. Это и приводит к возникновению разности давлений и появлению подъемной силы.

Циркуляция воздуха, обусловленная силами вязкого трения, возникает и вокруг вращающегося тела (например, цилиндра). При вращении цилиндр увлекает прилегающие слои воздуха, вызывая его циркуляцию. Если такой цилиндр установить в набегающем потоке воздуха, то возникнет сила бокового давления, аналогичная подъемной силе крыла самолета. Это явление называется эффектом Магнуса.

Рис. 108. Обтекание вращающегося цилиндра набегающим потоком воздуха.

Рис.108 иллюстрирует обтекание вращающегося цилиндра набегающим потоком. Эффект Магнуса проявляется, например, при полете закрученного мяча при игре в теннис или футбол.