Задача. Дано два треугольника две стороны, которого пропорциональны, а углы между этих сторон равны. Доказать что треугольники подобны.

Признаки подобия треугольников

Тема: «Признаки подобия треугольников».

- признаки равенства треугольников?

- какие треугольники называются подобными?

- первый признак подобия треугольников?

І Признак подобия. Если два угла одного треугольника равны соответствующим двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны между собой.	ІІ Признак подобия. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то эти треугольники подобны. Если	ІІІ Признак подобия. Если три стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны. Если
Следствие 1 Если острый угол одного прямоугольного треугольник равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти прямоугольные треугольники подобны. и - прямоугольные. Если	Следствие 2 Если два катета прямоугольного треугольника пропорциональны соответствующим двум катетам другого прямоугольного треугольника, то эти прямоугольные треугольники подобны и - прямоугольные. Если	Следствие 3 Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и соответствующему катету другого прямоугольного треугольника, то эти прямоугольные треугольники подобны и - прямоугольные. Если

Задача 1 (устно)

Будут ли подобны друг другу равносторонние треугольники?

Задача. Дано два треугольника две стороны, которого пропорциональны, а углы между этих сторон равны. Доказать что треугольники подобны.

. Рис. 2

Доказательство. Изобразим вспомогательный Рис. 3. На нем отложим в первом треугольнике , через точку проведем отрезок до пересечения с продолжением стороны в точке .

Рис. 3

Рассмотрим треугольники и . общий, как соответственные при параллельных прямых, пересеченных секущей, следовательно, по первому признаку подобия.

По определению подобных треугольников, , а по условию , следовательно, , т.к. по построению. В результате

имеем: по первому признаку равенства треугольников. А т.к. доказано, что , то и , что и требовалось доказать.

Из данной задачи следует Второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны (см. Рис. 2).

Задача 2. В заданном треугольнике проведены все средние линии. Среди образованных таким образом треугольников покажите подобные.

Дано:

- средние лини.

Определить подобные -ки?

Решение:

подобен

подобен По 2 признаку

подобен

подобен по 3 признаку подобия.

А по 3 свойству преобразования подобия следует:

, , , , -подобны.

Теорема (3-й признак подобия треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Делаем дополнительные построения:

Отложим от точки А угол , а из вершины С ,. Они пересекутся в точке В₂. Тогда по первому признаку. Тогда из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: , а по условию получаем что АВ=АВ_2,ВС=В₂С.

Тогда по 3 признаку.

Следовательно

Так как , то

Следовательно . Что и требовалось доказать.

Задача 3. Будут ли два треугольника подобны, если их стороны равны: 1 м, 1,5 м, 2 м и 10 см, 15 см, 20 см?

Дано:

;

Решение: Найдем отношение , , =>

подобен по 3 признаку подобия треугольников, с коэффициентом подобия равным .

Задача 4. Будут ли треугольники и подобны, если в этих треугольниках: и

Дано:

;

Решение: Найдем отношение соответствующих сторон треугольников: ; , т.е стороны треугольников не являются пропорциональными, значит треугольники не подобны.

Задача 5. Дерево высотой 15 м закрывается монетой диаметром 2 см, если ее держать на расстоянии 70 см от глаз. Найдите расстояние от наблюдателя до дерева.