Тема: Ал­геб­ра­и­че­ские дроби. Ариф­ме­ти­че­ские опе­ра­ции над ал­геб­ра­и­че­ски­ми дро­бя­ми

Урок: Сло­же­ние и вы­чи­та­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей с раз­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми (более слож­ные слу­чаи)

1. Повторение сложения/вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями

На уроке мы про­дол­жим тему преды­ду­ще­го урока и будем рас­смат­ри­вать за­да­чу сло­же­ния и вы­чи­та­ния ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей с раз­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми, т.е. упро­ще­ние вы­ра­же­ний вида: , где . В ос­нов­ном, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля дро­бей, а это де­ла­ет­ся, как мы уже знаем, по ана­ло­гии с обык­но­вен­ны­ми дро­бя­ми. Рас­смот­рим при­ме­ры.

При­мер 1. Вы­пол­нить дей­ствие .

Ре­ше­ние. Для на­хож­де­ния наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля дро­бей вос­поль­зу­ем­ся ос­нов­ной тео­ре­мой ариф­ме­ти­ки и раз­ло­жим зна­ме­на­те­ли на про­стые мно­жи­те­ли.

и . Сле­до­ва­тель­но, и .

Вспом­ним, что наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель дол­жен со­дер­жать мно­жи­те­ли всех зна­ме­на­те­лей, при­чем так, чтобы мно­жи­те­лей было ми­ни­маль­но воз­мож­ное ко­ли­че­ство. В нашем слу­чае необ­хо­ди­мы мно­жи­те­ли . Сле­до­ва­тель­но, общий зна­ме­на­тель , а до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли: к пер­вой дроби , ко вто­рой дроби .

.

Как видно из ре­ше­ния, удоб­но даже не пе­ре­мно­жать про­стые мно­жи­те­ли в зна­ме­на­те­ле до по­лу­че­ния чис­ли­те­ля общей дроби, чтобы потом было легче со­кра­щать дробь.

Ответ. .

2. Примеры на сложение/вычитание двух алгебраических дробей с разными знаменателями с использованием разложения знаменателей на множители

Те­перь рас­смот­рим ана­ло­гич­ные опе­ра­ции с ал­геб­ра­и­че­ски­ми дро­бя­ми. Не слож­но до­га­дать­ся, что самой тру­до­ем­кой ча­стью сло­же­ния или вы­чи­та­ния дро­бей с раз­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми яв­ля­ет­ся на­хож­де­ние наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля. Если в слу­чае обык­но­вен­ных дро­бей можно было поль­зо­вать­ся раз­ло­же­ни­ем чисел на мно­жи­те­ли, то в ал­геб­ра­и­че­ских дро­бях на мно­жи­те­ли необ­хо­ди­мо будет рас­кла­ды­вать мно­го­чле­ны. Для этого су­ще­ству­ет несколь­ко из­вест­ных нам ме­то­дов: вы­не­се­ние об­ще­го мно­жи­те­ля, при­ме­не­ние фор­мул со­кра­щен­но­го умно­же­ния и ме­то­да груп­пи­ров­ки сла­га­е­мых. Рас­смот­рим более по­дроб­но их при­ме­не­ние для ре­ше­ния слож­ных задач на сло­же­ние и вы­чи­та­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей с раз­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми.

При­мер 2. Вы­пол­нить дей­ствия .

Ре­ше­ние. Для на­хож­де­ния наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля и до­пол­ни­тель­ных мно­жи­те­лей раз­ло­жим зна­ме­на­те­ли на мно­жи­те­ли. Пер­вый зна­ме­на­тель уже пред­став­ля­ет собой про­стое вы­ра­же­ние, а вто­рой рас­кла­ды­ва­ет­ся по фор­му­ле раз­но­сти квад­ра­тов:

. Как видно по ходу ре­ше­ния, в ка­че­стве наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля вы­бран зна­ме­на­тель вто­рой дроби, ко­то­рый де­лит­ся и на пер­вый зна­ме­на­тель и сам на себя. До­пол­ни­тель­ный мно­жи­тель в таком слу­чае при­го­дил­ся толь­ко для пер­вой дроби. Во вто­ром пе­ре­хо­де можно об­ра­тить вни­ма­ние на вне­се­ние ми­ну­са перед дро­бью в один из мно­жи­те­лей зна­ме­на­те­ля для того, чтобы сде­лать зна­ме­на­те­ли дро­бей мак­си­маль­но по­хо­жи­ми друга на друга; такой прием нам уже зна­ком из темы «сло­же­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми (более слож­ные слу­чаи)» (урок №5).

Ответ. .

При­мер 3. Вы­пол­нить дей­ствия .

Ре­ше­ние. По­сту­пим ана­ло­гич­но с преды­ду­щим при­ме­ром и раз­ло­жим по ходу ре­ше­ния зна­ме­на­тель вто­рой дроби на мно­жи­те­ли по фор­му­ле раз­но­сти квад­ра­тов, перед этим вне­сем минус перед дро­бью в зна­ме­на­тель для того, чтобы он по­лу­чил более удоб­ный вид:

.

Ответ. .

3. Примеры на сложение/вычитание трех алгебраических дробей с разными знаменателями с использованием разложения знаменателей на множители

Рас­смот­рим те­перь более слож­ные при­ме­ры на сло­же­ние/вы­чи­та­ние трех дро­бей.

При­мер 4. Вы­пол­нить дей­ствия .

Ре­ше­ние. Как и ранее, раз­ло­жим на мно­жи­те­ли каж­дый зна­ме­на­тель, най­дем наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель и до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли.

.

Как и ранее, для при­ве­де­ния вы­ра­же­ния к удоб­но­му виду, вы­не­сем минус из зна­ме­на­те­ля вто­рой дроби. По­сколь­ку в вы­ра­же­нии при­сут­ству­ет три дроби, чтобы не за­пу­тать­ся, вы­пи­шем наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель от­дель­но, со­ста­вив его из мно­жи­те­лей, вхо­дя­щих во все зна­ме­на­те­ли: . Ис­хо­дя из него, ука­жем и до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли для каж­дой из дро­бей, как те мно­жи­те­ли, ко­то­рых не хва­та­ет зна­ме­на­те­лю, чтобы стать общим.

.

По­след­ний пе­ре­ход (рас­кры­ва­ние ско­бок) не прин­ци­пи­а­лен, и можно было ука­зать в ответ вы­ра­же­ние, за­пи­сан­ное пред­по­след­ним.

Ответ. .

При­мер 5. Вы­пол­нить дей­ствия .

Ре­ше­ние. По­сту­па­ем уже из­вест­ным для нас об­ра­зом: рас­кры­ва­ем зна­ме­на­те­ли на мно­жи­те­ли, при необ­хо­ди­мо­сти ме­ня­ем знаки в зна­ме­на­те­лях дро­бей, на­хо­дим наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель и до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли.

.

Наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель: .

.

Можно за­ме­тить, что вы­ра­же­ние в чис­ли­те­ле пред­ста­ви­мо в виде по фор­му­ле квад­ра­та суммы, ана­ло­гич­но вы­ра­же­ние .

В конце про­ве­де­но со­кра­ще­ние на , зна­чит необ­хо­ди­мо обя­за­тель­но за­пи­сать об­ласть недо­пу­сти­мых зна­че­ний пе­ре­мен­ной, свя­зан­ную с этим со­кра­ще­ни­ем: и яв­ля­ют­ся недо­пу­сти­мы­ми зна­че­ни­я­ми пе­ре­мен­ных. Во всех осталь­ных слу­ча­ях вы­ра­же­ние равно .

Ответ. .