Математическое моделирование

Математическое моделирование и вычислительный эксперимент

Введение

 

В настоящее время складываются основы новой методологии научных исследований - математического моделирования и вычислительного эксперимента. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его математической моделью и исследовании современными вычислительными средствами математических моделей. Методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки больших технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

 

Широкое применение математических методов позволяет поднять общий уровень теоретических исследований, дает возможность проводить их в более тесной связи с экспериментальными исследованиями. Математическое моделирование может рассматриваться как новый метод познания, конструирования, проектирования, который сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента).

 

Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен. Вычислительный эксперимент позволяет провести исследование быстрее и дешевле. Математическое моделирование является в настоящее время одной из важнейших составляющих научно-технического прогресса. Без применения этой методологии в развитых странах не реализуется ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект.

 

Рождение и становление методологии математического моделирования пришлось на конец 40-х-начало 50-х годов XX века и было обусловлено по крайней мере двумя причинами. Первым, но не основным, побудительным мотивом послужило появление компьютеров, которые избавили исследователей от огромной по объему рутинной вычислительной работы. Второй, более важной, причиной явился беспрецедентный социальный заказ - выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита. Эти сложнейшие научно-технические проблемы не могли быть реализованы традиционными методами без широкого использования вычислительных средств. Ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были промоделированы сначала на компьютерах и лишь затем претворены на практике.

 

Основу математического моделирования составляет триада модель - алгоритм - программа. Математические модели реальных исследуемых процессов сложны и включают системы нелиненых функционально-дифференциальных уравнений. Ядро математической модели составляют уравнения с частными производными.

 

На первом этапе вычислительного эксперимента выбирается (или строится) модель исследуемого объекта, отражающая в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д. Математическая модель (ее основные фрагменты) исследуется традиционными аналитическими средствами прикладной математики для получения предварительных знаний об объекте.

 

Второй этап связан с выбором (или разработкой) вычислительного алгоритма для реализации модели на компьютере. Необходимо получить искомые величины с заданной точностью на имеющейся вычислительной технике. Вычислительные алгоритмы должны не искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, они должны быть адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых вычислительных средств. Изучение математических моделей проводится методами вычислительной математики, основу которых составляют численные методы решения задач математической физики - краевых задач для уравнений с частными производными.

 

На третьем этапе создается программное обеспечение для реализации модели и алгоритма на компьютере. Программный продукт должен учитывать важнейшую специфику математического моделирования, связанную с использованием ряда (иерархии) математических моделей, многовариантностью расчетов. Это подразумевает широкое использование комплексов и пакетов прикладных программ, разрабатываемых, в частности, на основе объектно-ориентированного программирования.

 

Успех математического моделирования определяется одинаково глубокой проработкой всех основных звеньев вычислительного эксперимента. Опираясь на триаду модель - алгоритм - программа, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется и калибруется на решении содержательного набора пробных задач. После этого проводится широкомасштабное исследование математической модели для получения необходимых качественных и количественных свойств и характеристик исследуемого объекта.

 

Вычислительный эксперимент по своей природе носит междисциплинарный характер, невозможно переоценить синтезирующую роль математического моделирования в современных научно-технических разработках. В совместных исследованиях участвуют специалисты в прикладной области, прикладной и вычислительной математике, по прикладному и системному программному обеспечению. Вычислительный эксперимент проводится с опорой на широкое использование самых разных методов и подходов - от качественного анализа нелинейных математических моделей до современных языков программирования.

 

Моделирование в том или ином виде присутствует почти во всех видах творческой деятельности. Математическое моделирование расширяет сферы точного знания и поле приложений рациональных методов. Оно базируется на четкой формулировке основных понятий и предположений, апостериорном анализе адекватности используемых моделей, контроле точности вычислительных алгоритмов, квалифицированной обработке и анализе данных расчетов.

 

Решение проблем жизнеобеспечения на современном этапе основывается на широком использовании математического моделирования и вычислительного эксперимента. Вычислительные средства (компьютеры и численные методы) традиционно хорошо представлены в естественнонаучных исследованиях, прежде всего в физике и механике. Идет активный процесс математизации химии и биологии, наук о земле, гуманитарных наук и т.д.

 

Наиболее впечатляющие успехи достигнуты при применении математического моделирования в инженерии и технологии. Компьютерные исследования математических моделей в значительной степени заменили испытания моделей летательных аппаратов в аэродинамических трубах, взрывы ядерных и термоядерных устройств на полигонах.

 

Современные информационные технологии используются в медицине. Сбор и анализ диагностических данных позволяет провести своевременную диагностику заболеваний. Например, компьютерный томограф является примером того, как использование математических методов обработки больших массивов данных позволило получить качественно новый медицинский инструментарий.

 

Здесь изложены основные подходы к построению и анализу математических моделей, общие для различных областей знания, не зависящие от конкретной специфики. Окружающий людей мир един, что проявляется, в частности, в универсальности математических моделей, в использовании одних и тех же математических конструкций для описания различных явлений и объектов. Указаны общие черты вычислительного эксперимента с теоретическими и экспериментальными методами в научных исследованиях. Ниже приводится краткое описание различных типов вычислительного эксперимента. Вычислительный эксперимент рассматривается как наиболее высокая ступень математического моделирования, порожденная преобладающим использованием компьютеров и численных методов для изучения математических моделей.

 

Математическое моделирование

 

Математизация научного знания, под которой понимается применение математических понятий в естественных и гуманитарных науках, технике, является приметой нашего времени. Часто и уровень развития той или иной науки характеризуется по степени использования математических методов. Известный афоризм "Во всяком знании столько науки, сколько в ней математики" отражает это мнение.

 

Математизация знаний

 

На эмпирическом уровне развития науки описываются наблюдаемые явления, проводятся опыты, собираются и классифицируются экспериментальные данные. Для теоретического уровня характерно введение новых абстракций и идеализаций, понятий, формулировка основных законов, образующих ядро теории. При этом достигается целостный взгляд на исследуемый объект, дается единое истолкование всей совокупности экспериментальных данных.

 

Большая эвристическая роль теории проявляется в том, что она позволяет предсказать новые, ранее не известные характеристики объекта, явления или процесса. История развития науки содержит блестящие иллюстрации этого: открытие Нептуна, открытие позитрона и т.д. Математические идеи и методы служат не просто математическими украшениями, а действенными средствами количественного и качественного анализа.

 

Различные науки имеют разный уровень математизации. Для наук, в которых превалирующее значение имеют качественные математические модели, характерен невысокий (более точно, относительно невысокий) уровень математизации. Степень математизации можно характеризовать по тому, какие математические модели используются и насколько широко. Например, применение математики в механике базируется на использовании систем уравнений с частными производными. Причем такие математические модели используются не от случая к случаю, а во всех разделах механики, таких как теория упругости, гидро- аэродинамика и т.д. Большой уровень математизации характерен и для физики, хотя в различных ее разделах математические методы пока используются в разной степени.

 

В настоящее время отмечается все возрастающий уровень математизации химии. Например, химическая кинетика базируется на системах обыкновенных дифференциальных уравнений, химическая гидродинамика - на уравнениях в частных производных и т.д. Повышается и уровень математизации биологии. В этой связи достаточно сослаться на классические работы В.Вольтерра по моделированию системы хищник - жертва, выполненные еще в начале двадцатого века.

 

Мы являемся свидетелями все более широкого использования математических идей в экономике, истории и других гуманитарных науках. Процесс математизации наук идет чрезвычайно быстро благодаря опыту, накопленному при математизации механики и физики, благодаря достигнутому уровню развития самой математики. Применение математики в химии и биологии в большой степени базируется на уже разработанном ранее математическом аппарате. Поэтому темпы математизации этих наук в значительной степени сдерживаются только уровнем развития самой химии, самой биологии. Здесь важное значение имеет и психологический фактор боязни математики. Без развития экспериментальных и теоретических исследований существенное продвижение за счет только математических методов невозможно. Успешное применение математических методов требует прежде всего глубокого овладения содержанием исследуемого процесса или явления, необходимо быть прежде всего специалистом в прикладной области, а потом уже математиком.

 

Единство природы проявляется в том, что для описания различных физических, химических, биологических и т.д. процессов и явлений применяются одни и те же математические модели. Это свойство конечного числа математических моделей отражает прежде всего их абстрактность. Одно и то же математическое выражение (понятие) может описывать совершенно различные процессы, характеристики. Так например, уравнение Лапласа описывает движение несжимаемой жидкости в гидродинамике, электростатическое поле вне заряженных тел, стационарное тепловое поле, прогиб мембраны в теории упругости и т.д. Как отмечал А.Пуанкаре "Математика - это искусство давать разным вещам одно наименование". Это позволяет, в частности, при исследовании одного конкретного явления или процесса использовать результаты, полученные при исследовании другого явления или процесса. В такой общности, единстве математических моделей проявляется интегрирующая роль (ее наддисциплинарный характер) математики, ее методов.