Основные характеристики пространственной структуры излучения.

 

До сих пор при изложении вопросов обнаружения сигналов на фоне помех учитывалась только их временная структура. В то же время, как сигналы, так и помехи являются электромагнитными полями, которые характеризуются амплитудами и фазовыми распределениями на раскрыве передающей или приемной антенны, где – координаты раскрыва.

Под пространством сигнала будем понимать для определенности плоскость . На плоскости в пределах площади существует поле , а вне поле равно нулю (рис. 9.1).

 

 

где и - амплитуда и фаза поля.

Пусть пространственный сигнал представляет распре на плоскости Z=0, т.е. на плоскости , амплитуд и фаз поля монохроматического колебания

 

,

 

где - амплитуда, круговая частота и начальная фаза монохроматического колебания.

При этом поле в полусфере бесконечного радиуса при Z > 0, опирающейся на плоскости Z = 0, является суммой плоских волн с различными амплитудами, фазами и направлениями распространения:

 

 

где - радиус-вектор, проведенный из начала координат в точ­ку наблюдения;

- волновой вектор, модуль которого

 

 

 

Рис. 9.1 Пространство сигнала

 

проекции волнового вектора;

комплексная функция, которая описывает амплитуду и фазу отдельной плоской волны с направлением распространения, определяемым совокупностью двух действительных переменных и .

Заметим, что факт распространения плоской волны в любом направлении отражается условием сохранения фазы волнового фронта, распространяющегося со скоростью света :

 

, если

 

Факт суммирования плоских волн, распространяющихся во всех направлениях передней полусферы, отражается их двойным интегриро­ванием по всем направлениям.

Направление распространения волны определяется проекциями волнового вектора на координатной оси (рис. 9.2). В общем случае направление распространения волны определяется двумя углами и . Если эти углы выбраны по отношению к прямоугольной системе координат так, как показано на рис. 9.2, то

 

 

 

Рис. 9.2 Проекции волнового вектора на координатные оси.

 

Так как три проекции волнового вектора связаны соотношением , то независимых проекций всего две и , а третья проекция

 

.

 

Используя введенные обозначения, перепишем выражение для ис­комого поля так:

 

.

 

Определим комплексную функцию . Очевидно, что приведенное решение волнового уравнения должно удовлетворять следующему условию - на плоскости Z =0 это решение должно иметь вид заданного пространственного сигнала

 

.

 

Полученное выражение представляет собой обратное преоб­разование Фурье. Прямое двумерное преобразование Фурье позволяет найти функцию :

 

.

 

Функция , определяющая распределение амплитуд и фаз плоских волн по направлениям согласно последнему выражению мо­жет быть названа спектром волнового поля или угловым спектром поля. Название "угловой спектр" отражает связь аргументов и с углами распространения и соответствующих плоских волн.

Последние два соотношения представляют собой прямое и обратное преобразования Фурье для двух пар переменных - и . Переменные являются координатами точек пространства и имеют размерность длины. Переменные и имеют размерность, обратную длине. Эти переменные называются пространственными частотами. Такое название вполне оправдано. Параметр или в пространственном сигнале подобен времени во временном сигнале, а параметр или подобен круговой частоте в спектре временного сигнала. Поэ­тому оправданным является и другое обозначение переменных и как круговых пространственных частот

 

 

Таким образом, переменные и имеют двойной физичес­кой смысл - это, с одной стороны, пространственные частоты, а с другой стороны, величины, определяющие углы распространения плос­ких волн, на которые разлагается волновое поле.

Решение волнового уравнения остается двузначным, так как мож­но выбрать любой из двух знаков перед координатой в показателе экспоненты. Эта неопределенность знака устраняется, если учесть поведение неоднородных волн при увеличении . В отличие от распространяющихся плоских волн при

 

 

неоднородные волны получаются при

 

,

 

которые экспоненциально затухают вдоль координаты . При этом убывающее с ростом поле мы получим только в том случае, ес­ли выберем в указанном показателе экспоненты перец знак "+". С учетом этого решение волнового уравнения, определяющее комплекс­ную амплитуду поля в передней полусфере в виде суперпозиции плос­ких волн различных направлений (в том числе и неоднородных) с раз­личными амплитудами и фазами, обретает окончательный вид:

 

.

 

Заметим, что решение волнового уравнений является отражением двух базовых явлений: явления дифракции радиоволн, т. е. отклонения направления распространения радиоволн от нормали к излучающему раскрыву, и явления интерференции радиоволн, т.е. сложения (супер­позиции) плоских радиоволн с различными амплитудами, фазами и нап­равлениями распространения.

Сомножитель в подынтегральном выражении доопределяет фазу каждой составляющей углового спектра поля с учетом того, что сигнал в передней полусфере наб­людается на плоскости, перпендикулярной оси на расстоянии от плоскости входного пространственного сигнала. Поэтому этот сомножитель условно может рассматриваться как частотная характе­ристика свободного пространства

 

.

 

Амплитудно-частотная характеристика свободного пространства для распространяющихся в передней полусфере радиоволн равна единице

 

 

где , - координаты волнового вектора в полярной системе координат (рис. 9.2):

 

 

– угол между направлением распространения плоской радиоволны и осью , т.е. угол отклонения (дифракции) электромагнитных волн от направления, перпендикулярного плоскости пространственного сигнала.

Фазочастотная характеристика свободного пространства

 

 

изображена на рис. 9.3.

 

 

Рис. 9.3 Фазочастотная характеристика свободного пространства.

 

Поведение фазочастотной характеристики свободного пространства представляет наибольший интерес в диапазоне пространственных частот, равном ширине амплитудно-частотного спектра пространственного сиг­нала, которая по аналогии с шириной спектра временного сигнала () определяется пространством сигнала:

 

 

где - обобщенный линейный размер пространства сигнала.

Это означает, что поведение фазочастотной характеристики свобод­ного пространства представляет интерес в диапазоне углов дифракции

 

.

 

Учитывая это, фазочастотная характеристика свободного прост­ранства может приближенно рассматриваться в различных условиях дифракции:

1) в условиях приближения геометрической оптики изменением ФЧХ свободного пространства в диапазоне углов дифракции можно пренебречь

 

 

если второе (отброшенное) слагаемое разложения в ряд Маклорена много меньше радиан

 

 

что выполняется в области глубокой ближней зоны

 

;

 

2) в условиях дифракции Френеля фазочастотную характеристику свободного пространства в диапазоне углов дифракции мож­но аппроксимировать параболой

 

 

если третье (отброшенное) слагаемое разложения в ряд Маклорена много меньше радиан

 

 

что выполняется на расстояниях

 

 

т.е. практически в области ближней зоны

 

;

 

3) в условиях дифракции Фраунгофера, когда изменение фазочастотной характеристики свободного пространства в диапазоне углов дифракции больше радиан

 

,

 

т.е. практически в области дальней зоны

 

.

 

При этом решение дифракционной задачи упрощается в большей мере, чем даже в частных случаях дифракции Френеля или приближе­ния геометрической оптики. Действительно, поле в дальней зоне, используя полярную систему координат

 

 

можно представить в следующем виде:

 

 

Учитывая ограниченную область изменения пространственной частоты относительно малые размеры пространства сигна­ла относительно небольшой диапазон изменения углов дифракции , можно вычислить ин­теграл путем ряда уточнений, преобразований переменной интегриро­вания и упрощений:

- уточнение пределов интегрирования

 

,

 

- упрощение подынтегрального выражения

 

 

- переход к переменной интегрирования , а от нее – к переменной

 

 

Дальнейшее вычисление интеграла основано на использовании относительно медленного изменения функции по сравнению с изменением функций и в дальней зоне . Это позволяет вынести за знак интеграла функцию :

 

.

 

Осуществляя замену переменной интегрирования

 

 

приводим выражение к интегралам Френеля

 

.

 

Учитывая асимптотические свойства интегралов Френеля

 

 

находим окончательно:

 

.

 

Возвращаясь к двумерному интегралу, определяющему поле в дальней зоне источника излучения (в плоскости ), с точнос­тью до несущественного постоянного фазового сдвига, получаем

 

.

 

Таким образом, в дальней зоне (зоне Фраунгофера) распределение поля определяется формой спектра исходного поля. Этот резуль­тат широко известен в теории антенн, гае распределение поля по углам в дальней зоне (диаграмма направленности антенны) есть пре­образование Фурье от распределения в раскрыве антенны

При регулярном АФР поля в плоскости излучения диаграмма нап­равленности характеризуется наличием главного лепестка определен­ной формы и ширины, а также наличием боковых лепестков определен­ного уровня. Так, например, при равномерном распределении (АФР) поля на раскрыве

 

 

диаграмма направленности излучения имеет форму в обеих плоскостях:

 

 

Угловая ширина диаграммы направленности антенны пропорциональна ширине спектра пространственного сигнала

 

 

Таким образом, диаграмма направленности антенны и ее ширина (рис. 9.4) являются важнейшими пространственными характеристиками из­лученного (зондирующего) сигнала, определяющими направленность излучения антенной системы с регулярным амплитудно-фазовым распределением поля на ее раскрыве.

 

 

Рис. 9.4. Диаграмма направленности антенны при равномерном АФР