Помехоустойчивость оптимального когерентного приема.

Оптимальный приемник с согласованным фильтром

Скалярное произведение можно вычислить с помощью пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами.

Если на вход фильтра подать принимаемый сигнал z(t), то напряжение на выходе фильтра

где g() – импульсная характеристика фильтра.

Выберем g(, чтобы в момент t = Т получить значение у(T), равное скалярному произведению. Это будет выполнено при следующем согласовании

g(T-τ) = s_i(τ) или g(t) = s_i(T-τ).

Согласованным фильтром для сигнала s(t) называют линейный пассивный фильтр с постоянными параметрами и ИХ

g(t)=as(t₀-t),

где а, t₀ — постоянные.

Функция g(t) является зеркальным отображением s(t) относительно оси, проведённой через точку .

Для физической реализуемости фильтра необходимо и достаточно, чтобы g(t) = 0 при t < 0. В частности, для финитного сигнала s(t), поступающего на вход фильтра в момент t = 0 и заканчивающегося в момент Т, условие физической реализуемости согласованного фильтра заведомо выполняется, если постоянная t₀ (момент отсчёта) удовлетворяет условию

t₀-T ≥ 0 или t₀ ≥ T.

Передаточная функция (частотная характеристика) согласованного фильтра с ИХ определяется преобразованием Фурье

,

Рисунок 1 - Сигнал S(t) и импульсная характеристика g(t) линейного фильтра, согласованного с этим сигналом

где — функция, комплексно-сопряжённая со спектральной плотностью сигнала s(t). Фильтр лучше передаёт те частоты, которые дают больший вклад в энергию сигнала, а его фазо-частотная характеристика обратна по знаку фазовому спектру сигнала s(t). Благодаря этому в момент t_о все составляющие спектра принимаемого сигнала складываются в фазе и дают максимальный отклик.

Отклик согласованного фильтра на финитный сигнал длительностью Т, поданный ко входу в момент времени 0, существует лишь на финитном интер­вале протяжённостью 2T. Если на вход фильтра подан сигнал, с которым он согласован, то сигнальная составляющая на выходе согласованно­го фильтра

,

где Bs(t₀-t) — ФК сигнала s(t) при аргументе t₀—t.

Для финитного сигнала она определена на интервале (0,2 T) и имеет максимум в точке t = t₀ == Т.

 

Формы полезного сигнала на входе и выходе согласованного фильтра, как правило, существенно отличаются друг от друга. Задачей согласованного фильтра является не восстановление формы сигнала, искажённой шумом, а получение одного отсчёта, по которому можно судить о присутствии или отсутствии на входе фильтра сигнала известной формы.

 

Рисунок 2 - Оптимальный демодулятор на основе согласованных фильтров

 

Помехоустойчивость оптимального когерентного приема.

Пусть точно известно оба ожидаемых сигнала: s₁(t) и s₀(t) и априорные вероятности этих сигналов одинаковы.

Алгоритм оптимального приема:

.

При выполнении неравенства оптимальный приемник регистрирует символ 1, соответствующий сигналу s₁(t), в противном случае – символ 0, соответствующий сигналу s₀(t).

Если действительно передается символ 1, то z(t) = s₁(t) + n(t).

Вероятность ошибки определяется вероятностью выполнения обратного неравенства

которое приводится к следующему виду:

Аналогичное соотношение получается, если предположить, что передается символ 0. Следовательно, в обоих случаях вероятность ошибки p(0|1) = p(1|0) = p и сформированный модемом двоичный дискретный канал симметричен.

Запишем , где

Если n(t) – нормальный стационарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности N₀, то ξ – нормально распределенная величина(т.к. она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом). Ее математическое ожидание

а дисперсия

Поэтому вероятность выполнения неравенства, т.е. вероятность ошибки

p =

Функция Q(x) = табулирована и называется дополнительной функцией ошибок. Через Q – вероятность ошибки можно записать в виде p = Q .

При заданной интенсивности помехи N₀ потенциальная помехоустойчивость двоичной системы зависит только от эквивалентной энергии сигналов

Которая равна квадрату расстояния между сигнальными точками в пространстве Гильберта.

Помехоустойчивость выше (вероятность ошибки меньше) у той системы, у которой больше эквивалентная энергия используемых сигналов, независимо от формы используемых сигналов.

Сигналы могут быть как простыми(отрезками синусоиды, с малой базой), так и сложными(шумоподобными, с большой базой).