Если каждому значению действительной переменной 
поставлен в соответствие вектор 
, то на множестве 
задана вектор-функция 
действительной переменной 
.
Задание вектор - функции 
равносильно заданию трех числовых функций 
- координат вектора 
:
;
Производной вектор – функции 
по аргументу называется новая вектор – функция:
Если вектор является радиус вектором точки 
, то соответствующую вектор-функцию принято обозначать:
.
Годографом вектор – функции 
называется линия, описываемая в пространстве концом вектора 
. Всякую линию в пространстве можно рассматривать как годограф некоторой вектор функции.
Параметрические уравнения годографа:
.
Производные вектор – функции 
имеют вид:
Физический смысл производных:
- вектор и величина скорости,
- вектор и величина ускорения конца вектора 
, если - время.
Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения равны:
Вектор 
направлен по касательной к годографу вектор – функции в сторону возрастания аргумента .
Уравнение касательной к пространственной кривой 
в точке 
, которой соответствует значение параметра 
, имеет вид:
где 
текущие координаты касательной.
Уравнение касательной к годографу вектор – функции 
при 
может быть получено из уравнения касательной к графику функции, заданной параметрически на плоскости:
| № п/п | ЗАДАЧИ | Ответ |
| ПП13 III.№1. | Найти годограф вектор – функции 
РЕШЕНИЕ:
Параметрические уравнения годографа: 
Исключая параметр  , получаем   Таким образом, годографом является окружность  ,  , из которой необходимо исключить точку  , которая получается в пределе при  .
| , , 
|
| ПП13 III.№2. | Найдите годограф вектор – функции 
РЕШЕНИЕ:
Запишем координаты конца радиус – вектора:  это параметрические уравнения прямой:  .
| Прямая
|
| ПП13 III.№3. | Найдите годограф вектор – функции  .
РЕШЕНИЕ: Запишем координаты конца радиус – вектора:  Кривая лежит в плоскости  , перейдем от параметрического представления кривой к ее виду в декартовых координатах, для чего возведем  и  в степень  и сложим:  , или  . Это уравнение астроиды.
| Астроида 
|
| ПП13 III.№4. | Дано уравнение движения  .
Определите траекторию, скорость и ускорение движения. Постройте векторы и найдите скорости и ускорения для моментов  .
РЕШЕНИЕ:
 
 
| Циклоида в
плоскости  :
 
|
| ПП13 III.№5. | Найдите производную вектор – функции 
РЕШЕНИЕ:
 .
| 
|
| ПП13 III.№6. | Найдите производную вектор – функции  при  .
РЕШЕНИЕ:
| 
|
| ПП13 III.№7. | Найдите годограф вектор – функции  и напишите уравнение касательной к нему в точке, соответствующей  .
РЕШЕНИЕ:
Параметрические уравнения годографа: 
Используя свойство гиперболических функций  , получаем уравнение гиперболы  в плоскости  .
Таким образом, годографом является правая ветвь гиперболы, пробегаемая в направлении возрастания координаты  .
Уравнение касательной: 
| ,
;
 .
|
