III. Векторные функции действительной переменной

Если каждому значению действительной переменной поставлен в соответствие вектор , то на множестве задана вектор-функция действительной переменной .

Задание вектор - функции равносильно заданию трех числовых функций - координат вектора :

;

Производной вектор – функции по аргументу называется новая вектор – функция:

Если вектор является радиус вектором точки , то соответствующую вектор-функцию принято обозначать:

.

Годографом вектор – функции называется линия, описываемая в пространстве концом вектора . Всякую линию в пространстве можно рассматривать как годограф некоторой вектор функции.

Параметрические уравнения годографа:

.

Производные вектор – функции имеют вид:

Физический смысл производных:

- вектор и величина скорости,

- вектор и величина ускорения конца вектора , если - время.

Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения равны:

Вектор направлен по касательной к годографу вектор – функции в сторону возрастания аргумента .

Уравнение касательной к пространственной кривой в точке , которой соответствует значение параметра , имеет вид:

где текущие координаты касательной.

Уравнение касательной к годографу вектор – функции при может быть получено из уравнения касательной к графику функции, заданной параметрически на плоскости:

№ п/п	ЗАДАЧИ	Ответ
ПП13 III.№1.	Найти годограф вектор – функции РЕШЕНИЕ: Параметрические уравнения годографа: Исключая параметр , получаем Таким образом, годографом является окружность , , из которой необходимо исключить точку , которая получается в пределе при .	, ,
ПП13 III.№2.	Найдите годограф вектор – функции РЕШЕНИЕ: Запишем координаты конца радиус – вектора: это параметрические уравнения прямой: .	Прямая
ПП13 III.№3.	Найдите годограф вектор – функции . РЕШЕНИЕ: Запишем координаты конца радиус – вектора: Кривая лежит в плоскости , перейдем от параметрического представления кривой к ее виду в декартовых координатах, для чего возведем и в степень и сложим: , или . Это уравнение астроиды.	Астроида
ПП13 III.№4.	Дано уравнение движения . Определите траекторию, скорость и ускорение движения. Постройте векторы и найдите скорости и ускорения для моментов . РЕШЕНИЕ:	Циклоида в плоскости :
ПП13 III.№5.	Найдите производную вектор – функции РЕШЕНИЕ: .
ПП13 III.№6.	Найдите производную вектор – функции при . РЕШЕНИЕ:
ПП13 III.№7.	Найдите годограф вектор – функции и напишите уравнение касательной к нему в точке, соответствующей . РЕШЕНИЕ: Параметрические уравнения годографа: Используя свойство гиперболических функций , получаем уравнение гиперболы в плоскости . Таким образом, годографом является правая ветвь гиперболы, пробегаемая в направлении возрастания координаты . Уравнение касательной:	, ; .