Определение. Подпространством 
линейного пространства 
называется множество векторов из такое, что для любых двух векторов 
и 
из и любых двух вещественных чисел 
и 
линейная комбинация 
также принадлежит .
Утверждение. Подпространство само является линейным пространством.
Определение. Линейной оболочкой системы векторов 
называется множество всех линейных комбинаций векторов . Обозначается 
.
Утверждение. Линейная оболочка системы векторов является подпространством.
Определение. Пересечением двух подпространств и называется множество всех векторов, принадлежащих одновременно и,и. Обозначается.
Определение. Суммой двух подпространств 
и 
называется множество всех векторов 
, представимых в виде 
, где 
, 
. Обозначается 
.
Утверждение. Сумма и пересечение подпространств и являются линейными пространствами, и их размерности связаны равенством
+ 
= + .
Определение. Сумма двух подпространств называется прямой суммой, если пересечение этих подпространств состоит только из нулевого вектора.
Примеры
1. Найти размерность и какой-нибудь базис суммы и пересечения подпространств, порождённых векторами 
.
Решение. Вычислим вначале размерность подпространств. С этой целью установим, являются ли линейно независимыми векторы, порождающие данные подпространства. Для подпространства 
, порождённого векторами 
, равенство нулю линейной комбинации 
, эквивалентное системе уравнений 
, достигается лишь при условии 
. Следовательно, векторы линейно
независимы и размерность подпространства равна 2: 
. Для подпространства , порождённого векторами 
, проводя аналогичный анализ, получим 
.
Вычислим теперь размерность пересечения подпространств и . По определению векторы, составляющие пересечение, принадлежат одновременно обоим подпространствам. Произвольный вектор 
подпространства является линейной комбинацией базисных векторов : 
. Аналогично для подпространства имеем 
, тогда условие принадлежности пересечению есть 
или 
.
Это условие представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов 
. Составим матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований: 
Как видно ранг системы равен 3. Значит ФСР состоит из одного линейно независимого вектора. Найдём его, решив систему уравнений, соответствующих последней матрице, получим 
,
откуда 
.
Полагая свободное неизвестное 
, для остальных имеем
. Итак, пересечение подпространств 
имеет один базисный вектор
.
Размерность пересечения 
. Следовательно, в соответствии с равенством
размерность суммы подпространств 
. В качестве базиса суммы подпространств можно взять, например, векторы , дополненные вектором 
. В линейной независимости векторов 
убедиться нетрудно.
Задачи
3.39. Найти размерность и какой-нибудь базис подпространства, порожденного векторами 
, 
, 
, 
, 
.
3.40. Найти размерность и какой-либо базис линейной оболочки векторов 
, 
, 
, 
, 
.
3.41. Является ли подпространством в указанном пространстве множество
а) векторов, выходящих из начала координат и заканчивающихся на фиксированной прямой, в пространстве R2;
б) бесконечно малых числовых последовательностей в пространстве сходящихся последовательностей;
в) сходящихся к числу 
последовательностей в пространстве сходящихся последовательностей;
г) диагональных матриц в пространстве квадратных матриц того же порядка;
д) невырожденных матриц в пространстве симметричных матриц того же порядка;
е) дифференцируемых на интервале 
функций в пространстве функций, непрерывных на отрезке 
.
3.42. Почему не является подпространством в указанном пространстве множество
а) векторов, каждый из которых лежит на одной из координатных плоскостей, в пространстве R3;
б) векторов из пространства Rn, координаты которых удовлетворяют уравнению 
;
в) расходящихся числовых последовательностей в пространстве ограниченных последовательностей;
г) вырожденных матриц в пространстве квадратных матриц того же порядка;
д) монотонно возрастающих и ограниченных на множестве 
функций в пространстве функций, ограниченных на том же множестве.
3.43. Найти размерность и какой-либо базис подпространства решений однородной системы:
а) 
; б) 
;
в) 
.
3.44. Доказать, что данное множество является подпространством в Rn, найти его размерность и какой-либо базис:
а) все n -мерные векторы, координаты которых удовлетворяют уравнению 
;
б) все n -мерные векторы, у которых первая координата равна нулю;
в) все n -мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой;
г) все n -мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю;
д) все n -мерные векторы, у которых координаты с нечетными номерами равны между собой.
3.45. Найти размерность суммы и пересечения подпространств, порожденных векторами 
, 
и 
, 
. Является ли эта сумма прямой суммой?
3.46. Найти размерность суммы и пересечения линейных оболочек векторов 
, 
, 
и 
, 
, 
. Является ли их cумма прямой?
3.47. Найти базис суммы и пересечения двух подпространств, порожденных соответственно векторами 
и 
, если
а) 
, 
, 
, 
, 
, 
;
б) 
, 
, 
, 
, 
, 
.
3.48. Найти базис суммы и пересечения линейных оболочек 
и 
, если
а) 
, 
, 
, 
;
б) 
, 
, 
, , 
, 
.
Является ли прямой сумма этих подпространств?
