Зміст теми.
І. До поняття визначеного інтегралу приводить задача з визначення площі криволінійної трапеції.
Фігуру, обмежену неперервною кривою 
відрізком 
осі ОХ і прямими 
і 
називають криволінійною трапецією (мал.1). Розіб’ємо відрізок довільним чином на 
рівних частин. Точки поділу позначимо: 
З цих точок проведемо перпендикуляри до перетину з кривою 
Отримаємо малих криволінійних трапецій, сума площ яких дає нам площу криволінійної трапеції. В центрі відрізків 
візьмемо точки 
і проведемо перпендикуляри (штрихові лінії) від цих точок до перетину з кривою а потім побудуємо прямокутники, в основі яких лежать відрізки , а висоти, відповідно, ординати 
Утворилася ступінчата фігура, площа якої 
наближається до площі криволінійної трапеції 
причому тим точніше, чим більше .
Знайдемо 
Всі доданки цієї суми відрізняються тільки індексами біля незалежної змінної, тому скорочено цю суму можна записати так:
(1)
- це інтегральна сума. Символ 
(грецька буква “сигма”) означає, що потрібно додати вирази, що в правій частині (1), надаючи індексу 
всі цілі значення, починаючи від значення, вказаного під символом “сигма”, до значення, вказаного над цим символом.
Якщо у виразі (1) збільшувати число так, щоб довжина відрізка 
= 
прямувала до нуля, то площа 
криволінійної трапеції буде дорівнювати границі інтегральної суми :
(2)
Границя інтегральної суми, при умові, що, називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначається
(3)
де 
- нижня межа інтегрування, 
- верхня межа інтегрування, 
-змінна інтегрування.
Не для всякої функції 
існує визначений інтеграл. Функція , для якої існує визначений інтеграл, називається інтегрованою на проміжку . Якщо
функція обмежена на проміжку і неперервна на ньому, то вона інтегрована на цьому проміжку.
Якщо межі інтегрування є сталими величинами, то визначений інтеграл є стале число.
Зв’язок між визначеним і невизначеним інтегралом встановлює формула Ньютона – Лейбніца:
(4)
де 
і 
- значення первісної функції, взяті в точках верхньої і нижньої границі.
ІІ. Властивості визначеного інтегралу.
1. Визначений інтеграл не залежить від позначення змінної
,
оскільки результат інтегрування - число, яке не залежить від того, якою буквою позначено аргумент підінтегральної функції.
2. Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченого числа неперервних функцій, заданих на відрізку дорівнює алгебраїчній сумі визначених інтегралів:
.
3. Сталий множник 
виноситься за знак визначеного інтегралу:
4. Якщо верхню і нижню межі інтегрування поміняти місцями, то визначений інтеграл змінить знак на протилежний при збереженні абсолютної величини
5. Якщо межі інтегрування рівні, 
то визначений інтеграл дорівнює нулю:
6. 
при 
.
7. Адитивна властивість: якщо проміжок розбити на дві частини 
і 
, то
8. Якщо підінтегральна функція на проміжку інтегрування зберігає постійний знак, то інтеграл буде число того ж знаку, що і функція, тобто якщо 
, то
9. Якщо 
- найменше, а 
- найбільше значення функції на проміжку
то значення визначеного інтегралу знаходяться між добутками найбільшого і найменшого значення підінтегральної функції на довжину інтервалу інтегрування, тобто
