Обернені тригонометричні функції

Елементарні функції

Будь – яка функція ƒ, яка може бути задана за допомогою формули у = ƒ(х), що складається з скінченого числа арифметичних операцій над основними елементарними функціями та їх композицій, називається елементарною функцією.

В множині елементарних функцій виділяються такі класи функцій:

· Многочлени(поліноми) – функції виду Р(х) = . Якщо , то ціле невід’ємне число n називається ступенем багаточлена Р(х). Багаточлени визначені на всій числовій осі.

· Раціональні функції - функції виду ƒ(х) = , де Р(х) та Q(х) – багаточлени (Q(х) ≠ 0). Функція ƒ(х) визначена всюди, окрім тих точок, де Q(х) = 0.

· Ірраціональні функції – такі не раціональні функції, які можуть бути задані композицією скінченого числа раціональних функцій, ступеневих функцій з раціональними показниками та чотирьох арифметичних дій.

· Трансцендентні функції – елементарні функції, що не є раціональними чи ірраціональними.

ОСНОВНІ ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

1) Лінійна функція у = kx + b (k, b – сталі).

Лінійна функція задається рівнянням: y = kx + b.

Лінійна функція зростає при k > 0 та спадає при k < 0. Графік лінійної функції є пряма лінія, що проходить через точку M(0,b) паралельно графіку функції y = kx. Якщо k = 0, графік лінійної функції є пряма, паралельно осі абсцис, що проходить через точку b на осі ординат.

Функція виду y = kx проходить через початок координат, і утворює з віссю абсцис кут, тангенс якого дорівнює коефіцієнту пропорційності k.

 

2) Ступенева функція у = х , α R.

 

 

3) Показникові функції у = а , а > 0, а ≠ 1.

4) Логарифмічна функція у = log x, а > 0, а ≠ 1.

5)Тригонометричні функції y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x

 

Властивості функції y=sinх:

1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞).

2. Область значень – проміжок [-1;1].

3. Функція непарна, періодична з періодом Т= 2П.

4. Функція зростає при -П/2+2Пn<х<П/2+2Пn, n є Z.

5. Функція спадає при П/2+2Пn<х<3П/2+2Пn, n є Z.

6. Функція має максимум у точках П/2+2Пn, мінімум у точках -П/2+2Пn, nє Z

.

Властивості функції y=cosх:

1. Обл. визначення - проміжок (-∞;+∞).

2. Область значень – проміжок [-1;1].

3. Функція парна, періодична з періодом Т=2 П.

4. Функція зростає при -П+2Пn<х<2Пn, nє Z.

5. Функція спадає при 2Пn<х<П+2Пn, nє Z.

6. Функція має максимум у точках 2Пn, мінімум у точках П+2Пn, nєZ.

 

Властивості функції y=tgх:

1. Обл. визначення – всі дійсні числа, крім точок (П/2+Пn), nєZ.

2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).

3. Функція непарна, періодична з періодом Т= П.

4. Нулі функції – точки Пn, nєZ.

5. Функція зростає на всій області визначення.

6. Функція не має екстремумів.

Властивості функції y=сtgх:

1. Обл. визначення – всі дійсні числа, крім точок (П+Пn), nєZ.

2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).

3. Функція непарна, періодична з періодом Т= П.

4. Нулі функції – точки П/2+Пn, nєZ.

5. Функція спадає на всій області визначення.

6. Функція не має екстремумів.

Обернені тригонометричні функції

y = arcsin x, y = arсcos x, y = arctg x, y = arcctg x

 

а) y = arcsin x Область визначення: = . Область значень: = . Непарна. Неперіодична. Зростає при .
б) y = arсcos x Область визначення: = . Область значень: = . Спадає при .
в) y = arctg x, Область визначення: = . Область значень: = . Непарна. Зростає при .
г) y = arcctg x. Область визначення: = . Область значень: = . Спадає при .