Метод решения неравенства на промежутках

Разбиение ОДЗ неизвестной неравенства на промежутки позволяет упростить некоторые неравенства. Решение неравенства рассматривают отдельно на каждом промежутке.

Предложим еще один способ решения примеров 7 и 10.

Пример 11. (ЕГЭ-2011). Решить неравенство

Решение. Выше уже было установлено, что обе части неравенства определены при .

Рассмотрим два случая.

1. Пусть . Тогда

В этом случае неравенство примет следующий вид:

. .

2. Пусть . Тогда

В этом случае неравенство примет следующий вид:

Учитывая, что , имеем .

Объединяя найденные решения, получаем значения .

Ответ: .

Пример 12 (ЕГЭ 2011). Решить неравенство

Решение. Неравенство определено при условиях

то есть при всех значениях .

Приведем данное неравенство к виду

и рассмотрим три случая.

Если значения , то . Тогда получаем неравенство или с решениями для рассматриваемого случая.

Рассмотрим значения , тогда . Имеем неравенство или , с решениями .

Пусть значения . При от логарифмического неравенства придем к неравенству или не имеющих решений на рассматриваемом промежутке. В итоге получаем решение данного неравенства: .

Замечание. Еще один вариант рассмотрения решения данного неравенства при разбиении области его определения на промежутки – заменить данное неравенство следующей равносильной совокупностью систем:

Ответ: .

Пример 13 (ЕГЭ 2010). Решить неравенство

Решение. Значения , при которых определены обе части неравенства, задаются условиями

Для таких преобразуем левую часть исходного неравенства

Получаем

Рассмотрим два случая.

1. Пусть . Тогда , поэтому последнее неравенство равносильно неравенству .

Отсюда . Получаем на рассматриваемом промежутке .

2. Пусть . Тогда , поэтому последнее неравенство равносильно неравенству .

Отсюда . Получаем на рассматриваемом промежутке .

Объединяя полученные решения, имеем значения .

Ответ: .

Метод замены

Логарифмическое неравенство может быть упрощено и сведено к простейшему логарифмическому использованием надлежащей замены. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 14. (МИОО, апрель 2011). Решить неравенство

Решение. Запишем неравенство в следующей форме:

Пусть . Тогда неравенство примет вид

Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем:

Рассмотрим систему (). Решим первое неравенство этой системы.

Отсюда получаем . С учетом второго неравенства системы (I) или , получаем решение (I) .

Рассмотрим систему (II). Решим ее первое неравенство.

Отсюда . С учетом второго неравенства системы (II) или , получаем решение (II) .

Объединяя решения (I) и (II), получим решение исходного неравенства

Выполняя обратную замену, имеем

Отсюда получаем .

Ответ: .

Пример 15. (ЕГЭ 2010). Решить неравенство

Решение. В соответствии с определением логарифма, входящие в неравенство выражения имеют смысл при выполнении условий:

Сделаем замену . Так как неравенство выполняется при всех , то по свойству степени с основанием больше единицы получаем . Отсюда . С учетом последнего неравенства, запишем полученную выше систему