Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу.

 

У випадку невідомого σ спочатку за даними вибірки знаходять точкові оцінки розподілу (оцінки математичного сподівання та середнього квадратичного відхилення). Оскільки параметри, якими визначається розподіл Гаусса невідомі, для побудови довірчого інтервалу використовують випадкову величину Т (її можливі значення позначатимемо t), яка повністю визначається об'ємом вибірки і характеризується розподілом Стьюдента:

де – вибіркова середня, s – “виправлене” середнє квадратичне відхилення, n – об’єм вибірки.

Розподіл Стьюдента повністю визначається числом ступенів вільності n -1 і є парною функцією. Графіки щільності розподілу (а) та функції розподілу (б) Стьюдента з одним ступенем вільності подано на рис. 3

 

 

 

Рис 3

При збільшенні числа ступенів вільності розподіл Стьюдента наближається до нормального.

Розподіл Стьюдента дозволяє визначити довірчий інтервал

(, ), (6)

який з надійністю g покриває невідомий параметр а.

Точність оцінки

. (7)

Величини i s знаходять за вибіркою, а , при заданих n і g, за таблицею розподілу Стьюдента (табл. 2).

Аналіз формули для точності оцінки свідчить:

– при збільшенні об’єму вибірки n число d зменшується, а значить, точність оцінки збільшується;

– збільшення надійності оцінки g веде до збільшення d, тобто призводить до зменшення її точності.

Розподіл Стьюдента дає дещо ширший довірчий інтервал, ніж нормальний розподіл при малих n. Ця обставина пояснюється тим, що мала вибірка містить мало інформації про кількісну ознаку, яка цікавить, і не є недоліком даного методу. При великому об’ємі вибірки розподіл Стьюдента наближається до нормального. Однак, при n < 30 таке наближення призведе до невиправданого звуження довірчого інтервалу.

Приклад 4. Маса насінин ріжкового дерева має нормальний закон розподілу. Знайти за даними вибірки довірчий інтервал для середньої маси усіх насінин (тобто для математичного сподівання генеральної сукупності) а з надійністю g = 0,99, якщо зважувались n = 20 насінин, вибіркова середня = 200 мг, “виправлене” середнє s = 4,0 мг.

Розв’язок. Для надійностіg = 0,99 та n = 20 знаходимо за табл. 2 додатку t _g = 2,861. Отже,

а довірчий інтервал (197,4; 202,6) накриває з надійністю 0,99 математичне сподівання.

Приклад 5. Вміст сульфату хініну в таблетках визначався спектрофотометричним методом. В результаті шести вимірювань одержали такі результати у відсотках: 99,9; 99,8; 99,6; 99,1; 99,2; 99,2 %. Визначити середнє значення при довірчій надійності 0,95.

Розв’язання. Знайдемо вибіркову середню

.

Згідно з (7) .

На практиці зручно одразу обчислювати величину

.

За табл. 2 додатку . Отже, .

Істинний вміст сульфату хініну %.

Приклад 6. При дослідженні впливу різних доз кофеїну на вміст залишкового азоту (в грам-процентах) у білку головного мозку в контрольному досліді на 5 щурах були отримані такі результати: 0,160; 0,223; 0,201; 0,217; 0,174. Визначити з надійністю g = 0,95 довірчий інтервал для середнього значення цього показника.

Розв’язок

Зробивши аналогічні до попереднього прикладу розрахунки, отримаємо: := 0,195 грам-процентів

s = 0,0272 грам-процентів,

= 0,0122 грам-процентів.

За табл. 2 додатку t (0,95, 5) = 2,78

Отже,

δ= 2,78∙0,0122 грам-процентів ≈ 0,034 грам-процентів.

Тоді інтервальна оцінка (0,161 грам-процентів – 0,229 грам-процентів) з надійністю 95% містить математичне сподівання генеральної сукупності

 

Таблиця 1

Значення функції

X	F(x)	x	F(x)	x	F(x)	x	F(x)
0,00	0,0000	0,49	0,1879	0,98	0,3365	1,47	0,4292
0,01	0,0040	0,50	0,1915	0,99	0,3389	1,48	0,4306
0,02	0,0080	0,51	0,1950	1,00	0,3413	1,49	0,4319
0,03	0,0120	0,52	0,1985	1,01	0,3438	1,50	0,4332
0,04	0,0160	0,53	0,2019	1,02	0,3461	1,51	0,4345
0,05	0,0199	0,54	0,2054	1,03	0,3485	1,52	0,4357
0,06	0,0239	0,55	0,2088	1,04	0,3508	1,53	0,4370
0,07	0,0279	0,56	0,2123	1,05	0,3531	1,54	0,4382
0,08	0,0319	0,57	0,2157	1,06	0,3554	1,55	0,4394
0,09	0,0359	0,58	0,2190	1,07	0,3577	1,56	0,4406
0,10	0,0398	0,59	0,2224	1,08	0,3599	1,57	0,4418
0,11	0,0438	0,60	0,2257	1,09	0,3621	1,58	0,4429
0,12	0,0478	0,61	0,2291	1,10	0,3643	1,59	0,4441
0,13	0,0517	0,62	0,2324	1,11	0,3665	1,60	0,4452
0,14	0,0557	0,63	0,2357	1,12	0,3686	1,61	0,4463
0,15	0,0596	0,64	0,2389	1,13	0,3708	1,62	0,4474
0,16	0,0636	0,65	0,2422	1,14	0,3729	1,63	0,4484
0,17	0,0675	0,66	0,2454	1,15	0,3749	1,64	0,4495
0,18	0,0714	0,67	0,2486	1,16	0,3770	1,65	0,4505
0,19	0,0753	0,68	0,2517	1,17	0,3790	1,66	0,4515
0,20	0,0793	0,69	0,2549	1,18	0,3810	1,67	0,4525
0,21	0,0832	0,70	0,2580	1,19	0,3830	1,68	0,4535
0,22	0,0871	0,71	0,2611	1,20	0,3949	1,69	0,4545
0,23	0,0910	0,72	0,2642	1,21	0,3869	1,70	0,4554
0,24	0,0948	0,73	0,2673	1,22	0,3888	1,71	0,4564
0,25	0,0987	0,74	0,2703	1,23	0,3907	1,72	0,4573
0,26	0,1026	0,75	0,2734	1,24	0,3925	1,73	0,4582
0,27	0,1064	0,76	0,2764	1,25	0,3944	1,74	0,4591
0,28	0,1103	0,77	0,2794	1,26	0,3962	1,75	0,4599
0,29	0,1141	0,78	0,2823	1,27	0,3980	1,76	0,4608
0,30	0,1179	0,79	0,2852	1,28	0,3997	1,77	0,4616
0,31	0,1217	0,80	0,2881	1,29	0,4015	1,78	0,4625
0,32	0,1255	0,81	0,2910	1,30	0,4032	1,79	0,4633
0,33	0,1293	0,82	0,2939	1,31	0,4049	1,80	0,4641
0,34	0,1331	0,83	0,2967	1,32	0,4066	1,81	0,4649
0,35	0,1368	0,84	0,2995	1,33	0,4082	1,82	0,4656
0,36	0,1406	0,85	0,3023	1,34	0,4099	1,83	0,4664
0,37	0,1443	0,86	0,3051	1,35	0,4115	1,84	0,4671
0,38	0,1480	0,87	0,3078	1,36	0,4131	1,85	0,4678
0,39	0,1517	0,88	0,3106	1,37	0,4147	1,86	0,4686
0,40	0,1554	0,89	0,3133	1,38	0,4162	1,87	0,4693
0,41	0,1591	0,90	0,3159	1,38	0,4177	1,88	0,4699
0,42	0,1628	0,91	0,3186	1,40	0,4192	1,89	0,4706
0,43	0,1664	0,92	0,3212	1,41	0,4207	1,90	0,4713
0,44	0,1700	0,93	0,3238	1,42	0,4222	1,91	0,4719
0,45	0,1736	0,94	0,3264	1,43	0,4236	1,92	0,4726
0,46	0,1772	0,94	0,3289	1,44	0,4251	1,93	0,4732
0,47	0,1808	0,96	0,3315	1,45	0,4265	1,94	0,4738
0,48	0,1844	0,97	0,3340	1,46	0,4279	1,95	0,4744

Продовження табл. 1

X	F(x)	x	F(x)	x	F(x)	x	F(x)
1,96	0,4750	2,22	0,4868	2,54	0,4945	2,84	0,4977
1,97	0,4756	2,24	0,4875	2,56	0,4948	2,86	0,4979
1,98	0,4761	2,26	0,4881	2,58	0,4951	2,88	0,4980
1,99	0,4767	2,28	0,4887	2,60	0,4953	2,90	0,4981
2,00	0,4772	2,30	0,4893	2,62	0,4956	2,92	0,4982
2,02	0,4783	2,32	0,4898	2,64	0,4959	2,94	0,4984
2,04	0,4793	2,34	0,4904	2,66	0,4961	2,96	0,4985
2,06	0,4803	2,36	0,4909	2,68	0,4963	2,98	0,4986
2,08	0,4812	2,38	0,4913	2,70	0,4965	3,00	0,49865
2,10	0,4821	2,40	0,4918	2,72	0,4967	3,20	0,49931
2,12	0,4830	2,42	0,4922	2,74	0,4969	3,40	0,49966
2,14	0,4838	2,44	0,4927	2,76	0,4971	3,60	0,499841
2,16	0,4846	2,46	0,4931	2,78	0,4973	3,80	0,499928
2,18	0,4854	2,48	0,4934	2,80	0,4974	4,00	0,499968
2,20	0,4861	2,50 2,52	0,4938 0,4941	2,82	0,4976	4,50 5,00	0,499997 0,500000

 

Таблиця 2

Значення t _g = t (g, n)

 

N	g	n	g
0,95	0,99	0,999	0,95	0,99	0,999
	2,78	4,60	8,61		2,093	2,861	3,883
	2,57	4,03	6,86		2,064	2,797	3,745
	2,45	3,71	5,96		2,045	2,756	3,659
	2,37	3,50	5,41		2,032	2,720	3,600
	2,31	3,36	5,04		2,023	2,708	3,558
	2,26	3,25	4,78		2,016	2,692	3,527
	2,23	3,17	4,59		2,009	2,679	3,502
	2,20	3,11	4,44		2,001	2,662	3,464
	2,18	3,06	4,32		1,996	2,649	3,439
	2,16	3,01	4,22		1,991	2,640	3,418
	2,15	2,98	4,14		1,987	2,633	3,403
	2,13	2,95	4,07		1,984	2,627	3,392
	2,12	2,92	4,02		1,980	2,617	3,374
	2,11	2,90	3,97	¥	1,960	2,576	3,291
	2,10	2,88	3,92