Матрица 
называется обратной к квадратной матрице 
, если
,
где 
- единичная матрица, имеющая тот же порядок, что и матрица . Обратная матрица существует только в том случае, если 
, и ее элементы находятся по формуле
,
где 
- алгебраическое дополнение к элементу 
.
Внимание! Алгебраические дополнения вычисляются к элементам строки, а записываются в столбец.
Если 
, то матрица называется вырожденной, в противном случае невырожденной, т.е. обратная матрица существует только для невырожденных матриц.
Обозначается обратная матрица 
, т.е.
,
при этом ее определитель 
.
Для невырожденных матриц и выполнены соотношения
,
.
Введение обратной матрицы позволяет решать матричные уравнения. В конечном счете, матричные уравнения сводятся к двум простейшим уравнениям:
или 
.
Если матрица - квадратная, невырожденная, то эти уравнения имеют единственное решение, которое можно получить с помощью обратной матрицы. Так как при умножении матриц коммутативный закон не выполняется, указанные уравнения имеют различные решения.
При поиске решения первое из уравнений надо умножать на обратную матрицу слева, а второе справа, т.е.
, (5)
. (6)
►Пример 5. Найти решение матричного уравнения , то есть определить матрицу 
, если 
; 
.
Решение.
Решение в матричном виде определяется формулой (5), т.е. 
, если матрица невырожденная. Вычислим определитель матрицы :
.
Следовательно, матрица невырожденная, и для нее существует обратная матрица. Проведем вычисления, необходимые для построения обратной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения:
Составим обратную матрицу и найдем неизвестную матрицу .
, 
. ◄
При вычислениях множитель 
лучше оставлять перед матрицей и проводить умножение полученной матрицы на него на последнем этапе вычислений.
Упражнения.
1. Для заданных матриц найти обратную матрицу:
а) 
; б) 
;в) 
;г) 
;д) 
.
Ответы:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
.
2. Найти неизвестную матрицу из уравнений:
а) 
; б) 
;в) 
;
г) 
; д) 
.
Ответы: а) 
; б) ; в) ; г) 
; д) .
Ранг матрицы
Рангом матрицы (обозначение: 
) называется порядок отличного от нуля минора этой матрицы при условии, что все ее миноры более высоких порядков равны нулю. Минор наивысшего порядка, отличный от нуля, называется базисным минором или просто б азисом. Матрица может иметь несколько различных базисов. Для определения базиса над матрицей производят элементарные преобразования, при которых ранг матрицы не изменяется.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
- транспонирование;
- удаление или добавление строки (столбца), состоящей из нулей;
- умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
- перестановка строк (столбцов);
-прибавление к элементам какой-либо строки элементов другой строки, умноженных на постоянное число (то же самое для столбцов).
Выполняя элементарные преобразования над матрицей, получаем другую матрицу, называемую эквивалентной. Переход от исходной матрицы к эквивалентной будем обозначать символом 
.
Используя выше перечисленные действия, матрицу можно преобразовать к треугольному виду, что позволяет легко определить ее ранг.
►Пример 7. Найти ранг матрицы 
.
Решение.
Преобразуем матрицу:
Минор 
, а все миноры четвертого порядка равны нулю, т.к. содержат нулевую строку. Следовательно, 
. ◄
При преобразовании матрицы мы проводили операции только со строками и по определенному алгоритму. Этот метод стандартный, но не является обязательным.
Упражнения.
1. Найти ранг матриц:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
. Ответы: а) 4; б) 2; в) 4; г) 3.
Системы линейных уравнений. Основные понятия
Системой 
линейных уравнений с 
неизвестными 
(линейной системой) называется система вида
(7)
где 
− заданные числа. Числа 
называются коэффициентами системы, а числа 
- свободными членами.
Линейная система называется однородно й, если все свободные члены равны нулю, т.е.
(8)
В противном случае линейная система называется неоднородной.
Решением системы (7) называется упорядоченная совокупность чисел:
, (9)
при подстановке которых вместо каждое уравнение системы обращается в тождество.
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, - несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Однородная система (8) всегда совместна, так как она имеет очевидное решение: 
. Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.
Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение одной из них является также решением и другой, и обратно, т.е. они имеют одно и то же множество решений. В частности, любые две несовместные системы являются эквивалентными.
Линейную систему можно записать в матричной форме. Введем матрицы
– матрица коэффициентов при неизвестных,
- матрица-столбец свободных членов,
- матрица-столбец неизвестных.
Тогда систему (7) можно записать в виде матричного уравнения
,
а решение (9) в виде матрицы-столбца 
.
Матрица коэффициентов
называется основной матрицей системы. Матрица, составленная из коэффициентов и свободных членов,
называется расширенной матрицей системы.
Выражение «решить систему» означает: выяснить, совместна или несовместна система, а в случае совместности – найти все ее решения.
