Определение 1. Элементарными преобразованиями матриц будем называть следующие преобразования:
1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на одно и то же число, отличное от нуля.
Обозначение для строк: 
, 
. Для столбцов: 
, .
2) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;
Обозначение для строк: 
. Для столбцов: 
.
3) перемена местами двух строк (столбцов).
Обозначение для строк: 
. Для столбцов: 
.
Если матрица 
получена из матрицы 
с помощью элементарных преобразований, то будем записывать это так: 
.
Лемма 1. Элементарные преобразования третьего типа равносильны нескольким последовательно выполненным преобразованиям первых двух типов.
Доказательство. Пусть матрица получилась из матрицы в результате перемены местами 
- ой и 
- ой строки, т.е. . Покажем, что матрица может быть получена из матрицы в результате элементарных преобразований только первых двух типов.
. Таким образом, получили матрицу , что и требовалось доказать. Совершенно аналогично это утверждение доказывается для столбцов.
Лемма 2. Элементарные преобразования матриц обратимы, т.е. если , то и 
.
Доказательство. Если матрица получилась из матрицы в результате умножения всех элементов - ой строки на число 
,т.е. то и матрица получается из матрицы в результате умножения всех элементов - ой строки на число 
, т.е. 
.
Если матрица получилась из матрицы в результате прибавления к элементам - ой строки матрицы соответствующих элементов - ой строки, умноженных на число 
,т.е. то и матрица получается из матрицы в результате прибавления к элементам - ой строки матрицы соответствующих элементов - ой строки, умноженных на число 
, т.е. 
.
Если матрица получилась из матрицы в результате перемены местами - ой и - ой строки, т.е. , то матрица также получается из матрицы результате перемены местами - ой и - ой строки, т.е. 
, и лемма 2 доказана. Совершенно аналогично это утверждение доказывается для столбцов.
Лемма 3. Если , то 
.
Доказательство проведём лишь для элементарных преобразований над строками, т.к. при транспонировании ранг матрицы не меняется. Пусть 
. Мы хотим доказать, что 
. По следствию к лемме 2 §10 это будет доказано, если мы докажем, что все миноры (
)-го порядка матрицы равны 0. В силу леммы 1 это достаточно доказать лишь для случая, когда матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований 1-го и 2-го типа.
1)Пусть матрица получилась из матрицы в результате умножения всех элементов - ой строки на число
и пусть 
- минор ()-го порядка матрицы . Могут представиться следующие случаи:
а) - ая строка не входит в состав минора . Тогда 
как минор ()-го порядка матрицы .
б) - ая строка входит в состав минора . Тогда 
, где 
- минор ()-го порядка матрицы , стоящий в строках и столбцах с теми же номерами, что и . Здесь мы воспользовались свойством 5 определителей. Следовательно, 
как минор ()-го порядка матрицы , т.к. . Отсюда получаем: 
.
2) Пусть матрица получилась из матрицы в результате прибавления к элементам - ой строки соответствующих элементов - ой строки, умноженных на число , и пусть - минор ()-го порядка матрицы . Могут представиться следующие случаи:
а) - ая строка не входит в состав минора . Тогда как минор ()-го порядка матрицы .
б) и - ая, и - ая строки входят в состав минора . Тогда:
,
т.к. - минор ()-го порядка матрицы . Здесь мы воспользовались свойством 7 определителей.
в) - ая строка входит, а - ая строка не входит в состав минора . Тогда:
Здесь мы воспользовались свойствами 6 и 5 определителей.
- минор ()-го порядка матрицы . Определитель 
в общем случае не является минором ()-го порядка матрицы , т.к. выделенная строка может оказаться не на «своём» месте. Определитель отличается от некоторого минора ()-го порядка матрицы только порядком строк, и потому 
.
Лемма 3 доказана.
Проиллюстрируем на примере рассуждение пункта в) доказанной леммы 3.
Пример. Пусть матрица получилась из матрицы в результате прибавления к элементам 1-ой строки соответствующих элементов 3-ей строки, умноженных на число 2:
.
Рассмотрим - минор 2-го порядка матрицы , стоящий в первых 2-х столбцах и в строках с номерами 1 и3
Определитель 
не является минором матрицы , т.к. строки стоят в другом порядке, но определитель 
, отличающийся от предыдущего только порядком строк, является минором 2-го порядка матрицы и потому равен 0, т.к. 
.
Теорема 1. В результате элементарных преобразований ранг матрицы не меняется, т.е. если , то
.
Доказательство. Пусть . Тогда по лемме3 . Элементарные преобразования обратимы (по лемме 2). Следовательно, в этом случае матрица может быть получена из матрицы в результате элементарных преобразований, и по лемме 3 получаем: 
. Таким образом, , и теорема доказана.
Теорема 2. Любая матрица с помощью элементарных преобразований над строками и, возможно, перестановки столбцов, может быть преобразована в трапециевидную.
Доказательство. Если матрица нулевая,то она трапециевидная по определению, и доказывать нечего.
Если она ненулевая, то она содержит ненулевой элемент, который с помощью перестановки строк и столбцов можно переместить в левый верхний угол. Поэтому будем считать, что 
. Пусть матрица имеет следующий вид:
.
Совершим следующие элементарные преобразования над строками:
.
Если матрица 
, то уже получили трапециевидную матрицу.
В противном случае с помощью перестановки последних 
строк и последних 
столбцов добьёмся того, чтобы элемент, стоящий во 2-ом столбце и во 2-ой строке был бы отличен от нуля. Поэтому будем считать, что 
.
Теперь совершим следующие элементарные преобразования над строками:
.
Если 
, то получили трапециевидную матрицу.
В противном случае продолжим этот процесс до тех пор, пока в нескольких последних строках все элементы не будут равны 0, т.е. 
, или пока не исчерпаем все строки. В результате получим трапециевидную матрицу.
Следствие. Любая матрица строения 
ранга 
с помощью элементарных преобразований над строками и, возможно, перестановки столбцов, может быть преобразована в матрицу вида:
.
Если 
, то последние нулевые строки отсутствуют. Если 
, то эта матрица имеет вид: 
.
Доказательство. Из доказанной теоремы следует, что матрица с помощью указанных преобразований может быть преобразована в матрицу
, причём 
для всех 
.
Совершим следующие элементарные преобразования над строками:
.
Теперь с помощью -ой строки получим в -ом столбце в строках с номерами 
нули. Для этого от
-ой строки отнимем -ю, умноженную на 
(
).В результате получим матрицу:
. Теперь действуя аналогично 
-ой строкой получим нули в -ом столбце в строках с номерами 
и т.д.
Замечание. Можно доказать, что если базисный минор матрицы стоит в первых столбцах, то можно получить матрицы указанного вида совершая элементарные преобразования только над строками.
Покажем это на примере.
Пример.
. Матрица имеет такое же строение, как и матрица, рассмотренная в следствии. Здесь единичная матрица имеет порядок 3, т.к. 
, роль матрицы 
выполняет матрица, стоящая в последних двух столбцах и первых трёх строках матрицы .
