Расчет жесткости и прочности

 

Балка должна удовлетворять требованию жесткости, т. е. ее прогиб от наибольшей нагрузки не должен превышать предельно допускаемого. Обычно в балках предельная величина

отношений f _max/ l (где f_max — стрела прогиба балки) регламентируется нормами. Норма жесткости f _max /l для балок разных назначений различна, например, в подкрановых балках она должна быть не более 1/600 ÷ 1/700, в главных балках междуэтажных перекрытий — около 1/400 и т. д.

 

 

Чтобы удовлетворить требованиям жесткости, балка заданной системы при определенном нагружении и заданных допу-

Рис. 7. К расчету сварной балки:

а) изогнутая ось балки от q; б) поперечное сечение балки;

в), г) влияние сосредоточенной силы, вызывающей напряжения

скаемых напряжениях должна иметь высоту не менее некоторой предельной. Эта предельная величина определяется формулой, приводимой ниже.

Рассмотрим, какова должна быть предельно наименьшая высота балки, свободно лежащей на двух опорах, если она нагружена равномерной нагрузкой (рис. 7, а).

Величина расчетного прогиба

 

где EJ — жесткость балки.

Для рассматриваемой балки величипа расчетного момснта
равна

Подставляя значение М в формулу (4), получим

(5)

Величипа изгибающего момента может быть выражена через произведение допускаемого напряжения на момент сопротивления сечения

(6)

Если расчетное сечение симметрично относительно горизонтальной оси, то

где h — высота балки.

Подставив зпачеиие сИ из формулы (6) в формулу (5),
получим

(7)

откуда

или

 

(8)

 

Высота балки, вычисленная по формуле (8), являгтся наименьшей при заданных и норме жесткости f/ l и может быть увеличена, если это диктуется соображениями компановки конструкции или экономии металла. Она уменьшается при уменьшении величины . При других нагружениях и системах балок, например, консольных, многоопорных, с защемленными концами и т. п. в формуле (8) изменяется лишь численный коэффициент Например, при нагружении однопролетной балки с шарнирными опорами сосредоточенной силой Р в середипе пролета отношение будет следующим:

(8)

 

При действии моментов в двух плоскостях (вертикальной и горизонтальной) высота балки h определяется с учетом напряжения лишь от момента , а ширина балки b — с учетом напряжения от момента . Сумма должна быть . Соотношение между и устанавливается приближенно на основе имеющегося опыта проектирования конструкции или способом последовательного приближения. При этом задаются ожидаемыми отношениями / и затем проверяют их правильность повторными расчетами.

Балка должна удовлетворять прочности при условии наименьшего веса. Поперечное сечение должно быть в этих условиях минимальным.

Высота балки может быть найдена по формулам:

для двутаврового профиля

; (9)

 

для коробчатого профиля

(10)

 

где М — расчетный изгибающий момент балки;

S_B — толщина вертикального листа.

При проектировании балок величина S_B, в формуле (9) неизвестна. Поэтому ее первоначально задают. Для разных строительных конструкций S_B обычно изменяется в сравнительно узких пределах: в легких балках колеблется от 5 до 10 мм, в тяжелых — от 10 до 18 мм.

Высоты h, найденные по формулам, построенным с учетом требований достаточной жесткости [формула (8)] и прочности при условии наименьшего веса [формула (9)], могут оказаться совершенно различными. Из двух высот, вычисленных для балки двутаврового профиля по формулам (8) и (9), следует принять наибольшую величину, но во всяком случае не меньшую, чем высоту h, вычисленную по формуле (8).

Далее подбирают размеры поперечного сечения балки с учетом расчетного изгибающего момента М и высоты h.

Рассмотрим процесс подбора сечения двутаврового профиля (рис. 7, б). Для этого найдем требуемый момент сопротивления

 

(11)

 

и требуемый момент инерции сечения

 

(12)

Вычислим момент инерции вертикального листа высотой h
и толщиной S_B

 

(13)

(принимаем приближенно h_B=0,95h).

Находим требуемый момент инерции двух горизонтальных листов

 

(14)

В другой форме момент инерции выразится так:

 

, (15)

где J₀ — момент инерции горизонтального листа относительно

собственной оси, который всегда очень мал и приближенно может быть принят равным нулю;

h₁ — расстояние между центрами тяжести горизонтальных

листов, которое приближенно можно принять равным

0,95 ÷ 0,98h.

Из уравнения (15) находим требуемую площадь сечения

одного горизонтального листа

 

. (16)

Подобрав размеры поперечного сечения балки, определим величины напряжений и таким образом проверим, что подобранные размеры удовлетворяют условиям прочности.

Напряжение от изгиба равно

 

(17)

где J — момент инерции подобранного сечения. Касательное напряжение от поперечной силы будет

(18)

где Q — наибольшая поперечная сила балки;

S — статический момент полуплощади сечения (симметричного) относительно центра тяжести балки (рис. 7, г).

Эквивалентные напряжения проверяются обычно в тех случаях, когда максимальные значения М и Q совпадают в одном поперечном сечении. Их определяют на уровне верхней кромки вертикального листа

 

; (19)

нормальное напряжение

; (21)

 

касательное напряжение

, (20)

 

где S — статический момент площади - горизонтального пояса

относительно центра тяжести сечения балки.

В большинстве случаев эквивалентные напряжения оказываются меньше вычисленного по формуле (17).

При всех условиях расчетные напряжения ,найденные по формуле (17), или вычисленные по формуле (16), не должны превышать 1,05 .

Сечение считается подобранным рационально, если

Допустим, что к верхнему поясу балки прикладывают сосредоточенные перемещающиеся грузы (рис. 7, в). Это имеет место в крановых, подкрановых и мостовых балках. При этом определяют прочность вертикального листа с учетом местного напряжения под грузом

(22)

где Р — величина сосредоточенного груза;

m — коэффициент, равный 1,5 при тяжелом режиме работы

балки (например, в металлургических цехах) и 1,0 при

легком режиме (напрнмер, в ремонтных);

z — условная длина, на которой сосредоточенный груз распределен в вертикальном листе (рнс. 7, в);

(23)

Здесь — момент ниерции горизонтального листа совместно

с приваренным к нему рельсом. (если- таковой имеется) относительно оси х_т, проходящей через них общий центр тяжести О' (рис. 7,г).

 

ОБЩАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

 

Чтобы обеспечить общую устойчивость балки таврового профиля, у которой велик по сравнению с , следует прибегнуть к одному из двух мероприятий.

1. Укоротить свободную длину изгибаемого элемента. Например, если установлены параллельно две изгибаемых балки 1 и 2,

 

 

то их следует взаимно соединить связями (рис. 8), особенно сжатые пояса. Такие связи ставят в подкрановых балках, мостовых кранах и т. п. Момент инерции двух балок, соединенных связями, во много раз больше момента инерции в горизонтальной плоскости каждой из балок в отдельности.

2. Снизить величину допускаемых напряжений. Проверку напряжений в изгибаемой балке с учетом требований обеспечения общей устойчивости проводят по формуле

Рис. 8. К определению расстояния l₀ между закреплениями балки в горизонтальной плоскости

(24)

где — коэффициент уменьшения допускаемых напряжений в балке с учетом обеспечения ее устойчивости.

В балках двутаврового профиля

(25)

где и — моменты инерции относительно осей х и у;

h — полная высота балки;

— пролет балки или расстояния между закреплениями,

препятствующими перемещениям в горизонтальной плоскости.

Если вычисленное значение , то его следует принимать равным 0,85;

если , то следует принимать ;

если , то следует принимать ;

если , то следует принимать .

Коэффициент является функцией а. Трафичееки это представлено на рис. 9. Величина а находится по формуле

(26)

где b — ширина пояса;

— толщина горизонтального листа;

— толщина вертикального листа.

При проектировании балок целесообразно поступить следующим образом: предварительно задаться отношением в пределах 10÷20; определить по формуле (26) а и по формуле (25) — , Коэффициент , вычисленный по формуле (25) должен быть равен около 1 или больше ее.

 

МЕСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Помимо проверки общей устойчивости, необходимо проверить на местную устойчивость отдельные ее элементы. В сжатых поясах потеря устойчивости происходит вследствие того, что напряжение сжатия . Чтобы исключить возможность этого явления, следует иметь ширину пояса .

В вертикальных листах балок потеря устойчивости может быть вызвана нормальными сжимающими напряжениями, касательными напряжениями и комбинацией нормальных и касательных напряжений.

 

 

 

Рис. 10. К вопросу расчета местной устойчивости вертикальных листов балок: образование напряжений и , вызывающих потерю устойчивости; б), в) постановка вертикальных ребер жесткости

Наиболее опасными в отношении потери устойчивости являются касательные напряжения . Они вызывают в диагональных поперечных сечениях сжимающие и растягивающие напряжения.

Величина критических касательных напряжений (рис. 10, а), вызывающих потерю устойчивости вертикального листа, определяется по формуле

(27)

 

где — коэффициент Пуассона, равный 0,3;

, — высота вертикального листа;

Vo — коэффициент, зависящий от отношения длины вертикального листа между его закреплениями а к его высоте h.

Если балка имеет значительную длину, а вертикальный лист не имеет закреплений, то отношение велико и Vo можно принять равным 4,4.

Критические нормальные напряжения в вертикальном листе балок вычисляются по формуле, аналогичной формуле (27), но при других значениях коэффициента Vo. Они при определении оказываются выше, чем при . В балках значительной длины Vo составляет около 19. Таким образом, потеря устойчивости от менее вероятна, чем от . В действительности при определений устойчивости вертикальных листов балок приходится учитывать комбинированное действие нескольких видов напряжений (см. § 7).

Для повышения местной устойчивости вертикального листа, т. е. для увеличения , следует при заданной высоте балки уменьшить а. Это достигается постановкой ребер жесткости.

Проверку устойчивости вертикального листа не производят в балках из малоуглеродистой стали, если:

при отсутствии сосредоточенных сил, перемещающихся по балке,

(27')

а при наличии сосредоточенных сил, перемещающихся по балке,

, (27")
где а, измеряется в кГ/мм².

 

РЕБРА ЖЕСТКОСТИ

 

Если условия (27') и (27") не соблюдены, то необходима постановка вертикальных ребер жесткости. Обычно их конструируют из полос, реже — нз профильного материала

(рис. 14-10, б, в). Ширину ребра принимают мм, толщину — не менее 1/3 ширины.

Расстояние между ребрами жесткости определяется величиной напряжений и размерами балки.

 

Для обеспечения местной устойчивости вертикального листа должно быть удовлетворено следующее условие:

 

(28)

(для подкрановых балок ≤ 0,9),

где — напряжение под сосредоточенной силой [см. формулу

(22) ];

— нормальное напряжение на верхней кромке вертикального листа, равное

(29)

— среднее касательное напряжение, равное

; (30)

кГ/см²; (31)

кГ/см², (32)

где d — наименьшая из сторон а и заключенная между горизонтальными

листами и ребрами жесткости;

v — отношение большей стороны (а или ) к меньшей.

Величина определяется по формуле

кГ/см². (33)

Значения находятся по графику, приведенному на рис. 11.

Помимо основных ребер жесткости, устанавливаемых по всей высоте вертикального листа балки, в интервалах между ними иногда ставят укороченные ребра жесткости треугольного очертания (см. рис. 10,a). Их длина составляет около 1/3 . Укороченные ребра (треугольники жесткости) ставят при воздействии на пояс балок сосредоточенных грузов большой величины, Как правило, наличие укороченных ребер нежелательно, так как асимметричное их расположение относительно оси вызывает при сварке искривление балки в вертикальной плоскости.

В балках очень большой высоты иногда ставят горизонтальные ребра жесткости. Их располагают на расстоянии с=(1/4÷1/5) от верхнего горизонтального листа (см, рис. 10,б).

 

Р а с ч ё т о п о р н ы х б а л о к м о с т а. Опорные балки кранового моста должны обладать достаточной жёсткостью как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскостях. Опорные балки воспринимают нагрузки от главных ферм со связями, вес тележки с грузом при её нахождении над балкой. Кроме того, на опорные балки действует горизонтальная сила, направленная вдоль моста при торможении или при пуске в ход крановой тележки.

Схема загружения крановой балки показана на рис. 18 – 31, а; сила R ₀ соответствует половине веса фермы жёсткости

^{сила R состоит из половины веса главной фермы половины веса моторного узла и части веса тележки с грузами при} загружении линий влияния опорной реакции A фермы моста (рис. 18 – 31, б)

Таким образом

Горизонтальная сила Т при торможении тележки составляет 0,1 от веса тележки с грузом

Реакции на опорах балки А = В = 18,44 + 2,7 = 21,14 Т.

Эпюры поперечных сил построены на рис. 18 – 31, в, эпюры моментов от вертикальных сил – на рис. 18 – 31, г, а от горизонтальных – на рис. 18 – 31, д.

Наибольшие моменты равны:

За сечение опорной балки принимаем профиль из двух швеллеров, расставленных на расстоянии 340 мм друг от друга и соединённых между собой связями. Каждая ветвь швеллера состоит из вертикального листа 500×12 мм и двух горизонтальных 100×16 мм.

Площадь поперечного сечения двух сварных швеллеров

Момент инерции относительно оси х

Для удобства транспортирования опорные балки делают составными по длине. Обе половины соединяют накладками с болтами. В месте соединения опорные балки ослаблены отверстиями для болтов d = 22 мм.

Учтём величину уменьшения момента инерции сечения вследствие его ослабления (рис. 18 – 31, е).

Момент инерции нетто ослабленного сечения швеллеров равен

Ослабление сечения отверстиями для болтов составляет, таким образом,

Момент сопротивления двух швеллеров равен

Нагрузка неравномерно распределяется между ветвями сечения балки. Примем, что внутренний швеллер воспринимает 2 / 3 от полного момента. Таким образом,

м = 1584000 кГ см.

Напряжение от вертикального изгиба в более нагруженном швеллере

кГ / см ².

 

Момент инерции сечения балки относительно вертикальной оси составляет

Примем приближённо

Момент сопротивления сечения равен

Напряжение от горизонтального изгиба балки равно

Расчётное напряжение от изгибов в вертикальной и горизонтальной плоскостях

Определим требуемое количество болтов в стыке опорной балки.

Допускаемые напряжения в болте на срез принимаем [τ] = 10,5 кГ/мм ².

При внешнем диаметре болта d = 22 мм площадь среза составляет

Допустимое усилие на болт по его сопротивлению срезу равно

Определим момент воспринимаем всеми болтами, находящимися в одном поперечном сечении балки (в одном ряду), полагая, что усилия в крайних болтах достигают величины Т = 4000 кГ, а усилия в остальных изменяются по линейному закону, в зависимости от расстояния до центральной оси швеллера.

Таким образом,

где Т ₁ – усилия в болтах на расстоянии у ₁ от центра тяжести;

Т ₂ – усилия на расстоянии у ₂ от центра тяжести и т. д.;

у ₁ = 3,6 см; у ₂ = 10,8 см; у ₃ = 18,0 см; у ₄ = 24,2 см.

Подставляя числовые значения, находим момент, воспринимаемый одним рядом болтов:

Требуемое число рядов болтов

Принимаем по 4 ряда с каждой стороны стыка.

Расстояние между болтами – 3 d. Расстояние от центра болта до края накладки – 2 d.

Полная длина накладки (при d = 22 мм)

мм.

Принимаем L = 580 мм.

Толщину горизонтальных накладок принимаем 18 мм, на вертикальных листах – 12 мм. Сечение накладок в стыке несколько превышает размеры основного сечения балки, что обеспечивает их прочность.

 

РАБОТА НА КРУЧЕНИЕ

В тех случаях, когда балки работают на кручение, применение балок двутаврового профиля становится нецелесообразным.

 

Напряжение от кручения в незамкнутых профилях (двутавровых, уголковых и т. д.) равно (рис. 12,а)

 

, (34)

где — коэффициент, зависящий от отношения — ; он может

быть приближенно принят равным 0,33; а=1 для

уголка; а=1,3 для двутаврового профиля;

— наибольший размер стороны прямоугольника (вертикального или горизонтального листа);

— наименьший размер стороны того же прямоугольника;

— наибольшая толщина профиля.