Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелияНе+, двукратно ионизованного лития Li++и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1), 
(223.1)где r — расстояние между электроном и ядром. Графически функция U (r) изображена жирной кривой на рис. 302. U (r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.
Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учитывающему значение (223.1): 
(223.2)где т — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (223.2) обычно используют сферическую систему координат: r, q, j. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.
1. Энергия. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (223.2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции y, только при собственных значениях энергии
(223.3)т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.
Таким образом,как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» и гармонического осциллятора, решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е 1, E 2, Е 3 ,... показаны на рис. 302 в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е 1, отвечающий минимальной возможной энергии, — основной, все остальные (Еn >Е 1, n = 2, 3,...) — возбужденные. При Е <0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее и при n =¥ E ¥ = 0. При Е >0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е >0 (заштрихована на рис. 302) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна 
Выражение (223.3) совпадает с формулой (212.3), полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.
2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (223.2) удовлетворяют собственные функции 
, определяемые тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным l и магнитным тl.
Главное квантовое число n, согласно (223.3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы: 
Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой 
(223.4)где l — орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает значения
(223.5)т. е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.
Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор L l момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция Llx на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные ћ: 
(223.6)где тl — магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения 
(223.7)т. е. всего 2 l +1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число ml определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2 l +1 ориентации.
