Вращательное движение твердых тел

Основные формулы и законы

· Момент инерции материальной точки

где — масса точки; — расстояние до оси вращения.

· Момент инерции механической системы (тела) относительно неподвижной оси

где - расстояние материальной точки массой до оси вращения; в случае непрерывного распределения масс

· Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; — масса тела):

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Обруч или полый тонкостенный цилиндр радиусом	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом	Ось проходит через центр шара

 

· Теорема Штейнера

где - момент инерции тела относительно оси, прохо­дящей через центр масс; - момент инерции относи­тельно параллельной оси, отстоящей от первой на рас­стоянии - масса тела.

· Момент силы относительно неподвижной точки

где - радиус-вектор, проведенный из этой точки в точ­ку приложения силы . Модуль момента силы относительно неподвижной оси

где - плечо силы (кратчайшее расстояние между ли­нией действия силы и осью вращения).

· Основной закон динамики вращательного дви­жения твердого тела

где - момент сил, приложенных к телу; момент инерции тела относительно оси вращения; - угловая скорость тела.

· Уравнение (закон) динамики вращательного дви­жения твердого тела относительно неподвижной оси

где - угловое ускорение; - момент инерции тела относительно оси z.

· Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

где - расстояние от оси до отдельной частицы тела; - импульс этой частицы; - момент инерции те­ла относительно оси ; - его угловая скорость.

· Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы

· Работа при вращательном движении тела

где - угол поворота тела; - момент силы относи­тельно оси .

· Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

где - момент инерции тела относительно оси ; - его угловая скорость.

· Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

где - масса тела; - скорость центра масс тела; - момент инерции тела относительно оси, проходя­щей через его центр масс; - угловая скорость тела.

· Связь работы и кинетической энергии тела при вращательном движении

,

где момент инерции тела относительно оси вращения; угловая скорость тела в конечном состоянии; угловая скорость тела в начальном состоянии.

 

Задания

3.1. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом 40 см и массой 1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярной плоскости диска. [0,12 кг×м²]

3.2. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной 50 см и массой 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. [3×10^-2 кг×м²]

3.3. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной 50 см и массой 360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, от­стоя­щую от конца стержня на 1/6 его длины. [1,75×10^-2 кг×м²]

3.4. Тонкий обруч диаметром 56 см и массой 300 г висит на гвозде, вбитом в стену. Определите его момент инерции относительно этого гвоздя. [0,047 кг×м²]

3.5. Однородный шарик массой 100 г подвешен на нити, длина которой равна радиусу шарика. Определите момент инерции шарика относительно точки подвеса, если длина нити 20 см. [0,0176 кг×м²]

3.6. Определите момент инерции сплошного однородного цилиндра радиусом 20 см и массой 1 кг относительно оси, проходящей через образующую цилиндра. [0,06 кг×м²]

3.7. Однородный шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению (В = 2 рад/с², С = -0,5 рад/с³). Определите момент сил для t = 3 с. [-0,1 Н×м]

3.8. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого 150 кг×м², вращается с частотой 240 об/мин. Через время t = 1 мин после того, как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановил­ся. Определите момент сил торможения и число оборотов маховика от начала торможения до полной ос­тановки. [62,8 Н×м; 120]

3.9. К ободу однородного сплошного диска ради­усом 0,5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует мо­мент сил трения 2 Н×м. Определите массу ди­ска, если известно, что его угловое ускорение постоян­но и равно 16 рад/с². [24 кг]

3.10. Частота вращения маховика, момент инер­ции которого равен 120 кг×м², составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего мо­мента маховик под действием сил трения в подшипни­ках остановился за время t = 3,14 мин. Считая трение в под­шипниках постоянным, определите момент сил тре­ния. [16 Н×м]

3.11. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав 50 оборотов, остановился. Работа сил торможения равна 31,4 Дж. Определите момент сил торможения и момент инерции вентилятора. [0,1 Н×м; 15,9 кг×м² ]

3.12. Маховик в виде сплошного диска, момент инер­ции которого 1,5 кг×м², вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшил частоту вращения с 240 об/мин до 120 об/мин. Определите угловое ускорение маховика и момент силы торможения. [0,21 рад/с²; 0,315 Н×м]

3.13. Однородный диск радиусом 0,2 м и массой 0,5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени дается уравнением (В = 8 рад/с²). Найдите величину касательной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь. [0,4 Н]

3.14. Маховик, момент инерции которого равен 63,6 кг×м², вращается с постоянной угловой скоростью 31,4 рад/с. Найдите тормозящий момент, под действием которого маховик останавливается через 20 с. [100 Н×м]

3.15. Однородный стержень длиною 1 м и массой 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен 9,81×10^-2 Н×м? [2,35 рад/с²]

3.16. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой 160 г перекинута невесомая нить, к концам которой подвешены грузы массами 200 г и 300 г. Пренебрегая трением в оси блока, определите ускорение грузов и силы натяжения. [1,69 м/с² ; 2,3 Н; 2,44 Н]

3.17. На однородный сплошной ци­линдрический вал радиусом 50 см намотана легкая нить, к концу ко­торой прикреплен груз массой 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ус­корением 2 м/с². Определите мо­мент инерции и массу вала. [6,25 кг×м²; 50 кг]

3.18. На барабан массой 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 2 кг. Найдите ускорение груза. Барабан считать однородным диском. Трением пренебречь. [3 м/с²]

3.19. На барабан радиусом 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой 1 кг. Найдите момент инер­ции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением 2,04 м/с². [9,5 кг×м²]

3.20. Через подвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой 0,2 кг перекинута не­весомая нить, к концам которой прикреплены тела мас­сами 0,35 кг и 0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите ускорение грузов и отноше­ние сил натяжения нити. [1,96 м/с²; 1,05]

3.21. Тело массой 0,25 кг, соединенное невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой 0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола (рис. 3). Масса блока 0,15 кг. Коэффициент трения тела о поверхность равен 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, определите ускорение, с которым будут двигаться эти тела и силы натяжения нити по обе стороны блока. [2,45 м/с²;1,1 Н; 1,47 Н ]

3.22. К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определите кине­тичес­кую энергию диска через время 4 с после начала действия силы. [1,44 кДж]

3.23. Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найдите кинетическую энергию диска. [24 Дж]

3.24. Шар диаметром 6 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая 4 об/с. Масса шара 0,25 кг. Найдите кинетическую энергию шара. [0,1 Дж]

3.25. Полная кинетическая энергия диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определите кинетические энергии поступа­тельного и вращательного движений диска. [16 Дж; 8 Дж]

3.26. Шар и сплошной цилиндр одинаковой массы, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. [В 1,07 раза]

3.27. Обруч и диск имеют одинаковую массу и катятся без скольжения с одинаковой линейной скоростью. Кинетическая энергия обруча равна 4 Дж. Найдите кинетическую энергию диска. [2 Дж]

3.28. Определите, во сколько раз полная кинетическая энергия обруча, скользящего вдоль наклонной плоскости, меньше полной кинетической энергии обруча, катящегося по наклонной плоскости. [в 2 раза]

3.29. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом. Определите линейное ускорение центра диска.

[ ]

3.30. С наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, скатывается шар. С каким ускорением движется центр шара? [ ]

3.31. Шар скатывается с наклонной плоскости высотой 90 см. Какую линейную скорость будет иметь центр шара в тот момент, когда шар скатится с наклонной плоскости? [3,5 м/с]

3.32. С наклонной плоскости, составляющей угол 30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определите время движения шари­ка по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см. [0,585 с]

3.33. Колесо радиусом 30 см и массой 3 кг скатывается без трения по наклонной плоскости длиной 5 м и углом наклона 30°. Определите момент инерции колеса, если его скорость в конце движения составляла 4 м/с. [0,057 кг×м²]

3.34. Вертикальный столб высотой 5 м подпиливается у основания и падает на землю. Определите линейную и угловую скорости его верхнего конца в момент удара о землю.

[12 м/с; 2,4 рад/с]

3.35. По горизонтальной плоской поверхности катится диск со скоростью 8 м/с. Определите коэффициент сопротивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь 18 м. [0,27]

3.36 Шар массой 3 кг катится со скоростью 2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой 5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным. [- 6,15 Дж]

3.37 Шар массой 1 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку 10 см/с, после удара 8 см/с. Найдите количество теплоты, выделившееся при ударе, и импульс, который получает стенка. [2,52 мДж; 0,18 кг·м/с]

3.38 Медный шар радиусом 10 см вращается с частотой 2 об/с, вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить угловую скорость вращения вдвое? [34,1 Дж]

3.39 Деревянный стержень массой 1 кг и длиной 40 см может вращаться вокруг оси, проходящей через его середину перпендикулярно к стержню. В конец стержня попадает пуля массой 10 г, летящая перпендикулярно к оси и стержню со скоростью 200 м/с. Определите угловую скорость, которую получит стержень, если пуля застрянет в нем. [29 рад/с]

3.40 Два маленьких шарика массами 40 г и 120 г соответственно соединены стержнем длиной 20 см, масса которого ничтожно мала. Система вращается около оси, перпендикулярной к стержню и проходящей сквозь центр инерции системы. Определить импульс и момент импульса системы. Частота оборотов равна 3 с^-1. [0; 2,3·10^-2 кг·м²/с]

3.41 Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением 0,4 рад/с². Определите кинетическую энергию маховика через 25 с после начала движения, если через 10 с после начала движения момент импульса маховика составлял 60 кг·м²/с. [750 Дж]

3.42 Какую работу нужно произвести, чтобы увеличить частоту оборотов маховика от 0 до 120 мин^-1? Массу маховика, равную 0,5 т, можно считать распределенной по ободу диаметром 1,5 м. Трением пренебречь. [22,2 кДж]

3.43 На скамье Жуковского (вращающаяся платформа без трения) стоит человек и держит в руках стержень по оси скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 4 рад/с. С какой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если стержень повернуть так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5 кг·м², длина стержня 2 м, масса 6 кг. Считать, что центр масс стержня с человеком в обоих случаях находится на оси платформы. [2,9 рад/с]

3.44 На неподвижной скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью 25 рад/с. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи. С какой скоростью станет вращаться скамья, если повер­нуть колесо вокруг горизонтальной оси на угол 90°? Момент инерции человека и скамьи равен 2,5 кг·м², момент инерции колеса 0,5 кг·м². [5 рад/с]

3.45 Платформа в виде диска вращается по инерции без трения около вертикальной оси с частотой 14 мин^-1. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до 25 мин^-1. Масса человека 70 кг. Определите массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки. [178 кг]

3.46 Горизонтальная платформа массой 150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы с частотой 8 мин^-1. Человек массой 70 кг стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека - материальной точкой. [1,62 рад/с]

3.47 Горизонтальная платформа массой 25 кг и радиусом 0,8м вращается с частотой 18 мин^-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,5 кг·м² до 1 кг·м². [23 мин^-1]

3.48 Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной 2,5 м, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции 10 кг·м² и вращается с частотой 12 мин^-1. Если стержень повернуть в горизонтальное положение, то частота вращения системы станет 8,5 мин^-1. Определите массу стержня. [8 кг]

3.49 Человек массой 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом 1 м и массой 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 мин^-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. [65,8 Дж]

3.50 На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром 0,8 м и массой 6 кг стоит человек массой 60 кг. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и прохо­дит на расстоянии 0.4 м от оси скамьи. Скорость мяча 5 м/с. [0,1 рад/с]

3.51 Платформа в виде диска диаметром 3 м и массой 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой 70 кг со скоростью 1,8 м/с относительно платформы? [0,53 рад/с]

3.52 В центре вращающегося столика стоит человек, держащий на вытянутых руках на расстоянии 150 см друг от друга две гири. Столик вращается с частотой 1 с^-1. Человек сближает гири до расстояния 80 см, и частота увеличивается до 1,5 с^-1. Определите работу, произведенную человеком, если каждая гиря имеет массу 2 кг. Момент инерции человека относительно оси столика считать постоянным. [48 Дж]

 

Механические колебания

Основные формулы

· Уравнение гармонических колебаний:

,

где – смещение точки от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, – круговая (циклическая частота), t – время, – начальная фаза колебаний.

,

где – частота колебаний, – период колебаний.

· Скорость и ускорение при гармонических колебаниях:

,

.

· Возвращающая сила

,

,

где – коэффициент упругой (квазиупругой) силы, – масса материальной точки.

· Максимальная возвращающая сила

· Кинетическая энергия колеблющейся точки

· Потенциальная энергия колеблющейся точки

· Полная энергия при гармонических колебаниях:

.

· Периоды колебаний:

– математический маятник ( – длина нити, - ускорение свободного падения),

– пружинный маятник ( – масса тела, – жесткость пружины),

– физический маятник ( – момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса, – масса тела, – расстояние от точки подвеса до центра масс).

· Уравнение затухающих колебаний:

,

где – амплитуда колебаний в начальный момент времени, - амплитуда затухающих колебаний, -коэффициент затухания ( - коэффициент сопротивления, -масса точки), - частота затухающих колебаний.

· Логарифмический декремент затухания

.

· Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний одинаковой частоты и одного направления:

,

где и - амплитуды слагаемых колебаний, - разность фаз слагаемых колебаний.

· Начальная фаза результирующего колебания определяется из формулы:

.

· Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно­ перпенди­кулярных колебаниях с одинаковыми частотами:

,

где - разность фаз складываемых колебаний.

ЗАДАНИЯ

4.1. Уравнение движения точки дано в виде м. Найти период, амплитуду, начальную фазу, циклическую частоту и частоту колебаний. [1с; 0,1м; ; 2 ; 1 Гц]

4.2 Написать уравнение гармонических колебаний точки с амплитудой 0,1 м, если начальная фаза равна , а период колебаний 2 с.

4.3 Написать уравнение гармонических колебаний точки с амплитудой 5 см, если за 2 минуты совершается 120 колебаний, а начальная фаза равна 60º.

4.4 Уравнение движения точки дано в виде м. Найти максимальные значения скорости и ускорения.[ ]

4.5 Точка совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см и периодом 5 с. Определить максимальную скорость и максимальное ускорение. [12,6 см/с; 15,8 см/с²]

4.6. Определите максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой 2 см и периодом 2 с. [0,0628 м/c; 0,197 м/ ]

4.7. Точка совершает гармонические колебания с периодом 8 с и начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды. [4/3 c]

4.8. Точка совершает гармонические колебания с периодом 12 с. Определите, за какое время скорость точки увеличится от нуля до половины максимального значения. [1 c]

4.9. Точка совершает гармонические колебания с периодом 12 c. Определите, за какое время ускорение точки увеличится от нуля до половины максимального значения. [1 c]

4.10. Уравнение движения точки дано в виде . Определите моменты времени, при которых достигается максимальная скорость точки. [2с, 6с, 10с …]

4.11. Уравнение движения точки дано в виде . Определите моменты времени, при которых достигается максимальное ускорение точки. [0c, 2c, 4c …]

4.12. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению м. Определите максимальное значение модуля возвращающей силы и полную энергию точки, если её масса 0,1 кг. [0,59 Н; 0,047 Дж]

4.13. Материальная точка массой 50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению м. Определите возвращающую силу для момента времени 2 с. [0,11 Н]

4.14. Определите отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания, к её потенциальной энергии для моментов времени: a) t=T /12; б) t=T /8; в) t=T /6, где Т – период колебаний. Начальная фаза равна нулю. [3; 1; 1/3]

4.15. Определите отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания, к её потенциальной энергии для моментов времени, при которых смещение от положения равновесия составляет: а) х=А /4; б) х=А /2; в) х=А, где А – амплитуда колебаний. [15; 3; 0]

4.16. Как изменится частота колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от их последовательного соединения перейти к параллельному? [увеличится в 2 раза]

4.17. Груз, подвешенный к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой 8 см. Определите жёсткость пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия груза равна 0,8 Дж. [k=250 Н/м]

4.18. Если увеличить массу груза, подвешенного на пружине, на 600 г, то период колебаний возрастёт в 2 раза. Определите массу первоначально подвешенного груза. [200 г]

4.19. Два математических маятника, длины которых отличаются на 16 см, совершают за одно и то же время один 10 колебаний, другой 6 колебаний. Определите длины маятников. [9см; 25см]

4.20. Математический маятник длиной 1 м подвешен к потолку кабины, которая начинает опускаться вертикально вниз с ускорением . Найдите период колебаний этого маятника. [2,32 с]

4.21. На какую высоту надо поднять математический маятник, чтобы период его колебаний увеличился в 2 раза? Радиус Земли 6400 км. [ ]

4.22. Маятник, состоящий из невесомой нити длиной 1 м и свинцового шарика радиусом 0,02 м, совершает гармонические колебания с амплитудой 0,06 м. Определите: а) модуль максимального значения возвращающей силы; б) модуль максимальной скорости. Плотность свинца 11,3^.10³ кг/м³.

[0,22 Н; 0,18 м/с]

4.23. Тонкий обруч радиусом 0,5 м подвешен на вбитый в стенку гвоздь и совершает гармонические колебания в плоскости, параллельной стене. Определите частоту колебаний обруча. [0,5 Гц]

4.24. Однородный диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 15 см от центра диска. Определите период колебаний диска относительно этой оси. [1,07 с]

4.25. Диск радиусом подвешен так, что может совершать гармонические колебания относительно образующей диска. Определите период и частоту колебаний диска.

4.26. Тонкий стержень длиной 60 см совершает колебания относительно оси, отстоящей на расстоянии 15 см от его середины. Определите период колебаний стержня. [1,19 с]

4.27. Определите амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: и

[ ; ]

4.28.Найдите уравнение результирующего колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: , . [ ]

4.29. Точка участвует в двух колебаниях одинаковой частоты одного направления и с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний соответственно равны 3 см и 4 см. Определите амплитуду результирующего колебания.[7 см;]

4.30. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, которые происходят по законам: и . Найдите траекторию движения точки. [окружность радиусом 2 ]

4.31. Точка участвует в двух колебаниях одинаковой частоты и с одинаковыми начальными фазами, совершаемых во взаимно перпендикулярных направлениях. Амплитуды колебаний соответственно равны 3 см и 4 см. Определите амплитуду результирующего колебания. [5 см]

4.32. Запишите уравнение результирующего колебания точки, полученного от сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты , с одинаковыми начальными фазами, равными и с амплитудами: и . [ ]

4.33. Уравнение затухающих колебаний точки дано в виде м. Определите скорость точки в моменты времени, равные . [7,85 м/с; 2,9 м/с; 1,1 м/с]

4.34. Логарифмический декремент затухания математического маятника равен 0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда за одно полное колебание? [в 1,22 раз]

4.35. Начальная амплитуда затухающих колебаний точки равна 3 см. По истечении 10 с от начала колебаний амплитуда стала равной 1 см. Через какое время амплитуда станет равной 0,3 см? [21 c]

4.36. Амплитуда затухающих колебаний маятника за 2 минуты уменьшилась в 2 раза. Определите коэффициент затухания. [5,78^.10^-3 1/с]

4.37. Амплитуда затухающих колебаний маятника за 1 минуту уменьшилась в 3 раза. Во сколько раз она уменьшится за 4 минуты? [в 81 раз]