Философские проблемы возникновения и исторической эволюции математики в культурном контексте.

ИСТОРИОСОФСКИЕ И ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ НАУКИ

Учебное пособие для аспирантов и соискателей

ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ

В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ

Новочеркасск

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Новочеркасский инженерно-мелиоративный институт имени А.К. Кортунова

ФГБОУ ВПО «Донской государственный аграрный университет»

ИСТОРИОСОФСКИЕ

И ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ НАУКИ

Учебное пособие для аспирантов и соискателей

Под общей редакцией доктора философских наук,

профессора Л.С. Николаевой

3-е издание, стереотип.

Том 6

ИСТОРИЯ И ФИЛОСОФИЯ НАУКИ

В ВОПРОСАХ И ОТВЕТАХ

Допущено

министерством сельского хозяйства Российской Федерации

в качестве учебного пособия для аспирантов и соискателей

Новочеркасск

УДК 001 (075.8)

ББК Ю 25

И 903

Авторы: В.А. Волосухин, Л.С. Николаева, А.А. Данцев,

В.И. Чеботарева, О.В. Загорская.

Рецензенты: В.С. Любченко, д-р филос. наук, профессор НГПУ (НПИ).

В.О. Голубинцев, канд. филос. наук, доцент НГПУ (НПИ).

И 903

Историософские и философские проблемы науки [Текст]: учеб. пособие для аспирантов и соискателей: В 10 т. Т. 6. История и философия науки в вопросах и ответах/ Под общ. ред. проф. Л.С. Николаевой; В.А. Волосухин, Л.С. Николаева, А.А. Данцев [и др.]; Новочерк. инж.-мелиор. ин-т ДГАУ. – 3-е изд., стереотип. – Новочеркасск, 2015. - 177 с.

В учебном пособии даны лаконичные ответы на наиболее сложные вопросы, которые возникают при изучении истории и философии науки. Это пособие рекомендуется для подготовки к кандидатскому экзамену по истории и философии науки для аспирантов, магистров, соискателей и всех интересующихся историей и философией науки.

Ключевые слова: наука, отрасли знания, частные науки, естествознание, механика, физика, химия, биология, обществознание, гуманитарные науки, социальные науки, наука о познании, наука о мышлении, логика, гносеология, технические науки.

УДК 001 (075.8)

ББК Ю 25

И 903

ПРЕДИСЛОВИЕ

Одно из самых существенных изменений в философском осмыслении сложных социальных феноменов, с которыми приходится иметь дело современному человеку, произошло за последние полвека в понимании науки: что она из себя представляет, как возникла, каким путем развивается, как обеспечивает устойчивость своего функционирования? Наука является основной формой познавательной деятельности человека, главным ее "носителем". Она постоянно связана с практикой, получает от нее импульсы для своего развития и в свою очередь воздействует на ход практической деятельности, опредличивается, материализуется в ней. Превращаясь в непосредственную производительную силу, наука приобретает важное социальное значение, способствует развитию самого человека.

"Наука - форма общественного сознания, представляющая исторически сложившуюся систему упорядоченных знаний, истинность которых проверяется и постоянно уточняется в ходе общественной практики.

Наука - важнейший элемент духовной культуры, высшая форма человеческих знаний, система развивающихся знаний, которые достигаются посредством соответствующих методов познания, выражаются в точных понятиях, истинность которых проверяется и доказывается общественной практикой ". (54. С. 8)

"Наука - сфера человеческой деятельности, функцией которой является выработка и теоретическая систематизация объективных знаний о действительности". (64. С. 393)

Понятие "наука" включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и результат этой деятельности - сумму полученных к данному моменту научных знаний, образующих в совокупности научную картину мира.

Непосредственные цели науки - описание, объяснение, предсказание процессов и явлений действительности, составляющие предмет ее изучения, на основе открываемых ею законов, т.е. в широком смысле - теоретическое отражение действительности.

Будучи неотъемлемой от практического способа освоения мира, наука как производство знания представляет собой весьма специфическую форму деятельности. Если в материальном производстве знания используются в качестве средств повышения производительности труда, в науке их получение - в виде теоретического описания, схемы технологического процесса, сводки экспериментальных данных, формулы какого-либо препарата и т.п. - образует главную и непосредственную цель. В отличие от видов деятельности, результат которых в принципе бывает известен заранее, научная деятельность дает приращение нового знания, т.е. ее результат принципиально нетрадиционен. Именно поэтому наука выступает как сила, постоянно революционизирующая другие виды деятельности.

Сложный характер имеет взаимосвязь между наукой и философией как специфическими формами общественного сознания. Философия всегда в той или иной мере выполняет по отношению к науке функции методологии познания и мировоззренческой интерпретации его результатов. Философию объединяет с наукой также стремление к построению знания в теоретической форме, к логической доказательности своих выводов. Различные философские направления в условиях классово антагонистического общества по-разному относятся к науке и принятым ею способам построения знания. Одни из этих направлений настроены к науке скептически (например, экзистенциализм) или даже открыто враждебно, другие, напротив, пытаются полностью растворить философию в науке (позитивизм), игнорируя тем самым мировоззренческие функции философии. Только марксизм-ленинизм принимает от науки ее метод, полностью используя ее результаты, но одновременно учитывает специфику предмета и социальной роли философии.

Хотя отдельные элементы научного знания начали формироваться в более древних обществах (шумерская культура, Египет, Китай, Индия), возникновение науки относят к 6 в. до н.э., когда в древней Греции (где и возникли первые теоретические системы - Фалес, Демокрит) сложились соответствующие условия. Формирование науки требовало критики и разрушения мифологических систем; для ее возникновения был необходим также достаточно высокий уровень развития производства и общественных отношений, приводящий к разделению умственного и физического труда и тем самым открывающий возможность для систематических занятий наукой. Более чем двухтысячелетняя история науки отчетливо обнаруживает ряд общих закономерностей и тенденций ее развития. Еще в 1844 г. Ф. Энгельс сформулировал положение об ускоренном росте науки: "...Наука движется вперед пропорционально массе знаний, унаследованных ею от предшествующего поколения...". (64. С. 393) Как показали современные исследования, это положение может быть выражено в строгой форме экспоненциального закона, характеризующего возрастание некоторых параметров науки, начиная с 17 в.

Развитию науки свойственен кумулятивный характер: на каждом историческом этапе она суммирует в концентрированном виде свои прошлые достижения, и каждый результат науки входит неотъемлемой частью в ее общий фонд; он не перечеркивается последующими успехами познания, а лишь переосмысливается и уточняется. Преемственность науки обеспечивает функционирование как особого вида "социальной памяти" человечества, теоретически кристаллизующей прошлый опыт познания действительности и овладения ее законами.

Процесс развития науки находит свое выражение не только в возрастании сумму накапливаемых положительных знаний. Он затрагивает также всю структуру науки. На каждом историческом этапе научное познание использует определенную совокупность познавательных форм – фундаментальных категорий и понятий, методов, принципов и схем объяснения, т.е. всего того, что объединяют понятием стиля мышления. Например, для античного мышления характерно наблюдение как основной способ получения знания; наука Нового времени опирается на эксперимент и господство аналитического подхода, направляющего мышление к поиску простейших, далее не разложимых первоэлементов исследуемой реальности; современная наука характеризуется стремлением к целостному и многостороннему охвату изучаемых объектов.

Всю историю науки пронизывает сложное, диалектическое сочетание процессов дифференциации и интеграции: освоение всё новых областей реальности и углубление познания приводят к дифференциации науки, к дроблению ее на всё более специализированные области знания; вместе с тем потребность в синтезе знания постоянно находит выражение в тенденции интеграции науки. Первоначально новые отрасли науки формировались по предметному признаку - сообразно с вовлечением в процесс познания новых областей и сторон действительности. Для современной науки становится все более характерным переход от предметной к проблемной ориентации, когда новые области знания возникают в связи с выдвижением определенной крупной теоретической или практической проблемы.

Науку можно классифицировать на множество отраслей знания (частных наук), которые различаются между собой тем, какую сторону действительности, форму движения материи они изучают. По предмету и методу познания можно выделить науки о природе - естествознание (механика, физика, химия, биология и т.д.), и обществе - обществознание (гуманитарные, социальные науки), о познании, мышлении - логика, гносеология. Отдельную группу составляют технические науки.

Могут быть и другие критерии для классификации наук. Так, по "удаленности" от практики науки можно разделить на два крупных типа: фундаментальные - где нет прямой ориентации на практику, и прикладные с непосредственным применением результатов научного познания для решения производственных и социально-практических проблем. Вместе с тем границы между отдельными науками и научными дисциплинами условны и подвижны. Научное познание есть процесс, т.е. развивающаяся система знания, основным элементом которой является теория - высшая форма организации знания.

1. Образ математики как науки: философский аспект

Вопрос о непосредственном предмете математики остается в компетенции самой математики, ибо сама математика решает вопрос, как и для чего создавать математические объекты. Однако этот вопрос тесно связан с вопросом о предмете математики в реальной действительности, который касается отношения математики как отрасли познания к действительному миру и поэтому является гносеологической проблемой. Последняя проблема относится к компетенции философии математики независимо от того, кто ею занимается – философы или математики.

Математика изучает пространственные формы и количественные отношения в их «чистом», идеализированном виде, абстрагируясь от конкретных физических объектов и большинства их свойств. Как мы видели выше, современная математика уже не ограничивается «классическими» объектами (точки, прямые и т. д.); она стала изучать любые отношения между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств. Эти свойства выражены в аксиомах, положенных в основание теории. Такой подход к изучению отношений между объектами, связанный с аксиоматическим методом в современном его понимании, позволил математике выйти за рамки изучения только пространственных форм и количественных отношений. Было бы, например, грубой натяжкой утверждать, что неэвклидовы или многомерные геометрии занимаются изучением только пространственных форм физического мира, а теория групп или функциональный анализ — изучением количественных отношений. Поэтому большинство математиков и определяют в последнее время математику как науку о всех возможных пространственных формах и количественных отношениях действительного мира, а также о формах и отношениях, которые подобны первым или вторым.

Математика оперирует исключительно идеальными объектами, находящимися на различных уровнях абстракции. Абстрагирование позволяет человеку освободиться от непосредственной связи с изучаемым предметом (как в примере с измерением земельного участка), оперировать умственными моделями предметов — понятиями (например, понятиями геометрической точки, прямой и т. д.) как действительными предметами, путем сопоставления понятий, приобретать новые знания о предметах, делать умозаключения.

Прогресс теоретического познания неразрывно связан с образованием все более и более глубоких абстракций, с осмысливанием связей между ними, с разработкой методов оперирования ими, с применением их к решению практических задач. Исключительно высокая степень абстрактности математических понятии, их отвлеченность почти от всех свойств материальных предметов, позволяет применять математику к самым разнообразным объектам природы и общества. Другая, очень важная особенность математики, отличающая ее от естественных и технических наук, связана с использованием ею логических доказательств. Применение математики к решению конкретных проблем других наук и практики в конечном итоге обусловлено материальным единством мира, взаимосвязью количественных и качественных, абстрактных и конкретных, формальных и содержательных аспектов. Математика исследует количественные отношения действительного мира, которые соответствуют качественно разнообразным областям действительности. Таким образом, единство, взаимосвязь и целостность, существующие в объективном мире, находят свое воплощение в единстве и разнообразии математического знания. Качественное разнообразие явлений действительности, их взаимосвязь и единство находят свое косвенное выражение и в математических теориях и дисциплинах. Нередко приходится встречаться с двумя основными ошибками при рассмотрении качественного разнообразия математических теорий. Первая из них состоит в том, что за разнообразием не видят единства и связи между теориями. Своеобразным проявлением такой ошибки служат встречающиеся иногда утверждения о том, будто бы современная математика стала изучать качественные особенности предметов и процессов. Справедливо замечая коренные изменения, происшедшие в математике нашего времени, авторы подобных заявлений забывают, что современная математика, как и вся прежняя, абстрагируется от конкретного содержания своих объектов, что между изучением величин и более абстрактных математических объектов (форм или структур) существуют как тесная связь, так и глубокое различие. Другая ошибка состоит в игнорировании качественного различия между количественными отношениями, изучаемыми разными математическими теориями. В ее основе лежит забвение того положения, что качественные различия присущи самим количественным отношениям. Правильный, научный подход к данному вопросу состоит в диалектическом рассмотрении отношения не только между математикой и другими науками, но и между самими математическими теориями. Такое рассмотрение учитывает как связь, единство теорий и научных дисциплин, так и различие между ними.

Философские проблемы возникновения и исторической эволюции математики в культурном контексте.

Генезис первых математических знаний, каковым было знание о числе, «не удается проследить ни историкам, ни этнологам» (А.И. Степанов). В этнологии имеются основания полагать, что уже до человеческие существа обладают способностью к счету (кошки считают своих котят, вороны охватывают процедурой счета разные предметы до семи или десяти и т.д.). Начальные навыки счета зафиксированы у самых первобытных народов и племен, хотя историки математики и культуры показали, что на разных этапах эволюции человек умел считать до трех (раз, два, много), до четырех (раз, два, три, много), до семи, сорока, десяти тысяч. Во всяким случае следует подчеркнуть следующее положение: «Число, особенно натуральное, нередко играет роль явного или подразумеваемого позвоночника различных культурных и общественных представлений».

В современной науке общепринят тезис о преемственности истории человеческого общества. Общественная жизнь воспроизводится в смене поколений посредством социальной памяти как совокупности специализированных инструментов межчеловеческого общения, являясь существенным аспектом функционирования и развития общества. Объясняется это и тем, что социальная память представляет собой не только фиксацию прошлых состояний общественной системы.

В эпоху неолитической революции (8000 - 3000 гг. до н. э.) началось одомашнивание растений и животных, были изобретены колесо, мотыга и др., что заложило фундамент для развития первых раннеклассовых цивилизаций. Эти первые сакральные цивилизации открыли новую фазу мировой истории, одновременно возникнув и развиваясь в 4 регионах (ранние цивилизации доколумбовой Америки возникли гораздо позже): в Междуречье Тигра и Евфрата, долине Нила, Междуречье Инда и Ганга и долине Хуанхэ. Скотоводство, земледелие и выплавка металла - вот достижения, которые стояли у истоков этих цивилизаций. С ними были знакомы шумеры и аккадцы, преобразовавшие природу Двуречья и создавшие новые источники общественного богатства. Они преобразили себя и свое общество благодаря новому способу производства материальных благ, названному в свое время К. Марксом «азиатским». "Азиатский", или архаический, способ производства существовал как первая ступень в становлении цивилизации в Древнем Египте, в крито-микенском обществе, у эллинов до 8-6 вв. до н.э., в Испании, Галлии и Британии, в Древней Индии (культура Хараппы, эпоха Вед) и Древнем Китае, у скифов, гуннов, тюрков, монголов, у скандинавов эпохи викингов, полинезийцев, инков, майя и ацтеков и т.д.

Особенно большую роль в древнеегипетской арифметике играли пропорции. Распределение благ в древнеегипетском обществе велось пропорционально социальным или профессиональным рангам. Представляет интерес тот факт, что символические обозначения дробей 1/2, 1/3, 1/4 и др. происходят из мифа о Горе и Сете. На достаточно высоком уровне для того времени находилась геометрия. С высокой степенью точности: пирамиды, дворцы и скульптурные монументы. В сохранившемся до наших дней так называемом Московском математическом папирусе имеются решения трудных задач на вычисление объемов усеченной пирамиды полушария. Объем цилиндра исчисляли, умножая площадь его основания на высоту. Эта операция, связанная с цилиндрической формой меры для зерна, использовалась для учета зерна в государственных хранилищах. Древние египтяне также обладали некоторыми элементарными знаниями в области алгебры. Умели решать уравнения с одним и двумя неизвестными.

Анализируя сохранившиеся задачи, некоторые исследователи делают вывод, что древние египтяне "занимались прежде всего теми математическими операциями, которые были непосредственно и тесно связаны с повседневными потребностями страны, с земледельческим хозяйством и системой обмена, не развивая способности к абстрактному знанию" (И. Липинская, В. Козинский), что они не имели науки в древнегреческом или современном смысле этого слова, не строили теоретических конструкций, были прагматиками, так как делали первые шаги на тропах цивилизации.

Наиболее блестящим веком в истории науки до XVII столетия был период эллинистической цивилизации. Он начинается с завоевания Александром Македонским самостоятельных городов-государств Эллады и заканчивается возвышением Рима, подчинившего себе последнее эллинистическое государство Египет (IV в. до н.э. - I в. н.э.). Как пишут в своем фундаментальном исследовании "Западные цивилизации" Р. Лернер, С. Мичэм и Э. Бернс, некоторые современные научные достижения немыслимы без открытий ученых Александрии, Пергамы, других центров эллинистической культуры и науки. Это обусловлено тем, что характерной чертой развития науки является преемственность и что вплоть до возникновения современной науки не было сделано крупных открытий.

Большое значение для развития естественнонаучного знания того времени имело учение крупнейшего древнегреческого философа и мыслителя Аристотеля (384 - 322 гг. до н.э.). Не случайно в науке Аристотеля характеризуют как самую энциклопедическую фигуру античности, а эпоху Александра считают эпохой Аристотеля. В своих натурфилософских воззрениях Аристотель как бы соединил положения учения Демокрита с философией Платона.

Заслуживают внимания успехи в области математики, достигнутые Эратосфеном, дружившим с Архимедом; он создал способ нахождения простых чисел (так называемое "сито Эратосфена"), а в комментариях к математическим диалогам Платона изложил решения проблем арифметики, геометрии и музыки. В них приводится его собственное решение так называемой делийской проблемы. Еще более важным, чем их отдельные достижения, была систематизация математики, которая была осуществлена Эвклидом, жившим в 3 в. до н.э. в Александрии. Его главным, большим по объему трудом являются "Начала", которые привели в систему все математические достижения того времени.

Известно, что в VIII в. н.э. арабские ученые, исследовавшие в Индии математические тексты на санскрите, сделали два важных открытия, с которыми они в дальнейшем ознакомили западный мир. Это - позиционная нотация чисел, использующая десятичную систему исчисления, включающую концепцию нуля, а также тригонометрия, оперирующая понятием синуса. Во времена династии Хань (206 до н.э.- 220 н. э.) появился новый раздел математики. Были составлены специальные руководства, в которых излагались задачи и способы их решения, сгруппированные в главы в зависимости от возможного практического применения.

В средневековой Европе именно схоластика послужила той дисциплинарной основой, без которой просто не могла бы возникнуть современная система естественнонаучного знания. Именно схоластика обусловила появление канонов научного исследования, сформулированных Оккамом, составляющих, по выражению современных католических философов Дж. Реале и Д. Антисери, «эпилог средневековой науки и одновременно прелюдию новой физики». Появление работ Галилея положило конец органическому восприятию мира как законченного и иерархически упорядоченного целого. Конкретно-чувственные представления пространства и времени, присущие европейскому средневековому мировосприятию, были заменены абстрактно-геометрическим пониманием пространства, времени и движения. Галилеевский экспериментально-математический метод представляет собой союз практики ремесленников и теории. Анализ компонентов галилеевского метода дает картину становления техники экспериментирования у искусных мастеров-ремесленников, инженеров-художников и архитекторов (Ф. Брунеллески, Б. Челлини, Н. Тартальян, Г. Агрикола, Р. Нормана). Они выражали в количественной форме результаты исследований природы, подготавливали эмпирические данные к приложению математических методов.

Необходимой предпосылкой научной революции на рубеже XIX-XX столетий является целый комплекс достижений в области математики, составивший целую новую эпоху, согласно исследованиям историков науки. Начало этой эпохи математики связано с дальнейшей разработкой выводов Н.И. Лобачевского, Я. Больяи и Б. Римана по неэвклидовой геометрии. Их исследования были развиты итальянским ученым Е. Бельтрами ( 1835 - 1900), а также немецким математиком Ф. Клейном (1849-1925). Выдающимся событием в области аксиоматического метода явилась опубликованная в 1899 г. работа немецкого математика Д. Гильберта (1862-1943), который впервые разрешил задачу построения геометрической системы, логически развертывающейся из точно сформулированных, независимых посылок. Этим Гильберт внес крупный вклад в математическую логику, которая начинает формироваться в дисциплину, практическое значение которой для вычислительной, компьютерной математики (математическое машинное моделирование) обнаружилось в дальнейшем.

Значительное развитие получило учение об общих свойствах конечных и особенно бесконечных множеств. Теория множеств как математическая дисциплина была основана в 1874-1884 гг. немецким математиком Г. Кантором (1845-1918). Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все отрасли математики. Теория множеств явилась одной из основ развития теории функций действительного переменного, современной общей топологии и других дисциплин. Кроме того, она оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики.

В рассматриваемую эпоху большое развитие получила теория вероятностей. Этот раздел математики занимается изучением случайных явлений, течение которых заранее нельзя точно предсказать и осуществление которых при, казалось бы, одинаковых условиях может протекать совершенно различно в зависимости от случая. Теория вероятностей находит несколько весьма актуальных применений в естествознании и технике, главным образом в теории наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, а также в теории стрельбы. Особенно бурно начала развиваться эта наука в XIX в. в связи с прогрессом статистической физики и статистических методов исследования самых различных вопросов. Решающую роль здесь сыграли работы русских ученых: П.Л. Чебышева (1821-1894) и А.А. Маркова-старшего (1856-1922). Исследования Маркова по теории так называемых марковских цепей имели огромное значение для ряда физических проблем (диффузия, броуновское движение). Значительную роль в разработке теории вероятностей сыграли также работы выдающегося русского математика A.M. Ляпунова (1857-1918).

Важным направлением в развитии математики конца XIX и начала XX в. является теория групп, т. е. учение о симметрии в самом общем виде. Первоначально она развивалась лишь как вспомогательный аппарат для решения уравнений высших степеней в радикалах. В течение XIX и XX вв. важное значение закономерностей симметрии выявилось во многих других разделах науки (геометрии, кристаллографии, физики, химии). Благодаря этому методы и результаты теории групп получили очень широкое распространение. В самом конце ХIХ в. знаменитый русский кристаллограф и геометр Е.С. Федоров (1853-1919) решил с помощью теоретико-групповых методов важную задачу кристаллографии - задачу классификации всевозможных кристаллических пространственных решеток.

Очень важным в указанную эпоху было возникновение понятия функционального пространства, а также основных идей функционального анализа. В математике пространство определяется как множество объектов, между которыми имеются отношения, сходные по своей структуре с обычными пространственными отношениями. Исторически первым по времени является понятие эвклидова трехмерного пространства, которое рассматривается как множество точек, связанных рядом определенных отношений. В результате постепенного его обогащения возникло понятие функционального пространства, в котором точками являются функции. Такие пространства рассматривались итальянскими математиками В. Вольтерра (1887 г.) и С. Пинкерле (1895 г.), а также Д. Гильбертом (1904 г.) и венгерским ученым Ф. Рисом (1912 г.).

Внутреннее развитие математики и естествознания, практические потребности общества привели к появлению нейроматематики - раздела вычислительной математики, связанного с разработкой методов алгоритмов решения задач в нейросетевом логическом базисе. Объективной предпосылкой развития этого нового раздела вычислительной математики является более чем 30-летний научный задел в области теории нейронных сетей, позволяющей создать единый подход к разработке нейросетевых алгоритмов решения практически любых задач общей и прикладной математики. Нейронным (или нейросетевым) алгоритмом называется вычислительная процедура, основная часть которой может быть реализована в виде нейронной сети той или иной структуры. Главная задача нейрокомпьютера быстрое решение задач.

Подтверждением того, что нейрокомпьютеры в будущем будут более эффективными, чем прочие архитектуры, может, в частности, служить резкое расширение в последние годы класса общематематических задач, решаемых в нейросетевом логическом базисе: линейных и нелинейных алгебраических уравнений и неравенств. И большой размерности; задач оптимизации (линейное и нелинейное программирование); систем нелинейных дифференциальных уравнений; уравнений в частных производных; других задач.

В истории вычислительной техники всегда были задачи, не решаемые вычислительной техникой текущего уровня развития. В настоящее время для этих задач, как правило, осуществляется переход к нейросетевому логическому базису. Это характерено для случаев резкого увеличения размерности пространства или необходимости резкого сокращения времени для решения задач. В целом формируются три раздела нейроматематики: общий, прикладной, специальный.