Расчет статически неопределимых стержневых систем методом сил

На рис. 18 а изображена нагруженная в своей плоскости рама, вертикальные элементы которой имеют моменты инерции , а горизонтальные элементы - . Требуется:

1) установить степень статической неопределимости и выбрать основную систему;

2) написать каноническое уравнение;

3) построить эпюры от единичных сил и от заданной нагрузки;

4) найти перемещения;

5) построить окончательные эпюры внутренних силовых факторов: , и для схемы на рис. 18а.

Пример. (рис. 18 а). Решение. Определяем степень статической неопределимости плоской рамы по формуле:

,

где – количество замкнутых контуров; – количество простых шарниров (т.е. соединяющих два стержня), при этом надо помнить, что шарнирно-неподвижная опора считается как один простой шарнир, а шарнирно-подвижная – как два. Для получения основной системы отбросим в заданной системе две «лишние связи», превратив тем самым заданную статически неопределимую систему в определимую, и приложим лишние неизвестные и (рис. 18 б).

2. Система канонических уравнений метода сил для дважды статически неопределимой системы запишется в виде:

 

Рис. 18. Заданная и основная системы, единичные и грузовые эпюры , и

 

3. Построение эпюр изгибающих моментов от единичных сил =1, =1 и заданной нагрузки проводится по известным правилам, установленным для балок (условимся строить эпюры М со стороны сжатых волокон).

Стержень BD

;

, кН^.м.

Стержень DC

кН^.м.

Стержень CA

;

кН^.м;

.

Единичная эпюра представлена на рис. 18 б.

Стержень DC

;

кН^.м.

Стержень CA

кН^.м.

Единичная эпюра представлена на рис. 18 г.

Аналогичным образом построены эпюры (рис. 18 д).

Стержень DC

;

, кН^.м.

Стержень CA

кН^.м.

4. Определяем перемещения, входящие в канонические уравнения, пользуясь правилом Верещагина, по которому интегралы Мора находятся путем перемножения эпюр (при вычислении используем таблицу 3 в приложении).

Главные переменные и получим путем умножения единичных эпюр и самих на себя:

;

.

Побочные перемещения получим путем умножения эпюр на (знаки минус приняты в том случае, если сопрягаемые эпюры отложены в разные стороны):

.

Перемещения от внешней нагрузки и получим при перемножении эпюр на на соответственно:

;

.

Подставляя полученные коэффициенты в систему канонических уравнений метода сил, и сокращая , получим систему

решая которую, найдем лишние неизвестные

=16,5 и = 14.

5. Строим окончательные эпюры , и для основной системы.

Стержень BD

;

; кН^.м;

кН;

кН (сжатие).

Стержень DC

;

кН^.м;

кН^.м.

Исследуем кривую на экстремум

м;

кН^.м;

;

кН;

кН;

кН (сжатие).

Стержень CA

;

кН^.м;

кН;

кН (сжатие).

Эпюры , и представлены соответственно на рис.19 а, б, в.

 

 

Рис. 19. Окончательные эпюры , и и узлы рамы C и D

Проверку правильности построения окончательной эпюры изгибающих моментов осуществляем путем перемножения окончательной эпюры на одну из единичных эпюр, например, эпюры моментов от силы . В результате такого перемножения получим перемещение рамы в точку В по направлению отброшенной горизонтальной связи. Если подсчитанное таким образом перемещение получится равным нулю, значит задача решена верно.

что составляет ~54%, т.е. приблизительно равно 0.

На рис. 19 г, д вырезаны узлы рамы C и D, к которым приложены все внутренние силовые факторы.

 

 

Задача 12