На основе таблицы производных можно сделать вывод: производная любой элементарной функции также элементарная функция. Таким образом, операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. Производная f(х) функции y=f(x) сама является некоторой функцией аргумента х. По отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании производной.
Назовем y’=f’(х) производной первого порядка функции f(х). Производная от производной (Y’)’=(f’(x))’=f’’(x) некоторой функции называется производной второго порядка этой функции. Производная от второй производной (y’’)’=(f’’(x))’=f’’’(х) называется производной третьего порядка и так далее.
Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков:
;
…
Здесь d2y, d2x – дифференциалы второго порядка;
d3y, d3x – дифференциалы третьего порядка;
dny, dnx – дифференциалы n -го порядка
Точки экстремума функции
Точка x1 называется точкой локального максимума (max) функции f(x), если для всех х из некоторой d - окрестности точки х1 выполняется неравенство
f(x)£f(x1)
Точка х2 называется точкой локального минимума (min) функции f(x), если для всех х из некоторой d-окрестности точки х2 выполняется неравенство
f(x)³f(x2)
Локальный максимум и локальный минимум объединяют одним общим названием локальный экстремум.
 | |||
 | |||
Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер. Очевидно, что функция может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов, причем иной локальный максимум может отказаться меньше какого-то локального минимума.
Теорема Ферма (необходимое условие существования локального экстремума). Если функция y=f(x) имеет в точке x0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная обращается в нуль в этой точке:
f’(x0)= 0
Теореме Ферма соответствует очевидный геометрический факт: если в точках максимума или минимума функция f(x) имеет производную, то касательная к графику y=f(x) в этих точках параллельна оси ОХ.
Значения аргумента, при которых производная f’(x) обращается в нуль или терпит разрыв, называются стационарными точками или точками возможного экстремума.
Теорема (условия возрастания и убывания функции)
1. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), причем f’(x) >0 при xÎ(a,b), то эта функция f(x) возрастает на отрезке [a,b] ().
2. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), причем f’(x) <0 при xÎ(a,b), то эта функция f(x) убывает на отрезке [a,b] (¯).
Теорема (Достаточное условие существования локального экстремума). Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем стационарную точку x0 и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, может быть, самой точки x0.
Если при переходе слева на право через эту точку производная f’(x) меняет знак с плюса на минус, то при x=x0 функция f(x) имеет локальный максимум.
Таким образом, если
, то при x=x0 f(x) имеет локальный максимум
Если при переходе через точку X0 слева направо производная f’(x) меняет знак с минуса на плюс, то функция f(x) имеет в этой точке локальный минимум.
Таким образом, если
то при x=x0 f(x) имеет локальный минимум.
Если при переходе через точку X0 слева направо производная f’(x) не меняет знак, то в точке x=x0 экстремума не существует.
 | |||||||||
| |||||||||
 | | ||||||||
 | |||||||||
Пример. Найти экстремумы следующих функции или показать, что
функция не имеет экстремумов:
а) 
, б) 
, в) 
Решение.
а)
Область определенная этой функции – вся числовая прямая: xÎRe
Найдем производную и приравняем ее к нулю:
Решая получившееся уравнение (1-X)(1+X)= 0, находим две стационарные точки: x1= -1, x2= 1.
Исследуя знак производной y’ в окрестностях этих точек
 |
заключаем, что х= -1 – точка локального минимума,
х= 1 – точка локального максимума
- минимальное значение функции,
- максимальное значение функции.
б) 
Область определения этой функции – вся числовая прямая за исключением точек х=- 1 и х= 1, таким образом
Найдем производную и приравняем ее к нулю:
Решая получившееся уравнение–2 х= 0, находим одну стационарную точку: х= 0.
Исследуя знак производной в окрестности этой точки
 |
Заключаем, что х= 0 – точка локального максимума.
- максимальное значение функции.
в) 
Область определения этой функции– вся числовая прямая за исключением точек х= -1 и х= 1. Таким образом
Найдем производную и приравняем ее к нулю:
Получившееся уравнение1 +х2=0 решений не имеет, значит стационарных точек нет и данная функция экстремума не имеет.
