Характеристика програмного комплексу Mav.Structure

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичних занять і самостійної роботи з дисципліни

 

БУДІВЕЛЬНА МЕХАНІКА І

МЕТАЛЕВІ КОНСТРУКЦІЇ ПТБіДМ»

(для студентів спеціальності 8.090241)

 

Краматорськ 2006

УДК 621.87

 

 

Методичні вказівки до практичних занять і самостійної роботи з дисципліни «Будівельна механіка і металеві конструкції ПТБіДМ» для студентів спеціальності 7.090214/Уклад.: В.С.Шнюков, В.О. Койнаш. - Краматорськ: ДДМА, 2006. – 59 с.

 

 

Наведено приклади рішення в загальному вигляді конкретних завдань будівельної механіки стосовно металевих конструкцій ПТМ, а також стислі відомості з теоретичних розділів, на підставі яких отримані рішення. По кожному розділу надані завдання для індивідуального рішення студентами на практичних заняттях під керівництвом викладачів, а також завдання для самостійного рішення під час вивченні розділів курсу.

 

 

Укладач Віктор Сергійович Шнюков, доц., к.т.н.,

Віталій Олексійович Койнаш, ас.

 

Відпов. за випуск Крупко Валерій Григорович, доц., к.т.н.

 

 

Зміст

 

1 Визначення зусиль у стрижнях пласких ферм при дії нерухомого навантаження 5

1.1 Графічні методи. 5

1.2 Аналітичні методи. 8

1.2.1 Метод вирізання вузлів. 9

1.2.2 Метод наскрізних перетинів. 12

2 Визначення зусиль у стрижнях плоских ферм при дії
рухомого навантаження за методом ліній впливу. 14

2.1 Короткі відомості про метод ліній впливу. 14

2.2 Приклад побудови ліній впливу зусиль у стрижнях плоскої ферми. 15

2.3 Приклади визначення розрахункових зусиль у стрижнях ферми від фактичних навантажень по лініях впливу. 21

3 Розрахунок металоконструкцій за розрахунковою схемою «статично невизначена рама» методом сил і методом переміщень. 24

3.1 Особливості статично невизначених рам. 24

3.2 Розрахунок рам кранової естакади методом сил. 24

3.3 Короткі відомості про метод переміщень. 31

3.4 Розрахунок рами кранової естакади методом переміщень. 34

3.5 Варіанти індивідуальних завдань на розрахунок металоконструкцій за розрахунковою схемою «Статично невизначена рама». 38

4 Розрахунок стрижневих систем на ЕОМ методом кінцевих
елементів (МКЕ) 40

4.1 Загальні відомості про МКЕ та його застосування у
сучасній інженерній практиці 40

4.2 Приклад підготовки вихідних даних для розрахунку
підкранової естакади у програмі Mav.Structure. 42

4.2.1 Постановка завдання та вихідні дані для розрахунку. 42

4.2.2 Послідовність дій при підготовки вихідних даних. 44

4.3 Підготовка файлу вихідних даних. 48

4.4 Отримання результатів розрахунку. 49

4.4 Варіанти індивідуальних завдань на розрахунок металоконструкцій
за допомогою МКЕ. 51

Література. 52

Додаток А.. 53

Додаток Б. 56

Додаток В.. 59

 

1 Визначення зусиль у стрижнях пласких ферм при дії нерухомого навантаження

 

1.1 Графічні методи

 

В основу графічних методів розрахунку ферм покладено відоме твердження теоретичної механіки про те, що якщо тверде тіло під дією зовнішніх сил перебуває в рівновазі, то багатокутник, побудований з векторів цих сил, повинен бути замкнутим. З цього виходить, що, якщо із всіх сил, що діють на тіло, що перебуває в рівновазі, дві невідомі за величиною, але відомі за напрямком, то їхню величину визначає точка перетинання лінії їх дії. Що стосується зусиль у стрижнях ферм, то лінії їх дії завжди відомі, тому що вони збігаються з поздовжніми осями відповідних стрижнів. Для визначення їх величин існує два графічних методи [1].

Метод Кульмана полягає в уявному вирізанні з ферми окремих вузлів (вузли – це місця з'єднання кінців стрижнів) і побудові для них розрізнених замкнутих силових багатокутників (багатокутники Кульмана), при цьому у вузлі повинно бути не більш двох стрижнів з невідомими за величиною зусиллями. Через громіздкість графічних побудов метод Кульмана не знайшов широкого застосування на практиці.

Метод Максвелла-Кремони заснований на складанні розрізнених багатокутників Кульмана в компактну діаграму, яке можливо завдяки наявності в них загальних сторін, оскільки один і той самий стрижень відноситься до двох сусідніх вузлів. Така діаграма отримала назву «діаграма зусиль Максвелла-Кремони». При її побудові рекомендується застосовувати спеціальну систему позначення зусиль індексами полігонів (полів). Полігони являють собою площину креслення, обмежену лініями дій зовнішніх або внутрішніх зусиль, їх позначають цифрами або буквами.

Розглянемо послідовність побудови діаграми зусиль на прикладі ферми мостового крану (рис. 1.1, а), навантаженої відповідною вагою, розподіленою по вузлах.

1. Визначимо опорні реакції R_A і R_B (графічним або аналітичним методом), після чого вважаємо їх зовнішніми силами.

2. Позначимо полігони ферми: зовнішні – цифрами, внутрішні – буквами а, b, с, … (див. рис. 1.1).

3. У масштабі будуємо діаграму зусиль.

Спочатку будуємо багатокутник зовнішніх сил, що повинен вийти замкнутим. Для його побудови обходимо вузли ферми, у яких діють зовнішні сили, по напрямку годинникової стрілки. Тоді опорна реакція R_A (див. рис. 1.1, а) повинна бути позначена полями 1-2, наступна сила P – полями 2-3 і т.д. Перша цифра (буква) позначає початок, а друга – кінець вектора. Багатокутник зовнішніх сил на рис. 1.1, б зливається у вертикальну пряму, тому що в цьому випадку зовнішні сили і опорні реакції вертикальні.

а)

б)

Рисунок 1.1 – Розрахункова схема ферми (а) і діаграма
Максвелла-Кремони (б)

Далі переходимо до визначення зусиль у стрижнях, послідовно розглядаючи вузли ферми, у яких сходяться не більше двох стрижнів з невідомими зусиллями.

Першим розглядаємо лівий опорний вузол А, у якому сходяться три стрижні, але один з них нульовий і тому невідомих зусиль тільки два, а
точки 2 і а на діаграмі збігаються. Опорна реакція R_(1-2) уже відкладена на рис. 1.1, б тому із точки 2 проводимо пряму, паралельну стрижню а-b, а із точки 1 – пряму, паралельну стрижню b -1. Точку перетинання цих прямих позначимо індексом полігону b. Отримані відрізки a-b і b -1 в обраному масштабі являють собою зусилля в стрижнях а-b і b -1.

Наступним розглядаємо вузол, у якому прикладена зовнішня сила Р_(2-3). У цьому вузлі перебувають чотири стрижні, але в стрижні 2- b зусилля вже знайдене, а стрижень 2- а нульовий. Відома за величиною і напрямку сила
Р_(2-3), а також зусилля в стрижні 2- b вже є на діаграмі, тому із точки 3 проводимо пряму, паралельну стрижню 3- с, а із точки b – пряму, паралельну стрижню с-b. Точку їх перетинання позначимо індексом полігону с.

Потім переходимо до розгляду вузла, де прикладена зовнішня сила
Р_(3-4). У цьому вузлі сходяться три стрижні, але зусилля в стрижні с -3 уже знайдене і невідомих зусиль залишається тільки два. Тому із точки 4 проводимо пряму, паралельну стрижню 4- d, а із точки с – пряму, паралельну стрижню d-c. Точку їхнього перетинання позначимо індексом полігону d.

Аналогічно розглядаються всі наступні вузли ферми. Оскільки в цьому випадку навантаження на ферму і сама ферма симетричні, діаграма будується тільки для половини ферми.

Побудувавши діаграму, можна визначити напрямок зусиль у стрижнях. Для цього вузол ферми, у якому перебуває стрижень, що цікавить нас, обходять по годинній стрілці і визначають порядок індексів полігонів у позначенні стрижня. Напрямок вектора зусилля на діаграмі – від індексу першого полігона (у позначенні стрижня) до другого. Цей напрямок переноситься у вузол ферми і, якщо зусилля спрямоване до вузла, то стрижень зжатий (знак мінус), у противному випадку розтягнутий (знак плюс). Геометричні схеми ферм для різних варіантів завдань наведені в додатку А.

Варіанти індивідуальних завдань на побудову діаграми Максвелла-Кремони наведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1 –. Варіанти індивідуальних завдань на побудову діаграми Максвелла-Кремони

 

Варіант
№ схеми
Р, кН
d, м	2,5	4,0	5,0	6,0	2,5	2,1	3,0	3,5	2,0	3,0	1,8	1,5	2,0
Номери стрижнів	2-4 2-5 3-5	2-4 2-3 1-3	1-3 2-3 2-4	1-2 2-3 3-5	3-5 3-6 4-6	1-3 2-3 2-4	2-4 3-4 1-2	1-2 1-3 2-3	1-3 1-2 2-3	4-6 4-5 3-5	1-3 1-2 2-3	2-4 3-4 3-5	5-7 4-5 2-4
Варіант
№ схеми
Р, кН
d, м	2,0	1,5	1,4		3,5	3,0	1,2	1,5	2,0	1,6	2,5	2,0	1,2
Номери стрижнів	6-5 6-7 6-8	2-4 3-4 3-5	5-7 6-7 6-8	2-4 3-4 3-5	1-3 1-2 3-4	4-6 4-7 6-7	7-10 7-9 8-10	2-4 3-4 3-5	6-8 6-7 5-7	3-5 4-5 4-6	4-6 5-6 5-4	1-1 1-3 1-2	4-6 6-8 6-7

 

Номер варіанту завдання відповідає порядковому номеру студента в журналі групи. Після побудови діаграми визначаються чисельні значення зусиль у стрижнях шляхом множення довжин відповідних плечей діаграми на масштаб побудови. Результати оформляються у вигляді
табл. 1.2.

 

Таблиця 1.2 – Результати розрахунку ферми графічним методом

 

Позначення стрижнів
Зусилля в стрижнях, кН
Напрямки зусиль

 

 

1.2 Аналітичні методи

 

У будівельній механіці розроблено два аналітичних методи визначення зусиль у стрижнях плоских ферм: метод вирізання вузлів і метод наскрізного перетину. Ідея обох методів полягає в тому, що якщо від ферми, що перебуває в рівновазі, подумки відокремити шляхом розрізування стрижнів деяку її частину і до розрізаних стрижнів прикласти фактично діючі в них зусилля, то, як відділена, так і частина ферми, що залишилася, будуть залишатися в рівновазі. Отже, для кожної із цих двох частин можна скласти три рівняння статики:

 

∑Х = 0; (1.1)

∑Y = 0; (1.2)

∑М = 0. (1.3)

 

де ∑Х – сума проекцій всіх сил на вісь Х;

∑Y – сума проекцій всіх сил на вісь Y;

∑М – сума моментів всіх сил щодо будь-якої точки.

Вирішуючи ці три рівняння, можна визначити зусилля в трьох розрізаних стрижнях.

 

1.2.1 Метод вирізання вузлів

 

З ферми послідовно вирізають вузли. При цьому варто починати з вузла, у якому сходяться не більше двох стрижнів з невідомими зусиллями. Для кожного вузла дія частини, що залишилася, ферми заміняють зусиллями, що діють у розрізаних стрижнях по їхніх осях. Далі розглядається рівновага вирізаного вузла. Складаються два рівняння рівноваги (1.1) і (1.2), з рішення яких визначаються два невідомих зусилля.

Якщо будемо розглядати n вузлів, то одержимо систему з 2 n рівнянь, з якої можна визначити не більше 2 n невідомих. Якщо число невідомих зусиль більше 2 n, то ферма статично невизначена.

Вузли ферми рекомендується нумерувати арабськими цифрами, а зусилля в стрижнях – буквою N_i-j із двома індексами внизу. Індекси відповідають номерам вузлів, які з'єднує розглянутий стрижень. Буквою α_i-j позначають кут між напрямками відповідного зусилля і позитивним напрямком осі Y, відлічений проти годинникової стрілки. Для зовнішніх навантажень і опорних реакцій цей кут позначають відповідно β_i і γ_i.

Перед визначенням зусиль у стрижнях ферми будь-яким способом рекомендується виключити нульові стрижні – стрижні, у яких відсутнє зусилля. Нульові стрижні визначають за наступними правилами:

1. У ненавантаженому двострижневому вузлі обидва стрижні є нульовими (рис. 1.2, а).

а)	б)	в)

 

Рисунок 1.2 – Ознаки нульових стрижнів у фермі

 

2. У ненавантаженому тристрижневому вузлі, у якому осі двох стрижнів розташовані на одній прямій (рис. 1.2, б), третій стрижень є нульовим.

3. Якщо у двострижневому вузлі навантаження діє по напрямку одного зі стрижнів (рис. 1.2, в), інший стрижень – нульовий.

Розглянемо послідовність дій при визначенні зусиль у стрижнях методом вирізання вузлів на прикладі консольної кранової ферми (рис. 1.3).

 

Рисунок 1.3 – Схема консолі кранової ферми

Вирізаємо вузол 1, тому що в ньому сходяться лише два стрижні. Дію відкинутої частини ферми заміняємо зусиллями N_1-2 і N_1-3, які спочатку направляємо від вузла, тому що їхній дійсний напрямок невідомий (рис. 1.4).

Рисунок 1.4 – Вузол 1

 

Складаємо два рівняння статики:

 

;

.

 

Спільне рішення цих рівнянь дозволяє визначити два невідомих: N_1-2 і
N_1-3.

Переходимо до другого вузла, у якому сходяться два невідомих зусилля N_2-3 і N_2-4 і вже відоме N_1-2 зусилля. Вирізуємо вузол 2 (рис. 1.5)

Рисунок 1.5 – Вузол 2

 

і складаємо для нього рівняння рівноваги сил:

 

;

.

 

Спільне рішення цих рівнянь дозволяє визначити сили N_2-3 і N_2-4.

Далі варто вирізати вузол 3, з рішення рівнянь рівноваги якого визначаються сили N_3-4 і N_3-5. Потім вирізує вузол 4 і так далі до вузла 10.

Варіанти індивідуальних завдань по визначенню зусиль у стрижнях ферми методом вирізання вузлів наведені в табл. 1.1.

 

1.2.2 Метод наскрізних перетинів

 

Спосіб вирізання вузлів і діаграма Максвелла-Кремони виявляються незручними, якщо потрібно визначити зусилля в якому-небудь окремому стрижні.

Цей недолік усунутий у методі наскрізних перетинів, що полягає в наступному. Подумки розсікають ферму на дві частини так, щоб у розріз потрапило не більше трьох стрижнів з невідомими зусиллями, причому одне із цих зусиль є невідомим, таким, яке треба визначити. Потім відкидають одну частину ферми (де більше сил), а в іншій докладають невідомі зусилля до розрізаних стрижнів, таким чином, заміняючи дію відкинутої частини ферми. Оскільки напрямок цих зусиль невідомий, то попередньо їх направляють від вузла, тобто вважають що розтягуючими. Потім для розглянутої частини ферми складають одне із трьох рівнянь рівноваги (1.1).

Рівняння вибираємо таким чином, щоб у нього ввійшла тільки одна «невідома» сила, що нас цікавить. Якщо дві інші невідомі сили перетинаються в одній точці, то зручніше за все скласти суму моментів всіх сил щодо цієї точки, що називають моментною точкою або точкою Риттера.

Розглянемо застосування методу перетинів на прикладі консольної ферми, зображеної на рис. 1.3. Нехай потрібно визначити зусилля в стрижні 5-6. Проводимо наскрізний перетин 1-1 і розглянемо рівновагу правої відсіченої частини ферми, замінивши дію лівої, відкинутої частини невідомими зусиллями в розрізаних стрижнях: N_5-7, N_5-6 і N_4-6, як показано на рис. 1.6.

 

 

Рисунок 1.6 – Відсічена частина ферми

 

З рисунку видно, що для стрижня 5-6 є моментна точка, що збігається з вузлом ферми 1, оскільки в цьому вузлі перетинаються осі двох інших стрижнів, що потрапили у перетин 1-1: 5-7 і 4-6. Для визначення зусилля N_5-6 складемо рівняння суми моментів відносно моментної точки:

 

.

 

Звідси знаходимо зусилля:

 

.

 

Плече ρ визначається з геометричних умов аналітично або графічно. Знак мінус говорить про те, що фактичний напрямок зусилля діє до вузла, тобто стрижень 5-6 не розтягнутий, як припускали, а зжатий.

Однак моментна точка не завжди існує, а тому не завжди можна скласти рівняння моментів. Так було б у випадку, якби стрижні 5-7 і 6-4 були паралельні. Тоді складають рівняння суми проекцій сил на координатну вісь, що вибирається перпендикулярною до паралельних стрижнів з невідомими зусиллями.

Варіанти індивідуальних завдань по визначенню зусиль у стрижнях ферм аналітичними методами ті ж, що для графічних методів (див. табл. 1.1). При цьому в нижньому рядку табл. 1.1 зазначені номери стрижнів ферми, у яких треба визначити зусилля аналітичним методом. Отримані значення зусиль необхідно зрівняти з відповідними значеннями тих же зусиль, раніше отриманими графічним методом. Визначити похибку графічного розрахунку у відсотках.

 

2 Визначення зусиль у стрижнях плоских ферм при дії рухомого навантаження за методом ліній впливу

 

2.1 Короткі відомості про метод ліній впливу

 

Дії рухомого навантаження підпадають залізничні і кранові мости, підкранові балки і інші спорудження. Рухоме навантаження являє собою систему паралельних зосереджених сил, відстань між якими залишається незмінною. Таке навантаження в будівельній механіці називають поїздом.

При переміщенні поїзда вздовж спорудження постійно змінюються опорні реакції, внутрішні зусилля в елементах, а також їх деформації. Правильний розрахунок спорудження на міцність, твердість і стійкість стає можливим лише тоді, коли відомий закон зміни зусиль і деформацій.

Для з'ясування цього закону на першому етапі розрахунку не враховують величину і кількість рухливих сил, а також відстані між ними, заміняючи фактичне рухоме навантаження рухливим непомірним одиничним вантажем. При цьому визначають величину фактору, який треба з’ясувати, як функцію розташування одиничного вантажу на спорудженні. Графік, що виражає цю функцію, у будівельній механіці називають лінією впливу.

Якщо такий графік побудований, то подальший розрахунок з визначення невідомого фактору від дії будь-якої системи зосереджених рухливих і нерухомих сил стає виключно простим завдяки використанню принципу суперпозиції (незалежність дії сил). Наприклад, якщо на спорудження діють зосереджені сили Р₁, Р₂, …, P_i, …, P_n, то невідомий фактор Х (опорна реакція, осьова або поперечна сила, момент, що згинає або крутить, прогин або кут повороту та ін.) буде дорівнювати сумі добутків значень цих сил на відповідні їм ординати ліній впливу:

 

,

тобто:

. (2.1)

 

Слід зазначити, що метод ліній впливу дозволяє визначити розрахункові положення системи рухомих навантажень (поїзда) на спорудженні. Розрахунковим називається таке положення рухомого навантаження, при якому фактор, який треба визначити, має найбільш несприятливе значення для міцності, твердості або стійкості спорудження або його елемента. При цьому, якщо лінія впливу має трикутний обрис, то в розрахунковому положенні системи зв'язаних рухливих зосереджених сил одна із сил обов'язково повинна бути над вершиною лінії впливу. Ця сила називається критичною.

Якщо спорудження навантажене рівномірно розподіленим вантажем, то величина фактору, який треба визначити, дорівнює добутку інтенсивного навантаження на площу, обкреслену лінією впливу:

 

. (2.2)

 

2.2 Приклад побудови ліній впливу зусиль у стрижнях
плоскої ферми

 

Нехай треба визначити зусилля в стрижнях ферми мостового крану, розрахункова схема якої показана на рис. 2.1.

 

Рисунок 2.1 – Визначення впливу зусиль у стрижнях ферми мостового крана

Спочатку будуємо лінії впливу опорних реакцій як для простої двоопорної балки.

Лінії впливу зусиль у стрижнях будуємо за загальними правилами побудови ліній впливу, тобто спочатку виводимо аналітичний вираз для зусилля, яке треба визначити, а потім за ним будуємо графік. Оскільки аналітичні вирази для зусиль у стрижнях являють собою лінійні функції, то для побудови графіків досить обчислити ординати двох будь-яких точок.

Для одержання аналітичного виразу найкраще застосувати метод наскрізних перетинів.

Нехай потрібно вивести аналітичний вираз для зусилля в стрижні верхнього поясу N_8-9 (див. рис. 2.1). Тоді проводимо перетин 1-1 й, відкинувши одну частину ферми (де більше сил), до частини, що залишилася, прикладемо розтягуючи сили у розрізаних стрижнях. При цьому бачимо, що для стрижня 8-9 є моментна точка, що збігається з вузлом 7, оскільки в цьому вузлі перетинаються геометричні осі двох інших стрижнів 5-6 і 8-7, що потрапили в перетин 1-1, зусилля в яких в цей момент не визначаються. Розглянемо два положення одиничної сили: праворуч і ліворуч від розрізаної панелі.

Якщо одинична сила перебуває праворуч від розрізаної панелі, то рівняння суми моментів відносно моментної точки для лівої відсіченої частини буде виглядати таким чином:

 

,

 

звідки

. (2.3)

 

Якщо одинична сила перебуває ліворуч від розрізаної панелі, то рівняння суми моментів для правої відсіченої частини буде виглядати таким чином:

,

звідки

. (2.4)

 

З отриманих аналітичних виразів для зусилля в стрижні 8-9 виходить, що це зусилля дорівнює добутку змінної опорної реакції (А або В) на постійний множник 4 a/h. Оскільки опорні реакції визначаються лінійними функціями координати одиничного вантажу, то лінія впливу зусилля N_8-9, яку треба визначити буде складатися із двох пересічних прямих, причому пряма, побудована за аналітичним виразом (2, 3), дійсна при знаходженні одиничної сили праворуч від розрізаної панелі, а пряма, побудована за виразом (2.4) – ліворуч від неї. У межах розрізаної панелі лінія впливу являє собою перехідну пряму, що з'єднує крайні ординати.

Для побудови лінії впливу в стрижні нижнього поясу скористаємося тим же перетином 1-1. Точка Риттера тепер буде знаходитися у вузлі 8. При одиничній силі праворуч маємо

 

,

 

звідки (стрижень розтягнутий).

 

При одиничній силі ліворуч від розрізаної панелі маємо

 

,

 

звідки (стрижень розтягнуть)

 

Слід зазначити, що як для N_8-9, так і для N_5-7 права і ліва частини ліній впливи перетинаються по точках Риттера. Це не є випадковим і виходить з побудови. Дійсно, при побудові ліній впливу були проведені дві прямі (див. рис. 2.2), з яких права маєте тангенс кута підйому , а ліва , де а і b – відстані від точки Риттера до кінців ферми.

 

 

Рисунок 2.2 – Особливість ліній впливу зусиль у паралельних поясних стрижнях

 

Визначимо ординати під точкою Риттера для правої і лівої гілок лінії впливу

 

;

.

 

Виходить, h_m=h_mn=h_nλ є загальною ординатою і перебуває під моментною точкою.

Перейдемо до побудови лінії впливу зусилля в розкосі N_8-7
(див. рис. 2.1). Для цього стрижня моментна точка відсутня або, точніше, перебуває в нескінченності. Тому умову рівноваги запишемо як суму проекцій на вертикальну вісь.

При знаходженні одиничної сили праворуч від розрізаної панелі умова рівноваги лівої відсіченої частини

 

,

 

звідки (стрижень розтягнутий).

 

При знаходженні одиничної сили ліворуч від розрізаної панелі умова рівноваги правої відсіченої частини

,

 

звідки (стрижень зжатий).

У межах розрізаної панелі з'єднуємо крайні ординати перехідної прямої.

Для розкосів 4-5 і 1-4 моментною точкою буде точка перетинання осей стрижнів 2-4 і 1-3, тобто точка «О».

Побудуємо лінію впливу для зусилля в розкосі N_4-5, використовуючи наскрізний перетин 2-2.

При одиничній силі праворуч

 

,

 

звідки (стрижень розтягнутий).

При одиничній силі ліворуч

 

,

 

звідки (стрижень зжатий).

У цьому випадку другого рівняння можна було б не складати, а провести пряму через точки n і m. Точка m перебуває під точкою Риттера.

Щоб побудувати лінію впливу зусилля в стійці 6-5 розглянемо прилягаючі до неї стрижні верхнього поясу 4-6 і 6-8 як балки, що опираються на вузли 4, 6, 8. Зусилля в стійці, яке треба визначити, буде дорівнювати реакції балки у вузлі 6. Таким чином, зусилля в стійці N_6-5 з'являється тільки тоді, коли одинична сила переміщається в межах двох верхніх панелей, що примикають до стійки 6-5. Якщо одинична сила перебуває над стійкою, то зусилля N_6-5 = –1. У межах сусідніх панелей зусилля міняється за лінійним законом. Аналогічно будуються лінії впливу для інших стійок, крім стійок
3-4 і 13-14, які є нульовими стрижнями (див. рис. 1.2).

2.3 Приклади визначення розрахункових зусиль у стрижнях ферми від фактичних навантажень по лініях впливу

 

Нехай ферма навантажена: двома зв'язаними рухливими силами – Р₁ і Р₂ (Р₁ > P₂), нерухомими зосередженими силами Р₃, Р₄ і рівномірно розподіленим навантаженням по всій довжині інтенсивністю q. У цьому випадку розрахунковими зусиллями в стрижнях повинні бути максимальні зусилля, які виникають при відповідних положеннях рухомого навантаження. Ці положення називаються розрахунковими і визначаються за певними правилами або шляхом послідовної установки кожної рухливої сили над вершиною лінії впливу. При цьому для стрижнів, у яких зусилля міняє знак (у цьому випадку в розкосах), необхідно розглядати два розрахункових положення: положення, при якому стискаюча сила є максимальною та положення, при якому розтягуючи сила є максимальною. Встановлення рухомого навантаження в розрахункове положення разом з додаванням всіх нерухомих навантажень називається в будівельній механіці завантаженням лінії впливу.

Визначимо розрахункове зусилля в поясному стрижні 8-9
(див. рис. 2.1). для цього скористаємося формулами (2.1) і (2.2):

 

,

 

де ординати лінії впливу Y₁, … Y₄ і площа ω_8-9 визначається шляхом геометричних розрахунків

;

;

;

;

.

 

Аналогічно визначаються розрахункові зусилля в інших стрижнях. Слід зазначити, що площа ліній впливу для розкосів визначається окремо для позитивної і негативної гілок і потім підсумовується алгебраїчно.

Варіанти індивідуальних завдань на побудову ліній впливу і визначення розрахункових зусиль у стрижнях пласкої ферми дані в табл. 2.1.

 

Таблиця 2.1 – Варіанти індивідуальних завдань на побудову ліній впливу і визначення розрахункових зусиль у стрижнях пласкої ферми

Варіант	№ схеми	d, м	b, м	Рухоме навантаження	Нерухоме зосереджене навантаження, кН №№ вузлів докладання	Розподілене навантаження q, кН/м	№ стрижня для визначення зусилля
Р1	Р2	Р3	№	Р4	№
		2,5	2,0			5,0		6,0		0,5	4-5 5-6 5-7
		1,6	1,0			7,0		5,0		0,3	2-3 2-4 1-3
		2,0	1,0					8,0		0,1	4-6 5-6 5-7
		1,5	1,0			6,0		4,0		0,2	6-8 7-10 8-7
		1,2	0,8			3,0		2,0		0,9	4-6 4-7 5-7
		3,0	2,0			5,0		3,5		0,6	2-4 2-3 1-3
		3,5	2,2			6,5		5,4		0,7	6-8 7-8 7-9
		1,0	0,5			7,2		6,1		0,4	2-4 2-3 1-3
		1,4	0,7					8,5		0,5	3-5 4-6 4-5
		1,5	1,0							0,2	3-5 3-6 5-6
		2,0	1,4			5,0		4,5		0,9	1-2 1-3 2-3
		1,8	1,2			4,0		3,5		0,3	3-4 2-3 1-2
		1,5	1,0			5,5		4,6		0,8	2-4 2-3 1-3

Продовження таблиці 2.1

Варіант	№ схеми	d, м	b, м	Рухоме навантаження	Нерухоме зосереджене навантаження, кН №№ вузлів докладання	Розподілене навантаження q, кН/м	№ стрижня для визначення зусилля
Р1	Р2	Р3	№	Р4	№
		1,8	1,3							0,9	3-4 3-5 4-6
		3,0	1,5							1,0	2-4 2-3 1-3
		2,0	1,0							1,1	4-5 3-4 3-5
		3,5	2,0							1,2	3-5 4-5 4-6
		3,0	1,4							0,4	5-6 5-7 4-6
		2,1	1,6							0,6	5-6 6-7 6-8
		2,5	1,8							0,9	1-1 1-3 2-3
		6,0	3,0							0,1	6-8 7-8 7-9
		5,0	2,0							0,3	2-4 3-5 2-5
		4,0	2,0							0,9	10-12 9-10 7-9
		2,0	1,0							1,3	3-5 4-6 4-5
		1,2	0,6							1,5	6-8 5-8 5-7
		2,0	1,2							2,0	8-10 8-9 9-9

 

3 Розрахунок металоконструкцій за розрахунковою схемою
«статично невизначена рама» методом сил і методом переміщень

 

3.1 Особливості статично невизначених рам

 

Під розрахунковою схемою «рама» розуміється стрижнева система, геометрична незмінність якої досягається за рахунок твердого з'єднання кінців стрижнів у вузлах. Якщо подумки тверді вузли рами замінити шарнірами, то вона перетворюється в механізм. Рама називається статично невизначеною, якщо опорні реакції або внутрішні силові фактори в стрижнях не можуть бути визначені з одних рівнянь статики. Надлишок невідомих сил понад число рівнянь статики називають зайвими невідомими.

Зайві невідомі сили з'являються тоді, коли рама має зайві зв'язки – зовнішні і внутрішні. У першому випадку говорять, що система зовні статично невизначена, у другому – внутрішньо статично невизначена.

Число зайвих зв'язків не завжди збігається із числом зайвих невідомих, підлягаючому визначенню при розрахунках. Число зайвих невідомих залежить від методу розрахунку. Розходження методів розрахунку статично невизначеної системи полягає в принципах, покладених в основу складання додаткових рівнянь, необхідних для визначення зайвих невідомих.

У лекціях розглядалися два основних методи розрахунку статично невизначених систем:

- метод сил, коли за невідомі в додаткових рівняннях прийняті сили (моменти);

- метод переміщень (деформацій), коли за невідомі приймаються пружні переміщення системи (кутові і лінійні).

Розглянемо застосування обох методів на конкретному прикладі.

 

3.2 Розрахунок рам кранової естакади методом сил

 

Метод сил реалізується в наступній послідовності [3, 4]:

- установлюють ступінь статичної невизначеності;

- вибирають основну систему, замінивши відкинуті зайві зв'язки невідомими силами Х₁, Х₂, Х₃, …, Х_n;

- навантажують основну систему заданим зовнішнім навантаженням;

- послідовно навантажують основну систему одиничними силами, докладеними замість зайвих невідомих;

- становлять додаткові рівняння (канонічні рівняння), зміст яких полягає в тому, що сумарні переміщення точок докладання зайвих невідомих сил у напрямку їхньої дії, викликані заданим зовнішнім навантаженням і невідомими силами, дорівнюють нулю;

- обчислюють коефіцієнти і вільні члени канонічних рівнянь, наприклад, способом перемножування епюр за правилом Верещагіна;

- вирішують систему канонічних рівнянь і визначають невідомі Х₁, Х₂, Х₃, …, Х_n;

- визначають повні зусилля в перетинах заданої рами, викликані зовнішнім навантаженням і зайвими невідомими, на основі принципу незалежності дії сил за формулами

 

. (3.1)

. (3.2)

. (3.3)

 

Для підкранової естакади прийнята наступна розрахункова схема
(рис. 3.1).

 

Рисунок 3.1 – Розрахункова схема підкранової естакади

Для стійки і ригеля використаний двотавр №30М (балки для підвісних колій), для якого F =63,9 см; I_x =9400 см⁴; W_x =627 см³; I_x =492 см⁴;
W_у =75,4 см³; I₁ = I₂ = I_x =9400 см⁴; l₁ =15 м; l₂ =10 м; h =4 м; G =25 кН.

За методом сил система три рази зовні статично невизначена. Основну систему одержуємо шляхом відкидання «зайвих зв'язків». Залежно від того, які зв'язки прийняті за зайві, можливо кілька варіантів основної системи (рис. 3.2, а, б, в).

 

а)	б)	в)

 

Рисунок 3.2. Варіанти основної системи за методом сил

 

Приймаємо основну систему за варіантом рис. 3.2, б. Заміняючи відкинуті зайві зв'язки невідомими зусиллями і прикладаючи задане зовнішнє навантаження, одержимо так називану еквівалентну систему (рис. 3.3).

Рисунок 3.3 – Еквівалентна система за методом сил

 

Складаємо канонічні рівняння методу сил:

. (3.4)

 

Для визначення коефіцієнтів, які входять в ці рівняння і вільних членів будуємо епюри від одиничних сил і від зовнішніх навантажень, які показано на рис. 3.4, а, б, в, г.

Перемножуючи між собою за правилом Верещагіна епюри на рис. 3.4,

 

а)	б)
в)	г)

 

 

Рисунок 3.4 - Епюри від одиничних сил і від заданого навантаження (побудовані з боку розтягнутих волокон)

 

обчислюємо коефіцієнти і вільні члени канонічних рівнянь, при цьому використаємо готові формули по табл. 3.1.

Наведемо приклад розрахунку статично невизначеної системи на рис. 3.3 за допомогою математичного пакета MathCAD.

Таблиця 3.1 – Готові формули перемножування епюр за правилом Верещагіна

 

Епюра М Епюра Мк

 

Результуюча епюра згинальних моментів показана на рис. 3.5.

Рисунок 3.5 – Результуюча епюра згинальних моментів за методом сил і епюра від Х3=1 (для виконання перевірки)

 

Для перевірки правильності обчислень перемножимо за правилом Верещагіна результуючу епюру з будь-якою одиничною, при цьому результат повинен дорівнювати нулю, тому що це є переміщення в напрямку відкинутого зв'язку, що є неможливим, наприклад з Х₃ =1:

 

 

Погрішність розрахунку складає

 

.

 

3.3 Короткі відомості про метод переміщень

 

У ряді випадків розрахунок рамних конструкцій значно спрощується, якщо за невідомі прийняти не зусилля, а лінійні і кутові переміщення вузлів рами. Після визначення таких переміщень далі не важко знайти всі необхідні зусилля. Такий метод розрахунку називається методом переміщень або методом деформацій.

Мірою кутового переміщення є кут повороту вузла рами. При цьому при повороті вузла кути між стрижнями рами не змінюються. При розрахунку переміщень зневажають впливом поздовжніх і поперечних сил на деформацію стрижнів рами. Таким чином, не враховують зближення кінців стрижнів при їхньому вигині.

Число невідомих переміщень визначається як сума:

 

 

де n_y – число кутових переміщень

n_λ – число лінійних переміщень

Число невідомих кутових переміщень n_y дорівнює числу твердих незакріплених вузлів рами (твердим уважається вузол, у якому кінці мінімум двох стрижнів жорстко зв’язані між собою). При підрахунку твердих вузлів не включаються ті вузли, переміщення яких задані, наприклад опорні тверді закріплення.

Кількість невідомих лінійних переміщень n_λ дорівнює ступеню геометричної змінюваності системи, отриманої із заданої шляхом введення в усі тверді вузли (включаючи опорні) шарнірів, тобто n_λ дорівнює мінімально необхідній кількості зв'язків, які необхідно накласти на шарнірну систему для перетворення її в геометрично незмінну.

Для одержання основної системи методу переміщень необхідно, по-перше, в усі жорсткі вузли заданої системи ввести закладення, що перешкоджають їхньому повороту, і, по-друге, увести опорні стрижні, які запобігають лінійним зсувам вузлів. Основну систему можна розглядати як сукупність декількох статично невизначених балок.

Канонічні рівняння методу переміщень мають вигляд

 

. (3.5)

 

У цих рівняннях невідомі Z₁, Z₂, Z₃, … Z_n являють собою кути повороту або лінійні зсуви вузлів. Коефіцієнти при невідомих являють собою реактивні моменти в закладеннях або реакції в опорних стрижнях основної системи, викликані одиничними зсувами. Вільні члени являють собою реактивні моменти в закладеннях або реакції у вузлових стриженьках основної системи, викликані заданим навантаженням.

Фізичний зміст канонічних рівнянь (3.5) полягає в тому, що сумарні реакції в штучно накладених зв'язках (вузлових закладеннях і опорних стрижнях), викликані заданим навантаженням і переміщеннями Z₁, Z₂, Z₃, … Z_n, дорівнюють нулю, тому що в реальній системі ці зв'язки відсутні.

Для визначення коефіцієнтів канонічних рівнянь необхідно побудувати епюри згинальних моментів в основній системі окремо від заданого навантаження і від кожного одиничного переміщення: Z₁= 1, Z₂= 1…... При цьому користуються таблицями готових рішень для статично невизначених балок (табл. 3.2).

Таблиця 3.2. Таблиця готових рішень для балок

 

№ з/п	Схеми балок	Епюри згинальних моментів і реакцій опор	Формули
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

 

Коефіцієнти, що являють собою реактивні моменти в штучних закладеннях, визначаються шляхом вирізання вузлів основної системи і складання для них рівняння рівноваги ∑М =0. Коефіцієнти, що представляють собою реакції в штучно доданих опорних стриженьках, визначають, розрізаючи основну систему і складаючи рівняння рівноваги: ∑X =0, ∑Y =0. Реакції вважаються позитивними, якщо їхній напрямок збігається з напрямком повороту або лінійного зсуву вузла.

Визначивши шляхом рішення системи канонічних рівнянь невідомі переміщення Z₁, Z₂, Z₃, … Z_n, знаходять зусилля в елементах і будують епюри M, Q і N. Згинальні моменти у вузлах визначають, підсумовуючи відповідні значення моментів від навантаження і від обчислених переміщень

 

. (3.6)

 

Поперечні сили визначаються залежно від згинальних моментів за формулою

 

. (3.7)

 

де Q₀ – поперечна сила у відповідному перетині балки прольотом l_n, що вільно лежить на опорах;

M_n, M_n+1 – вузлові моменти.

Поздовжні сили визначаються залежно від поперечних сил з рівнянь рівноваги вузлів рами.

 

3.4 Розрахунок рами кранової естакади методом переміщень

 

Задана система та ж, що і за методом сил, зображена на рис. 3.1. Кількість відомих кутів повороту дорівнює одиниці: n_y =1. Лінійні переміщення відсутні: n_λ =0, що видно з рис. 3.6, де показана рама, що розраховується після встановлення шарнірів у тверді вузли. Таким чином, загальна кількість невідомих переміщень дорівнює одиниці: n_y =1.

 

 

Рисунок 3.6 – Рама, що, розраховується після встановлення у тверді вузли шарнірів

 

Основну систему одержуємо шляхом накладення на вузол 1 закладення, як показано на рис. 3.7.

 

 

Рисунок 3.7 – Основна система за методом переміщень

 

Складаємо канонічне рівняння:

 

.

 

Будуємо в основній системі епюри згинальних моментів від одиничного переміщення Z₁= 1 і заданого навантаження, використовуючи таблицю готових рішень для балок (див. табл. 3.2). Епюри показані на рис. 3.8 і 3.9.

 

 

Рис. 3.8. Епюри згинальних моментів в основній системі від Z1=1

 

 

Рис. 3.9. Епюра згинальних моментів в основній системі від заданого навантаження

Для визначення коефіцієнта γ₁₁ вирізаємо вузол 1 в одиничному стані (рис. 3.10, б), якому відповідають епюри на рис. 3.8.

 

а)	б)

Рисунок 3.10 – До визначення коефіцієнтів і вільних членів за методом переміщень

 

З рівняння рівноваги вузла 1 отримуємо:

 

;