Подготовка к контрольной работе по теме «Производная и дифференциал».
Теоретический материал.
| Производная | |||
 (C–const)
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Дифференцирование неявных функций.
Чтобы найти производную функции 
(или 
), которая неявно задана соотношением F(x,y)=0, дифференцируем обе части равенства по независимой переменной x (или y), считая другую переменную функцией от неё, применяя формулу дифференцирования сложной функции. В результате получаем уравнение относительно искомой производной, разрешая его, получаем производную в неявной форме.
Прием логарифмического дифференцирования. 
.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
Дифференцирование параметрических функций
, т.е. 
.
Уравнение касательной к кривой 
в точке 
: 
.
Уравнение (соответствующей) нормали: 
.
Производные и дифференциалы высших порядков.
. 
.
. 
.
Примеры.
Пример 1. 
.
Пример 2. Правило дифференцирования сложной функции: 
.
.
Пример 3. Найти производную 
неявно заданной функции 
.
Дифференцируем равенство, считая, что x - независимая переменная, а у функция от х: 
. Раскроем скобки, оставим в правой части слагаемые, содержащие : 
. Выразим из этого уравнения искомую производную: 
или 
.
Пример 4.Найти производную функции.
Прологарифмируем функцию: 
. Дифференцируем обе части равенства по x: 
. Из этого уравнения находим: 
.
Пример 5. Найти производные 1-го и 2-го порядка циклоиды 
.
. Аналогично: 
.
Пример 6. Составить уравнения касательной и нормали к кривой 
в точке 
.
Находим: 
, 
- уравнение нормали.
Пример 7. Найти производную и дифференциал 3-го порядка функции 
.
Находим: 
.
№1
1. Найти производные функций: а)  ,
б)  , в)  , г)  ,
д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке  .
3. Найти дифференциал 2–го порядка  , если  .
| №2
1. Найти производные функций: а)  ,
б)  , в)  ,
г)  , д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке  .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если  .
|
№3
1. Найти производные функций: а)  , б)  , в)  , г)  , д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке  .
3. Найти дифференциал 2–го порядка  , если  .
| №4
1. Найти производные функций: а)  ,
б)  , в)  ,
г)  , д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке  .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если  .
|
№5
1. Найти производные функций: а)  ,
б)  , в)  ,
г)  , д)  .
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке  .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если  .
| №6
1. Найти производные функций: а)  ,
б)  , в)  ,
г)  , д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке  .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если  .
|
№7
1. Найти производные функций: а)  ,
б)  , в)  ,
г)  , д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если  .
| №8
1. Найти производные функций: а)  ,
б)  , в)  ,
г)  , д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если  .
|
№9
1. Найти производные функций: а)  ,
б)  , в)  , г)  ,
д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если  .
| №10
1. Найти производные функций: а)  ,
б)  , в)  ,
г)  , д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке  .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если  .
|
| №11
1. Найти производные функций: а) , б) , в) , г) , д)
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .
| №12
1. Найти производные функций: а) ,
б) , в) ,
г) , д)
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .
|
| №13
1. Найти производные функций: а) ,
б) , в) ,
г) , д) .
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .
| №14
1. Найти производные функций: а) ,
б) , в) ,
г) , д)
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .
|
№15
1. Найти производные функций: а) ,
б) , в) ,
г) , д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если .
| №16
1. Найти производные функций: а)  ,
б)  , в)  ,
г)  , д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если.  .
|
№17
1. Найти производные функций: а)  ,
б)  , в)  , г)  ,
д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке  .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если  .
| №18
1. Найти производные функций: а)  ,
б)  , в)  ,
г)  , д) 
2. Составить уравнения касательной и нормали к кривой  в точке  .
3. Найти дифференциал 2–го порядка , если  .
|
