Довірчий інтервал для генерального середнього при відомій генеральної дисперсії

Нехай Х – генеральна сукупність, що підкоряється нормальному закону розподілу; – відома генеральна дисперсія; – вибірка з гене­ральної сукупності об’єму п; - вибіркове середнє. Потрібно знайти довірчий інтервал для генерального середнього а із заданим рівнем надійності .

Шуканий довірчий інтервал знаходиться за формулою:

, (1.18)

де значення знаходиться з таблиці (табл.) або за допомогою вбудованої функції Excel НОРМСТОБР(). Величина є шириною довірчого інтервалу.

Таблиця Значеннь

	0,4	0,25	0,2	0,15	0,1	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001
	0,253	0,675	0,842	1,036	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	3,090

Довірчий інтервал для генерального середнього при невідомій дисперсії

Нехай Х – генеральна сукупність, що підкоряється нормальному закону розподілу; генеральна дисперсія невідома; – вибірка з генеральної сукупності об’єму п; - вибіркове середнє; S – вибіркове середнє квадратичне відхилення. Потрібно знайти довірчий інтервал для генерального середнього а із заданим рівнем надійності .

Шуканий довірчий інтервал знаходиться за формулою:

, (1.19)

де значення знаходиться з таблиці розподілу Стьюдента, яка є у будь-яких статистичних довідниках, або за допомогою вбудованої функції Excel СТЬЮДРАСПОБР(, п -1). Величина є шириною довірчого інтервалу.

Довірчий інтервал для генеральної частки

В прикладних дослідженнях часто потрібно визначити частку об’єктів, що мають певну властивість.

Частка об’єктів генеральної сукупності, що має певну властивість, називається генеральною часткою. Частка об’єктів вибірки, що має певну властивість, називається вибірковою часткою.

Нехай Х – генеральна сукупність, що підкоряється нормальному закону розподілу; – вибірка з генеральної сукупності об’єму п; т – кількість елементів вибірки, що мають задану властивість; – вибіркова частка. Потрібно знайти довірчий інтервал для генеральної частки W із заданим рівнем надійності .

Шуканий довірчий інтервал знаходиться за формулою:

, (1.20)

де значення знаходиться з таблиці 1.16 або за допомогою вбудованої функції Excel НОРМСТОБР(). Величина є шириною довірчого інтервалу.

Зауваження. Формула (1.20) використовується тоді, коли .

Шкали вимірювань

Статистичній обробці підлягають тільки ті ознаки об’єктів або фактори, які можна виміряти за деякою шкалою. Існують такі шкали вимірювань:

- шкала найменувань (класифікації);

- шкала порядку;

- шкала інтервалів;

- шкала відношень.

Шкала найменувань (класифікації)

Якщо дані вимірюються за шкалою найменувань, то над ними можливі тільки такі операції порівняння, як „рівні” або „не рівні”. Найменування слугує тільки для ідентифікації певного об’єкту – номер філіалу деякої фірми, номер методики навчання і т. ін.

Шкала порядку

Якщо дані вимірюються за шкалою порядку, їх можна порівняти за величиною – „більше”, „менше” або „рівні”. За такою шкалою вимірюються, наприклад, експертні оцінки, вік респондентів і т. ін.

Шкала інтервалів

Якщо дані вимірюються за шкалою інтервалів, їх можна порівняти за величиною – „більше”, „менше” або „рівні”, – та виконати операції додавання і віднімання, тобто визначити, наскільки більше або наскільки менше. Прикладом є шкали вимірювання температури.

Шкала відношень

Якщо дані вимірюються за шкалою відношень, їх можна порівняти за величиною та виконати всі арифметичні операції: додавання, віднімання, множення і ділення. За такою шкалою вимірюються вага, довжина, доход, об’єм виробництва і т. ін.

Від шкали вимірювання даних залежить можливість обчислити числові характеристики (табл. 1.17) і застосовувати певний статистичний метод.

Таблиця 1.17

Шкали вимірювань і числові характеристики

Назва шкали	Числові характеристики
Найменувань	Частоти
Порядку	Частоти, середнє, мода, медіана
Інтервалів	Частоти, середнє, мода, медіана, дисперсія
Відношень	Всі відомі

Завдання

1.1. Відомі дані про безаварійну роботу автоматизованого комплексу (в місяцях) (табл. 1.1). Побудувати статистичний ряд за даними вибірки, визначити середній час безаварійної роботи, дисперсію і середнє квадратичне відхилення часу. Побудувати полігон частот і гістограму.

Таблиця 1.1

0,000	0,000	0,002	0,006	0,023	0,084	0,382	0,810	0,003	0,864
1,033	0,912	0,093	0,324	0,194	0,522	2,336	0,057	0,654	0,250
0,877	0,276	0,037	0,537	0,183	1,306	0,752	0,198	1,623	0,875
0,185	0,274	0,613	0,356	0,645	0,676	1,079	0,500	0,902	0,191
0,250	0,348	0,320	0,182	0,458	0,936	1,204	0,576	0,303	0,522

 

1.2. Інтервал між потягами у метро складає 3 хв. В таблиці 1.2 надано час очікування пасажирами потягу. Скласти інтервальний статистичний ряд, знайти середній час очікування, медіану, дисперсію і середнє квадратичне відхилення часу. Побудувати функцію розподілу величини Х – часу очікування.

 

Таблиця 1.2

0,787	1,004	0,941	0,612	1,200	1,692	1,354	0,908	1,245	1,292
0,617	0,828	1,413	1,030	1,459	2,483	2,769	1,563	2,661	1,635
1,654	0,838	1,143	0,618	2,317	1,853	1,555	0,653	1,922	1,653
1,747	2,677	0,341	2,952	0,545	1,297	1,981	0,214	2,452	2,087
0,001	0,007	0,025	0,312	1,068	2,604	0,014	0,045	2,340	2,001

 

1.3. Відомі дані про інтервал часу між появою покупців у касовому залі деякого магазину (табл. 1.3). Побудувати інтервальний статистичний ряд, знайти всі можливі числові характеристики. Побудувати графіки функції і щільності розподілу величини Х – інтервалу часу.

Таблиця 1.3

0,002	1,004	0,007	0,612	0,091	1,692	1,527	0,908	2,590	1,292
4,134	3,647	0,374	2,150	0,778	5,223	3,344	2,001	3,492	4,011
3,507	0,838	0,148	0,618	0,704	1,853	3,007	0,653	3,600	1,653
0,738	1,069	2,453	1,447	2,614	3,742	4,314	1,211	1,949	5,001
1,000	0,007	1,272	0,312	1,832	2,604	2,267	0,045	4,450	2,001

 

1.4. В таблиці 1.24 наведено значення прибутку 50 фірм, що належать одній корпорації (в 1000 у. од.). Знайти середнє значення прибутку, дисперсію і середнє квадратичне відхилення. Побудувати полігон частот і гістограму.

Таблиця 1.4

4,744	9,127	7,201	8,650	11,534	9,013	10,390	9,268	7,354	10,255
6,232	6,739	6,088	8,671	15,103	9,124	11,902	10,216	10,954	11,470
7,351	9,832	7,126	9,715	10,744	10,687	10,582	12,271	11,047	13,190
5,536	8,917	9,823	8,383	14,212	15,031	13,001	11,089	12,091	10,321
9,766	5,854	2,917	6,379	6,748	7,024	11,587	11,101	10,954	10,387

 

 

1.5. Відомі дані про річний об’єм виробництва (тис. т) підприємств цементної промисловості (табл. 1.25). Побудувати інтервальний статистичний ряд, полігон частот і гістограму. Знайти всі можливі числові характеристики.

 

Таблиця 1.25

11,240	18,545	17,750	22,560	18,355	20,424	20,650	10,780	15,590
13,720	28,505	23,170	20,360	22,450	21,590	14,565	24,295	25,140
27,655	17,786	27,045	28,650	18,670	31,445	18,540	15,598	19,720
15,230	21,240	19,535	12,934	18,195	19,074	17,037	19,610	20,970
22,075	15,090	20,754	10,195	13,580	21,490	13,987	22,645	21,218

 

1.6. При формуванні портфелю поставок для фірми було обрано 100 поставщиків, які працювали із фірмою у минулому році. Знайти довірчий інтервал для долі поставщиків, що несвоєчасно здійснюють поставки на рівні надійності 0,999, якщо у вибірці таких 25.

1.7. Відомі дані про розмір вкладів в банку (табл. 1.7). Знайти з надійністю 0,96 довірчий інтервал для середнього розміру вкладу.

Таблиця 1.7

Розмір вкладу (тис. грн.)	10-30	31-50	51-70	71-90	91-110	111-130
Кількість вкладчиків

 

1.8. В результаті вимірювання продуктивності праці 150 робітників виявилося, що середня продуктивність дорівнює 256 од. продукції за зміну, а середнє квадратичне відхилення – 4,56. Знайти довірчий інтервал для вибіркового середнього з надійністю 0,99.

 

1.9. З 3000 одиниць продукції було перевірено 40%. Серед них виявлено 90% одиниць продукції першого сорту. Знайти довірчий інтервал, в якому з надійністю 0,99 знаходиться доля продукції першого сорту.

 

1.10. Серед 5000 автомобілів працівниками ДАІ було перевірено 600, серед яких виявлено 460 з різного роду несправностями. Знайти з надійністю 0,95 долю несправних автомобілів.

 

1.11. Автомат фасує цукор в пакети. Проведено вибірку п пакетів (табл. 1.27). Середня вага цукру виявилася рівною , вибіркове стандартне відхилення S. Знайти довірчий інтервал для середньої ваги цукру з надійністю , якщо:

1) стандартне відхилення автомата кг;

2) стандартне відхилення автомату невідоме.

Знайти об’єм вибірки, необхідний для того, щоб ширина довірчого інтервалу дорівнювала .

 

Таблиця 1.27

№ варіанта		п				S
	0,99		0,01	0,10	0,95	0,05
	0,98		0,07	0,15	0,99	0,10
	0,97		0,03	0,18	0,95	0,04
	0,96		0,06	0,12	0,99	0,08
	0,95		0,09	0,19	0,95	0,02
	1,01		0,02	0,11	0,99	0,09
	1,02		0,08	0,13	0,95	0,06
	1,03		0,04	0,16	0,99	0,03
	1,04		0,10	0,14	0,95	0,07
	1,05		0,05	0,17	0,99	0,01