15.1 Расстояние до 
Cen -- это 4/3 пк, или 
а.е. Поэтому Земля проходит такой путь за 
лет. Но это -- характерное расстояние между звездами в окрестности Солнца, а орбитальная скорость Земли 30 км/с -- того же порядка, что и пространственные скорости пекулярных движений звезд. Значит, относительное расположение близких звезд в пространстве, а потому и вид звездного неба как раз и меняется за такое время, т.е. за десятки тысяч лет.
15.2 Параллактический эллипс звезды имеет большую и малую полуоси, отношение которых 
, где 
-- эклиптическая широта звезды. Эксцентриситет 
. Дева -- зодиакальное созвездие, и значит, у Спики ( Vir) близко к нулю. Эксцентриситет почти равен единице, т.е. параллактический эллипс вырождается в отрезок. Далее, поскольку угол наклона эклиптики к экватору 
, а Полярная находится рядом с северным полюсом мира, ее эклиптическая широта 
, откуда 
.
15.3 Тангенциальная скорость звезды 
, выраженная в км/с, связана с ее собственным движением 
(угл. сек./год) следующим образом:
где r -- расстояние до звезды в парсеках, т.е. величина, обратная параллаксу 
(в секундах дуги). Коэффициент пропорциональности 4.74 в этой формуле -- это множитель, переводящий скорости из а.е./год в км/с. Действительно, мы имеем 
, так что 
. Для "летящей звезды Барнарда" находим
15.4 Мы имеем 1а.е./год = 4.74 км/с 
км/с. Поэтому наша звезда проходит за год путь в 
а.е. С расстояния в 10 пк этот путь будет виден под углом 1". Следовательно, 
угл. сек./год.
15.5 Известно, что абсолютная звездная величина в полосе V равна нулю для звезд главной последовательности поздних подклассов B, примерно B7 -- B8. Мы не сильно ошибемся, приняв ее равной нулю и для звезд спектрального класса A0V. Так как видимая звездная величина Веги тоже близка к нулю, то в соответствии с определением абсолютной величины можно сделать вывод, что Вега находится на расстоянии около 10пк и, следовательно, ее параллакс порядка 
.
На самом деле для Веги 
, и поэтому она находится немного ближе. Однако из формулы
ясно, что ошибка на 0.5 
в абсолютной величине дает поправку к 
, равную лишь 0.1, т.е. множитель 0.8 в самом расстоянии r. И действительно, расстояние до Веги составляет 8.1 пк.
15.6
Сверхновая вспыхнула около 950 лет назад (точнее, порожденное взрывом излучение достигло Земли 950 лет назад), а скорость расширения туманности 1200 км/с. Поэтому характерный линейный размер современного Краба 
км, или 1 пк. Соответствующий угловой размер составляет 
рад. Отсюда расстояние 
кпк (на самом деле -- чуть больше, около 2 кпк).
15.7 Равенство периодов цефеид влечет равенство светимостей. Поэтому разность видимых звездных величин обусловлена только разностью расстояний 
. Последняя не превосходит диаметра туманности Андромеды, который по порядку величины равен диаметру нашей Галактики: 
кпк. Разность звездных величин вычислим по формуле задачи :
Здесь мы молчаливо приняли, что галактика M31 видна почти с ребра. Это действительно так (см. задачу ).
Разность в 
слишком мала, чтобы по ней можно было бы уверенно сказать, которая из цефеид ближе к нам.
15.8 Поскольку пять звезд, о которых идет речь, расположены близко друг к другу на небе, схожи по блеску и цвету и обладают практически одинаковыми собственными движениями и лучевыми скоростями, естественно предположить, что они образуют группу пространственно близких звезд. Фактически они являются членами одного рассеянного скопления и потому находятся примерно на одном и том же расстоянии от нас. Для оценки этого расстояния заметим прежде всего, что звезды ковша белые, их спектральный класс близок к A0. Поэтому их абсолютная величина должна быть близка к нулю (см. задачу ). Видимая же их величина примерно 
-- звезды ковша яркие. Из формулы
при M =0 и m =2 находим, что 
, откуда 
пк.
Мы получили очень хорошую оценку расстояния. И на самом деле расстояние "до ковша" -- 25 пк.
15.9 Источники УН-диапазона либо являются близкими (расстояния до 
пк), либо находятся на космологических расстояниях (последняя возможность имеется только в том случае, если Галактика прозрачна для УН-излучения). Расстояния до ИН-источников -- сотни парсек или несколько килопарсек (но заметно меньше расстояния до центра Галактики).
В течение тридцати лет астрономы время от времени фиксировали со спутников кратковременные всплески 
-излучения. Всего было зарегистрировано более 3000 таких событий. Распределение источников -всплесков по небу оказалось более или менее равномерным -- как и у выдуманных нами источников УН-диапазона. Все тридцать лет шла дискуссия о том, являются ли источники -всплесков близкими или, наоборот, очень далекими ("космологическими") объектами. В мае 1997 г. проблема была, наконец, решена, когда один из -всплесков был надежно отождествлен с далеким внегалактическим объектом (параметр красного смещения z = 0.84). Оказалось, что -всплески -- это самые мощные из всех взрывов, которые до сих пор наблюдались во Вселенной (Большой Взрыв -- не в счет, наблюдаются лишь его последствия, а не он сам). Это одно из крупнейших астрономических открытий последнего времени.
15.10 Приравниваем центробежную силу к силе притяжения, что дает
Мы имеем v =250 км/с, r =8 кпк. В результате находим, что 
. Очевидно, что это нижняя оценка. Действительная масса Галактики, возможно, на порядок больше.
Для многих спиральных галактик зависимость скорости вращения v от расстояния до центра r была тщательно измерена, в частности, по доплеровским смещениям радиолинии нейтрального водорода 
см. Оказалось, что на больших расстояниях -- там, где видимый в оптике звездный диск уже кончается -- зависимость 
не выполняется. Кривые, дающие v в функции r, как говорят, плоские: начиная с расстояния в несколько килопарсеков, грубо говоря 
. Это свидетельствует о том, что в спиральных галактиках на значительных расстояниях от центра, в том числе и там, где звездный диск уже перестает быть виден, находится значительная масса. Природа этой так называемой скрытой массы -- "скрытой" потому, что она не дает практически никакого вклада в излучение -- является по сей день предметом жарких споров.
