Всемирное тяготение

5.1 Что стало бы с Солнечной системой, если бы масса Солнца мгновенно уменьшилась вдвое?

5.2 Как изменилась бы орбита Земли, если бы масса Солнца внезапно удвоилась?

5.3 Почему у всех без исключения тел Солнечной системы, от Солнца до астероидов и спутников планет включительно, минимальные времена их облета имеют один и тот же порядок величины?

5.4 Скорость движения кометы в перигелии втрое больше, чем в афелии. Чему равен эксцентриситет ее орбиты?

5.5 Как зависит линейная скорость движения планеты по круговой орбите от радиуса орбиты r? Как это ни неожиданно, вопрос имеет прямое отношение к знаменитой проблеме "скрытой массы" в галактиках (см. задачу ).

5.6 Определить большую полуось, период обращения, эксцентриситет и перигелийное расстояние кометы, которая на расстоянии 1 а.е. от Солнца имеет скорость, направленную перпендикулярно радиусу-вектору и по величине в десять раз меньшую, чем скорость Земли.

5.7 Спутник "Молния"; в перигее удален от центра Земли на 7000 км, в апогее - на 46000 км. Вычислите период обращения спутника вокруг Земли и эксцентриситет его орбиты.

5.8 Оцените время перелета космического аппарата с Земли на Марс по полуэллипсу, в перигелии касающемуся орбиты Земли, а в афелии - орбиты Марса (эллипс Гомана). Большую полуось орбиты Марса принять равной 1.5 а.е.

5.9 Гелиостационарной называется круговая орбита, лежащая в плоскости экватора Солнца, с периодом обращения, равным сидерическому периоду осевого вращения Солнца. Найти ее большую полуось.

5.10 Какова минимальная скорость падения метеорита на Луну?

5.11 Каким должен быть темп аккреции на Юпитер (в массах Юпитера в год), чтобы его болометрическая светимость возросла вдвое?

5.12 Когда люди собирались высадиться на Луну, активно обсуждался вопрос, не покрыта ли она толстым слоем пыли, в котором можно утонуть. Тогда у студентов возник такой вопрос: сколько времени должен на Земле работать пылесос, чтобы выделившейся энергии хватило для доставки его на Луну?

5.13 Каков предельный размер астероида, с которого еще можно спрыгнуть в космос?

5.14 Невероятно, но факт: от трения о воздух спутник, летящий в разреженных слоях атмосферы, не тормозится, а разгоняется! Понять, как так может быть, доказав, что энергия, которую спутник тратит на преодоление сопротивления воздуха, в точности равна приращению (положительному) его кинетической энергии.

5.15 Каково должно было бы быть расстояние до Луны, чтобы на ее орбите в Солнечной системе имелись точки перегиба? Считать, что Луна движется строго в плоскости эклиптики, а ее орбита относительно Земли - круговая.

5.16 Космический корабль исследует нейтронную звезду. На каком примерно расстоянии от нее приливные силы еще не создадут опасности здоровью космонавта?

5.17 Несколько лет назад в Солнечной системе открыт новый класс объектов --- двойные астероиды. Грубо оцените наибольшее возможное расстояние от 100-километрового астероида до его спутника - астероида меньшего размера.

5.18 Поверхность, на которой силы притяжения к Земле и к Солнцу равны, называется сферой притяжения Земли относительно Солнца. Является ли сфера притяжения действительно сферой? При какой массе Земли сфера притяжения была бы плоскостью?

5.19 Камень подняли на высоту R над поверхностью планеты радиуса R и массы M и отпустили там с нулевой скоростью. Из соображений размерности показать, что время его свободного падения на поверхность планеты есть

где --- безразмерный множитель (порядка единицы). Не пытаясь найти точно, получить следующую оценку:

5.20 Задача-пародия на фантастические сюжеты о звездных войнах.

Разведка донесла, что атомная подводная лодка противника должна всплыть на северном полюсе на 10 минут ровно в полдень по нашему времени. Дан приказ ее уничтожить. Для этого на полюс утром прибыла наша подлодка, с борта которой вертикально вверх была запущена боевая ракета. За очень короткое время (считайте - мгновенно) ракета набрала скорость, равную первой космической, после чего ее двигатели были отключены. Наша подлодка тут же погрузилась и уплыла. Через некоторое время - ровно в полдень, как и предупреждала разведка, - на поверхности появилась вражеская субмарина. Но не прошло и пяти минут после ее всплытия, как она была уничтожена упавшей на нее из космоса ракетой.

Сколько показывали часы командира нашей доблестной подводной лодки, когда он отдал команду "Пуск!"?

Земля, Луна и планеты

6.1 Чему равна температура поверхности Луны в подсолнечной точке?

6.2 При строительстве лунной обсерватории растяпа-астронавт в жаркий полдень разлил на лежавший на грунте толстый железный лист ведро замечательных белых-белых белил (альбедо A=0.99). Через некоторое время обнаружилось, что работать, стоя на этом листе, совершенно невозможно. Как вы думаете, почему?

6.3 Допустим, что вокруг звезды с температурой и средней плотностью движется планета. Пусть она не имеет атмосферы, обращена к звезде одной стороной и имеет такое же альбедо A, что и у Луны. Чему равен период обращения этой планеты по орбите, если температура на ее поверхности такая же, как на Луне? Как зависит температура на диске планеты от зенитного расстояния звезды? Считается, что и звезда, и планета излучают как черное тело.

6.4 Достаточно ли кинетической энергии движения Земли по орбите, чтобы ионизовать массу водорода, равную массе Земли?

6.5 Какая доля массы Земли приходится на ее атмосферу?

6.6 С хорошим приближением (каким?) можно считать, что Солнце освещает Землю параллельными лучами света. Как тогда объяснить картину, которую вы наверняка не раз наблюдали: из-под тучи, закрывающей Солнце, идут явно расходящиеся лучи?

6.7 Земная атмосфера имеет оптическую толщину по нормали (на длине волны ). Представьте себе, что масса атмосферы возросла в 5 раз. Каким увидит безоблачное небо петербуржец в полдень и в полночь? А что если масса атмосферы уменьшится в 5 раз?

6.8 При плавном росте массы атмосферы от нуля небо днем было бы сначала черным, затем становилось бы все более ярким, потом вновь менее ярким и, наконец, наступила бы тьма. При какой оптической толщине достигается максимум яркости неба?

6.9 Небо с утра до вечера затянуто сплошной облачностью, но дисциплинированный астроном честно работает --- на своем солнечном телескопе он пытается заниматься определением химического состава Солнца. Как вы думаете, может ли из этого что-то выйти?

6.10 Солнце встает из-за морского горизонта. Один человек любуется восходом с палубы корабля, а другой --- с вершины горы высотой 4 км на расположенном в океане вулканическом острове (скажем, с обсерватории Мауна-Кеа на Гавайях). У которого из наблюдателей диск Солнца будет ярче и во сколько примерно раз?

6.11 Всякий знает, что на восходе и при закате Солнце красное. Показать, что это в некотором смысле иллюзия, на самом же деле оно инфракрасное. Точнее говоря, показать, что максимум в распределении энергии в спектре прямого излучения Солнца, регистрируемого в моменты восхода и заката, лежит в ИК-области. Считать, что 1) во внеатмосферном спектре Солнца распределение энергии чернотельное с максимумом на длине волны и 2) ослабление света в атмосфере вызывается молекулярным рассеянием.

Примечание. Для решения этой задачи понадобится калькулятор. Решение довольно длинное.