Площадь поверхности тела вращения

Объем тела по заданным параллельным сечениям.

МЕТОД ДИФФЕРЕНИЦИАЛОВ:

A – искомая величина, [ a; b ] – отрезок, с которым связана величина A.

1) Рассмотрим некоторую точку x Î [ a; b ]. Рассмотрим переменный отрезок [ a; x ].

A(x) – функция, A = A(b).

2) Дадим приращение D x и рассмотрим приращение D A.

D A» dA = f(c_i) ×D x_i, f(c_i) – по условию задачи.

3)

a) a ^ OX, d(x) – площадь сечения. V(x) – объем тела левее x.

б) Дадим приращение D x.

S(x + D x) – площадь сечения плоскостью b.

D V – цилиндр, площадь основания которого равна S(x), высота – D x.

в)

Пример:

Объем тела вращения.

сечение – круг, R = y(x)

Пример:

Найти объем тела, полученного вращением фигуры, полученной пересечением линий x = y ² и y = x ² вокруг оси OY.

Площадь поверхности тела вращения.

1) S(x) – площадь поверхности, a £ x £ b. 2) D x = dx D S – усеченный конус, r = y, R = y + D y, D l – образующая

Пример:

Найти площадь поверхности шара.