Задачи для самостоятельной работы (типовые расчеты)

"Криволинейные интегралы"(12.05.12)

Задача 1. Плоская материальная кривая Гс линейной плотностью

μ = μ (x, y) задана параметрическими уравнениями. Найти

массу Мг дуги кривой:

1). Г: x = 3 (t – sin t), y = 3 (1 – cos t)(t є [ 0, 2π ]); μ = ;

2). Г: x = 5 , y = 5 (t є [- , ]); μ = | y |;

3). Г: x = cos t + t sin t, y = sin t – t cos t (t є [ 0, 2π ]); μ = ;

4). Г: x = ( – 2) sin t + 2 t cos t, y = (2 – ) cos t + 2 t sin t,

(t є [ 0, π ]); μ = ;

5). Г: x = (cos t + sin t), y = (cos t – sin t) (t є [ 0, ]);

μ = ;

6). Г: x = 2 cos t – cos 2 t, y = 2 sin t – sin 2 t (t є [ 0, 2π ]); μ = ;

 

7). Г: x = 4 , y = 4 (t є [ , ]); μ = | x y |;

 

8). Г: x = 2 (t – sin t), y = 2 (1 – cos t)(t є [ 0, 2π ]); μ = y;

 

9). Г: x = 2 (cos t + t sin t), y = 2 (sin t – t cos t) (t є [- , ]);

μ = ;

10). Г: x = (cos t + sin t), y = (cos t – sin t) (t є [ 0, π ]); μ = | x y |;

 

11). Г: x = 2 t cos t, y =2 t sin t (t є [ 0, 1 ]); μ = 2 ;

12). Г: x = 5 (t – sin t), y =5 (1 – cos t) (t є [ 0, ]); μ = ;

13). Г: x = 2 (cos t + t sin t), y = 2 (sin t - t cos t) (t є [ 0, 2π ]); μ = ;

14). Г: x = 2 , y = 2 (t є [- , ]); μ = ;

 

15). Г: x = 4 (t - sin t), y = 4 (1– cos t)(t є [ 0, 2π ]); μ = ;

 

16). Г: x = (cos t + sin t), y = (cos t – sin t) (t є [ 0, π ]); μ = ;

 

17). Г: x = 2 cos t – cos 2 t, y = 2 sin t – sin 2 t (t є [ 0, ]); μ = y;

18). Г: x = t cos t, y = t sin t (t є [ 0, 1 ]); μ = ;

 

19). Г: x = 3 , y = 3 (t є [- , ]); μ = ;

20). Г: x = 4 (cos t + t sin t), y = 4 (sin t – t cos t) (t є [ 0, π ]); μ = ;

 

21). Г: x = (cos t + sin t), y = (cos t – sin t) (t є [ 0, ]); μ = ;

 

22). Г: x = 3 (t – sin t), y = 3 (1 – cos t)(t є [ 0, π ]); μ = y ;

 

23). Г: x = 5 , y = 5 (t є [ 0, ]); μ = ;

 

24). Г: x = ( – 2) sin t + 2 t cos t, y = (2 – ) cos t + 2 t sin t,

(t є [ 0, π ]); μ = ;

25). Г: x = t cos t, y = t sin t (t є [ 0, 2 ]); μ = ;

26). Г: x = 2 cos t – cos 2 t, y = 2 sin t – sin 2 t (t є [ 0, π ]); μ = ;

 

27). Г: x = cos t + t sin t, y = sin t – t cos t (t є [ 0, 2π ]); μ = | y |;

 

28). Г: x = 8 (t – sin t), y = 8 (1 – cos t)(t є [ 0, π ]); μ = ;

 

29). Г: x = 5 (cos t + t sin t), y = 5 (sin t – t cos t) (t є [ 0, ]); μ = | x |;

 

30). Г: x = (cos t + sin t), y = (cos t – sin t) (t є [ 0, ]); μ = x.

Задача 2. Вычислить работу силового поля F вдоль дуги кривой Г:

1). F = , Г: y = sin x, x є [ , ];

2). F = 2 (arcsin x – x ln y) i – (2 arcsin y + ) j,

Г: y = tg 2 x, x є [ , ];

3). F = , Г: y = , x є [ , ];

4). F = [ y + ln (1 + x) ] i + (x + 1 – ) j, Г: y = sin 2 x, x є [ 0, ];

5). F = [sin x + cos (x + )] i + 2 y cos (x + ) j, Г: y = sh x, x є [ 0, ];

6). F = i + (y – ) j, Г: y = ctg x, x є [ , ];

7). F = (1 + cos x – ) i +(cos y + ) j,

Г: y = sin 2 x, x є [ , ];

8). F = ,

Г: y = , x є [ 0, ];

9). F = , Г: y = , x є [ , ];

10). F = ; Г: y = , x є [ 0, 2];

11). F = (x sin y + y cos y) i + (x cos y – y sin y) j;

Г: y = x, x є [ , ];

12). F = (2 x + + ) i + 2 y j; Г: y = , x є [ 0, ];

13). F = (1 – y ) i + j; Г: y = , x є [ , ];

14). F = (2 x – y ) i + j; Г: y = 2 x, x є [ 2, 3];

 

15). F = (1 + x+ y) i + (1– x – y) j;Г: y = ln x, x є [ 1, 2];

 

16). F = y i + (y + ) j; Г: y = ch x, x є [ 0, 4];

17). F = i + (cos y + x ) j; Г: y = , x є [ 0, ];

18). F = (2 x cos y – sin x) i + (2 y cos x – sin y) j;

Г: y = , x є [ , ];

19). F = [ y cos x + sin (x – y)] i + [sin x - sin (x – y)] j; Г: y = x, x є [ , ];

20). F = 2 (xy + sin y) i + (2 x cos y + ) j; Г: y = 3 x, x є [ 0, 3];

21). F = 2 x cos (y + ) i + [sin y + cos (y + )] j, Г: y = ch x, x є [ 0, ];

22). F = (cos x + y ) i + j; Г: y = , x є [ , ];

23). F = (2 arcsin x + ) i – 2 (arcsin y – y ln x) j,

Г: y = ctg 2 x, x є [ π / 8, π / 6 ];

24). F = (y + 1 – ) i + [ x + ln (1 + y) ] j, Г: y = sin 2 x, x є [ 0, π / 2 ];

 

25). F = (cos x + ) i +(1+ cos y – ) j,

Г: y = sin 2 x, x є [ π / 2, 3 / 2 π ];

26). F = (1– x – y) i + (1 + x + y) j;Г: y = ln x, x є [ 1, 2 ];

 

27). F = [sin y + sin (x – y) ] i + [ x cos y –sin (x – y) ] j,

Г: y = 2 x, x є [ , ];

28). F = (x + ) i + x j; Г: y = sh x, x є [ 0, 4];

 

29). F = (2 y cos x + ) i + 2 (xy + sin x) j, Г: y = 4 x, x є [ 0, 3];

 

30). F = (x – ) i + j, Г: y = tg x, x є [ , ].

 

 

Задача 3. Найти циркуляцию Ц вектора a вдоль контура Г:

 

1). a = (x – z) i + (z – x) j + (x – y) k; Г: = 1, z = 2 (1– x);

 

2). a = 2 y i + 3 x j + x k; Г: = 4, x + y + z = 2;

 

3). a = x i – / 3 j + y k; Г: = 1, 8 x – 4 y – 4 z = 1;

 

4). a = x i – 2 j + y k; Г: 16 + 9 = 144, z –2 x + y = 1;

 

5). a = – z i – x j + xz k; Г: + = 25, z = 4;

 

6). a = x i – 3 j + y k; Г: 16 + = 16, z – 2 x + y = 3;

 

7). a = – i + 4 j + z k; Г: = 4, z = 4;

 

8). a = xy i + yz j + xz k; Г: = 9, x + y + z = 1;

 

9). a = x z i – j + y k; Г: = 3, z = 1;

 

10). a = y i – 2 x j + k; Г: z = 4 () + 2, z = 6;

 

11). a = x i + yz j – x k; Г: = 1, x + y + z = 1;

 

12). a = 2 y i + 5 z j + 3 x k; Г: 2 () = 1, x + y + z = 3;

 

13). a = 4 x i – yz j + x k; Г: = 1, x + y + z = 1;

 

14). a = 2 (2 – xy) i – yz j – xz k; Г: = 4, x + y + z = 1;

 

15). a = 3 z i – 2 y j + 2 y k; Г: = 4, 2 x –3 y –2 z = 1;

 

16). a = yz i + 2 xz j + xy k; Г: = 9, z = 4;

 

17). a = (y – z) i + (z – x) j + (x – y) k; Г: = 4, 2 z +3 x = 6;

 

18). a = 2 y i – z j + x k; Г: = 1, x + y + z = 4;

 

19). a = 3 y i – 3 x j + x k; Г: = 9, x + y + z = 3;

 

20). a = (y – z) i + (z – x) j + (x – y) k; Г: = 16, 4 z + x =4;

 

21). a = x i + j + y k; Г: 4 + = 4, 2 x – y – z = 1;

 

22). a = y i – x j + z k; Г: + = 1, z = 3;

 

23). a = – i + 2 j + xz k; Г: = 2, z = 1;

 

24). a = 4 i + 3 x j + 3 xz k; Г: = 9, z = 3;

 

25). a = 4 y i – 3 x j + x k; Г: = 16, x + y + z = 4;

 

26). a = 2 y i + j – 2 yz k; Г: = 4, z = 2;

 

27). a = x z i – j + y k; Г: = 1, z = 4;

 

28). a = 4 x i + 2 j – x y k; Г: = 3, z = 7;

 

29). a = y i – x j + 2 z k; Г: = 1, z = 2;

 

30). a = z i + x j + y k; Г: = 4, z = 0.