Портфельное инвестирование

 

Методические указания к практическим занятиям
для студентов всех форм обучения
по направлению 080500.68 «Менеджмент»

 

Нижний Новгород 2011

Составители: А.С.Узбекова, Н.А.Шибанов

 

УДК 658.14.011.1

ББК (У)65.261.5

 

 

Портфельное инвестирование: методические указания к практическим занятия для студентов всех форм обучения по направлению 080500.68 «Менеджмент» / НГТУ им. Р.Е.Алексеева; сост.: А.С.Узбекова, Н.А.Шибанов — Нижний Новгород, 2011. – 73 с.

 

 

Данное пособие содержит теоретические и практические основы вопросов портфельного инвестирования: оценки риска и доходности и выбора оптимального портфеля финансовых активов для инвестирования временно свободных денежных средств предприятия. Представлен опорный конспект лекций, задание и подробные методические указания к курсовой работе.

 

 

Редактор Э.Б.Абросимова

 

Подп. к печ. 23.11.2011. Формат 60х84 1/16. Печать офсетная. Бумага газетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 150 экз. Заказ
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е.Алексеева. Типография НГТУ, 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24.
	Ó Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева, 2011

Содержание

1. Финансовый риск как объект управления…………………….
2. Математические методы оценки финансового риска……......
2.1. Анализ общего риска: активы, рассматриваемые изолированно…………………………………………….....	9
2.2. Субъективные и объективные распределения вероятностей…………………………………………………………..	17
2.3. Анализ рыночного риска: активы, входящие в портфель.............................................................................................	18
2.4. Ковариация и коэффициент корреляции………………
2.5 Портфель, состоящий из двух активов…………………..
3. Эффективные портфели………………………………………..
4. Как диверсификация снижает риск……………………………..
5. Как отдельные ценные бумаги влияют на портфельный риск…………………………………………………………………	8
6. Модель оценки доходности финансовых активов…………...
6.1. Линия рынка капитала………………….………………
6.2. Линия рынка ценных бумаг……………………………...
Список использованных источников…………………………….
Приложение 1. Задание для выполнения курсовой работы по дисциплине «Финансовый менеджмент» на тему: «Формирование оптимального портфеля финансовых активов»…………	55
Приложение 2. Требования к оформлению курсовой работы....

 

1. Финансовый риск как объект управления

В современных условиях ни отдельный человек, действующий в своих собственных интересах, ни менеджер, действующий от лица владельцев компании, не должны принимать решение об инвестировании финансовых средств, руководствуясь лишь соображениями ожидаемой доходности. Финансовый менеджмент всегда ставил и ставит получаемый доход в за­висимость от риска. Принимая решение, менеджер должен сначала оценить степень риска инвестиций, а затем определить, является ли уровень доходности достаточным для компенсации ожидаемого риска. Риск и доходность, таким образом, представляют собой две взаимосвязанные и взаимообусловленные финансовые категории.

Под риском, в общем смысле этого слова, понимается возможная опасность потерь, вытекающая из специфики тех или иных явлений природы и видов деятельности человека. Как экономическая категория, риск представляет собой возможность наступления события, которое может повлечь за собой три результата:

· отрицательный (проигрыш, ущерб, убыток);

· нулевой;

· положительный (выигрыш, выгода, прибыль).

Отметим, что в научной литературе встречается целый набор различных определений понятия «риск». Приведём лишь некоторые из них:

· риск — опасность, возможность опасности, … действие наудачу в надежде на счастливый исход [2];

· риск — это вероятность возникновения убытков или недополучения доходов по сравнению с прогнозируемым вариантом [3];

· риск — вероятность (угроза) потери предприятием части своих ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных расходов в результате осуществления определенной производственной и финансовой деятельности [26];

· риск — вероятность ошибки или успеха того или иного выбора в ситуации с несколькими альтернативами [2];

· риск — опасность потерь, вытекающая из специфики тех или иных явлений природы и видов деятельности человеческого общества [2];

· риск — не ущерб, наносимый реализацией решения, а возможность отклонения от цели, ради достижения которой принималось решение [18];

· риск — это деятельность, связанная с преодолением неопределённости в ситуации неизбежного выбора, в процессе которой имеется возможность количественно и качественно оценить вероятность предполагаемого результата, неудачи и отклонения от цели [4].

 

Безусловно, риска можно избежать, например, просто отказавшись от рискованных операций и мероприятий. Однако, как правило, избежание риска означает отказ и от возможной прибыли. Гораздо более разумно — научиться управлять риском, то есть, измерять риск, прогнозировать возможность наступления рискового события и разработать комплекс мер по снижению степени риска как вероятности наступления случая потерь, а также размера возможного ущерба от них. Также необходимо иметь возможность сопоставить риск с ожидаемой доходностью и ответить на вопрос о том, какой должна быть величина доходности, необходимая для компенсации данного уровня риска? Следовательно, риск инвестиций тесно связан с вероятностью того, что фактическая доходность окажется ниже ее ожидаемого значения: чем больше возможность получить низкую доходность или убытки, тем более рисковыми являются инвестиции. Таким образом, мы можем уточнить определение риска финансовых вложений.

Риск — это возможность неполучения инвестором ожидаемой доходности.

Проблемой определения рисков и их классификации экономисты занимаются давно. Но стоит отметить, что устоявшихся критериев, позволяющих однозначно классифицировать все риски, не существует по ряду причин: из-за специфики деятельности различных хозяйственных субъектов, разнообразных проявлений рисков и их источников. Заметим, что, насчитывается более 40 различных критериев классификации рисков и более 220 видов рисков.

Так, один из первых подходов к классификации рисков был предложен Дж.М.Кейнсом, рассмотревшим данную проблему с точки зрения субъекта, осуществляющего инвестиционную деятельность. Кейнс выделил три основных вида рисков [13]:

· предпринимательский риск – неопределенность получения ожидаемого дохода от вложения средств;

· риск «заимодавца» — риск невозврата кредита, включающий в себя юридический риск (уклонение от возврата кредита) и кредитный риск (недостаточность обеспечения);

· риск изменения ценности денежной единицы – вероятность потери средств в результате изменения курса национальной денежной единицы (рыночный риск).

Существует еще несколько распространенных классификаций рисков. Так, например, риски можно классифицировать по тяжести последствий наступления для компании на три категории:

· допустимый риск (потеря прибыли);

· критический риск (потеря выручки);

· катастрофический риск (неплатежеспособность предприятия).

Основой для следующей классификации рисков также является характер воздействия на результаты деятельности предприятия. Так, риски делятся на два вида:

· чистые — означают возможность получения убытка или нулевого, нейтрального результата. К этим рискам относятся: природно-естественные, экологические, политические, транспортные и часть коммерческих рисков (имущественные производственные, торговые);

· спекулятивные — выражаются в вероятности получить как положительный, так и отрицательный результат. К ним относятся финансовые риски, являющиеся частью коммерческих рисков.

Таким образом, очевидно, что четко разработанной классификации рисков на данный момент не существует. На рис. 1 изображен один из вариантов такой классификации.

Рис. 1. Вариант классификации рисков [4]

2. Математические методы оценки финансового риска

Как уже было отмечено в предыдущем разделе, для проведения полноценного инвестиционного анализа необходимо учитывать фактор риска. Таким образом, на первый план выходит проблема оценки величины риска. Среди многих методик, для решения данной задачи используется аппарат теории вероятностей и математической статистики. Ниже приведём основные понятия этих теорий.

Распределением вероятностей называется множество возможных исходов с указанием вероятности появления каждого из них. Распределения вероятностей бывают дискретными или непрерывными. Дискретное распределение вероятностей имеет конечное число исходов, причем каждому исходу поставлена в соответствие вероятность его появления. Если умножить каждый исход на соответствующую вероятность, а затем сложить полученные результаты, мы получим средневзвешенную исходов. Весами служат соответствующие вероятности, а сама средневзвешенная представляет собой математическое ожидание, или ожидаемое значение. Так как исходами являются доходности, ожидаемое значение — это ожидаемая доходность (expected rate of return, ERR), которую можно представить в следующем виде (1):

(1)

где x_i — i- й возможный исход;

p_i — вероятность появления i- гo исхода;

п — число возможных исходов.

 

 

Рис. 2. Графическое представление дискретного распределения вероятностей на примере проектов 1 и 2

 

На рис. 2 показано распределение вероятностей возникновения определенного состояния экономики. При этом важно определить, является ли распределение вероятностей нормальным. Для этого стоит проверить, равна ли величина доходности, соответствующая нормальному состоянию, средней арифметической доходностей, соответствующих остальным состояниям экономики. Более подробно о проверке нормальности распределения будет сказано ниже.

 

2.1 Анализ общего риска:
активы, рассматриваемые изолированно

Понятия распределения вероятностей и ожидаемой величины могут использоваться как основа для измерения риска. Однако каким образом можно измерить риск и оценить его количественно? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним основные понятия экономической статистики: «дисперсия» и «среднее квадратическое отклонение».

Дисперсиейназывается мера разброса возможных исходов относительно ожидаемого значения: чем выше дисперсия, тем больше разброс. Для расчета дисперсии дискретного распределения используется следующая формула (2):

(2)

где x_i — i- й возможный исход;

̅x — математическое ожидание;

p_i — вероятность появления i - гo исхода;

п — число возможных исходов.

 

Как показывает формула (2), дисперсия есть сумма квадратов отклонений от среднего ожидаемого значения, взвешенная на вероятность появления каждого отклонения. Рассчитаем, например, дисперсию доходности проекта 2 по данным табл. 1:

Табл. 1
Оценка доходности по четырем инвестиционным альтернативам

Состояние экономики	Вероятность	Казначейские векселя, %	Доходность инвестиций при данном состоянии экономики, %
Корпоративные облигации	Проект 1	Проект 2
Глубокий спад	0,05	8,0	12,0	—3,0	—2,0
Незначительный спад	0,20	8,0	10,0	6,0	9,0
Стагнация	0,50	8,0	9,0	11,0	12,0
Незначительный подъем	0,20	8,0	8,5	14,0	15,0
Сильный подъем	0,05	8,0	8,0	19,0	26,0
Ожидаемая доходность	—	8,0	9,2	10,3	12,0

 

Нам известно, что ожидаемая доходность проекта равна 12,0 %. Следовательно, расчет дисперсии по формуле (2) и данным табл. 1 производится следующим образом: s² = (—2,0 —
— 12,0)² 0,05 + (9,0 — 12,0)² 0,20 + (12,0 — 12,0)² 0,50 + (15,0 —
— 12,0)² 0,20 + + (26,0 — 12,0)² 0,05 = 23,2.

Дисперсию измеряют в тех же единицах, что и исходные величины, в данном случае в «процентах в квадрате».

Поскольку интерпретация термина «процент в квадрате» затруднительна, в качестве другого измерителя разброса индивидуальных значений вокруг среднего часто используется среднее квадратическое отклонение, представляющее собой квадратный корень из дисперсии (3):

,

(3)

где x_i — i- й возможный исход;

̅x — математическое ожидание;

p_i — вероятность появления i- гo исхода;

п — число возможных исходов.

 

Так, среднее квадратическое отклонение доходности проекта 2 равно s = 4,82 %.

Используя этот показатель в качестве меры разброса, можно сделать ряд полезных выводов о распределении исходов, основанных на законе больших чисел. В частности, если распределение является непрерывным и близким к нормальному, можно утверждать, что 68,3 % всех исходов лежит в пределах одного среднего квадратического отклонения от ожидаемого значения; 99,5 % — в пределах двух средних квадратических отклонений и практически все исходы (99,7 %) — в пределах трех средних квадратических отклонений. Даже если распределение не является близким к нормальному, на основании теоремы Чебышева и правила «трех сигм» можно утверждать, что для любогораспределения не менее 89 % всех исходов лежит в пределах трех средних квадратических отклонений от ожидаемого значения.

Табл. 2
Оценка доходности и риска четырех инвестиционных альтернатив

Показатель	Варианты инвестирования
казначейские векселя	корпоративные облигации	проект 1	проект 2
1. Ожидаемая доходность (), %	8,00	9,20	10,30	12,00
2. Дисперсия (σ2)	0,00	0,71	19,31	23,20
3. Среднее квадратическое отклонение (σ), %	0,00	0,84	4,39	4,82
4. Коэффициент вариации (Kv)	0,00	0,09	0,43	0,40

 

В табл. 2 приводятся ожидаемые значения доходности, дисперсии и среднего квадратического отклонения по всем четырем альтернативным вариантам инвестирования, а также коэффициент вариации, который мы рассмотрим позднее. Видно, что казначейские векселя обладают наименьшими значениями показателей дисперсии и среднего квадратического отклонения, а проекту 2 соответствуют наибольшие их значения.

По данным табл. 2 можно, казалось бы, прийти к заключению, что казначейские векселя — наименее рисковый вариант инвестирования, а проект 2 — наиболее рисковый. Однако не всё может быть столь очевидно. Перед тем как сделать окончательный вывод, необходимо принять во внимание ряд других факторов, таких как численные значения ожидаемой доходности, асимметрия распределения, достоверность наших оценок распределения вероятностей и взаимосвязь каждого актива с другими активами, включенными в портфель инвестиций. Анализируя риск, логично сосредоточиться в основном на вероятностях тех значений доходности, которые меньше ожидаемого значения, а не на тех, которые его превышают. Если распределение является симметричным, то дисперсия и среднее квадрати­ческое отклонение будут точно измерять риск получения доходности ниже ожидаемого значения, который составляет ровно половину общего риска. Однако если распределение асимметрично, эти показатели неверно отразят действительный риск. Если распределение обладает правосторонней асимметрией, дисперсия и среднее квадратическое отклонение завышают риск получения доходности ниже ожидаемого значения, а если распределение имеет левостороннюю асимметрию, наблюдается противоположная ситуация.

Существует целый набор показателей, описанных в «ГОСТ Р ИСО 5479-2002. Определение нормальности распределения совокупности», с помощью которых можно оценить нормальность распределения, определить наличие асимметрии: критерий асимметричности, критерий кривизны, критерий Шапиро-Уилка, критерий Эппса-Палли и иные.

Одним из наиболее простых критериев является статистическая характеристика, называемая полудисперсией (semivariance, SV), которая определяется по формуле (4):

 

 

,

(4)

где x_i — i- й возможный исход;

̅x — математическое ожидание;

p_i — вероятность появления i- гo исхода;

m — множество исходов, которые лежат нижеожидаемого значения.

 

Если распределение симметрично, то полудисперсия составляет половину дисперсии. Это верно для проекта 2. Однако полудисперсия проекта 1 составляет более половины дисперсии, распределение доходности проекта 1 имеет левостороннюю асимметрию, его дисперсия занижает риск получения доходности ниже ожидаемого значения. Полудисперсия корпоративных облигаций меньше половины дисперсии: поскольку распределение доходности имеет правостороннюю асимметрию, его дисперсия завышает риск получения доходности ниже ожидаемого значения.

Также на практике может быть применен коэффициент асимметричности, определяемый по формулам (5) и (6):

	(5)
,	(6)

где µ _j — момент j -го порядка;

x_i — i- й возможный исход;

̅x — математическое ожидание;

m — множество исходов.

 

Проверяется отличие значения коэффициента от 0. Если значение выше 0, то присутствует правосторонняя асимметрия, если ниже 0 — левосторонняя.

При правосторонней асимметрии самые высокие доходы считаются более вероятными, чем низкие, при левосторонней — наоборот.

Поэтому отметим, что финансовая статистика, как правило, недостаточно точна, чтобы применять к ней высокоточные аналитические методы, а большинство распределений близко к симметричным, поэтому примем дисперсию и среднее квадратическое отклонение в качестве мер разброса.

Как правило, чем выше ожидаемая доходность, тем больше величина среднего квадратического отклонения. Предположим, например, что ожидаемая доходность проекта X составляет 30 %, среднее квадратическое отклонение 10 %, а ожидаемая доходность проекта Y равна 10 %, среднее квадратическое отклонение 5 %. Если распределение доходности проектов приблизительно нормальное, вероятность того, что доходность проекта X окажется отрицательной, очень мала, несмотря на то, что его среднее квадратическое отклонение равно 10 %, в то время как для проекта Y, значение s которого в два раза меньше по сравнению с проектом X, вероятность убытков будет значительно выше. Следовательно, прежде чем использовать s в качестве меры относительного риска инвестиций с различной ожидаемой доходностью, необходимо стандартизировать среднее квадратическое отклонение и рассчитать риск, приходящийся на единицу доходности. Сделать это можно при помощи коэффициента вариации, который представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к ожидаемому значению доходности (7):

(7)

где s — среднее квадратическое отклонение;

̅x — математическое ожидание.

 

Для проекта X: Kv_x = 10 % / 30 % = 0,33.

Для проекта Y: Kv_y = 5 % / 10 % = 0,50.

 

Таким образом, видно, что на самом деле по проекту Y риск на единицу ожидаемой доходности больше риска на единицу ожидаемой доходности проекта X. Следовательно, можно утверждать, что проект Y является более рисковым, чем проект X, несмотря на то, что среднее квадратическое отклонение для проекта X выше, чем для проекта Y.

В нижней строке табл. 2 приведены значения коэффициентов вариации для четырех исходных вариантов инвестирования. Как следует из данных таблицы, классификация проектов по коэффициенту вариации как мере риска отличается от классификации, основанной на измерении риска с помощью s: проект 2 является более рисковым, чем проект 1, по критерию среднего квадратического отклонения, а после корректировки различий в доходности и измерения риска с помощью коэффициента вариации вывод будет прямо противоположным.

 

2.2. Субъективные и объективные распределения вероятностей

Во всех предыдущих примерах при построении распределений вероятностей использовались субъективные оценки риска и доходности в будущем. Те же методы можно применять и к фактическим данным для получения объективных, а не субъективныхоценок риска при условии, что имеются в наличии временные ряды данных — собранные в разные моменты времени статистические данные о значении каких-либо параметров исследуемого процесса. Например, предположим, что инвестиции, аналогичные инвестициям проекта 2, осуществлялись ежегодно в течение последних 10 лет. В данном случае имеется 10 фактических значений доходности, x этого проекта. Эти значения можно использовать для расчета динамических среднихзначений доходности, дисперсии и среднего квадратического отклонения для проекта 2:

(8)

где x_t — t- й возможный исход;

п — число возможных исходов.

(9)

где x_t — t- й возможный исход;

̅x — математическое ожидание;

п — число возможных исходов.

 

(10)

где x_t — t- й возможный исход;

̅x — математическое ожидание;

п — число возможных исходов.

 

Эти формулы (8)-(10) обычно используются для анализа выборочных данных, а не исходные данные рассматриваются как выборка из более крупной совокупности. Использование временных рядов в прогнозных целях основывается на предпосылке, что существующие тенденции сохранятся и в будущем. Если это так, временные ряды можно использовать как основу для составления прогнозов, а полученные средние значения доходности, дисперсии, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации — для оценки проекта 2. Совершенно очевидно также, что такой анализ неприменим для оценки новых проектов, когда менеджер не имеет соответствующих временных рядов данных. В этом случае следует основываться на субъективных оценках вероятностей. Но главное, что стоит помнить, анализируя риск, — даже самые точные расчеты субъективны.

 

2.3. Анализ рыночного риска: активы, входящие в портфель

Рассмотрим оценку степени риска активов, объединенных в портфель, в том числе и при различном их сочетании. Как будет показано ниже, актив, входящий в портфель, обычно является менее рисковым, чем в случае, когда он изолирован. Действительно, актив, имеющий сам по себе высокий уровень риска, может оказаться безрисковым, если он входит в портфель, состоящий из большого числа различных активов.

Ожидаемая доходность портфеля представляет собой взвешенную среднюю из показателей ожидаемой доходности отдельных ценных бумаг, входящих в данный портфель (11):

(11)

где — ожидаемая доходность портфеля;

w_i — доля портфеля, инвестируемая в i -й актив;

x_i — ожидаемая доходность i -гo актива;

n — число активов в портфеле.

 

Например, предположим, что ожидаемая доходность акций А x_A = 10 %, а акций В x_B = 15 %. Если весь капитал вложить в акции А, ожидаемая доходность портфеля x_p = x_A = 10 %. Если инвестировать капитал только в акции В, ожидаемая доходность инвестиций составит x_p = x_B = 15 %. При инвестировании капитала в акции равными долями ожидаемая доходность портфеля будет равна средневзвешенной из доходностей акций: x_p = 0,5*10 % + 0,5*15 % = 12,5 %. По истечении года фактические значения доходности акций А и В, а следовательно, и портфеля в целом, возможно, будут не совпадать с их ожидаемыми значениями.

Как было отмечено, ожидаемая доходность портфеля представляет собой средневзвешенную из ожидаемых доходностей отдельных акций, входящих в портфель, а вклад каждой акции в ожидаемую доходность портфеля равен w_i*x_i.. Что касается средних квадратических отклонений портфеля, s _р,и составляющих его ценных бумаг, то они подобным алгоритмом уже несвязаны. Теоретически можно подобрать две акции, каждая из которых имеет высокий уровень риска, характеризуемый показателем среднего квадратического отклонения, и составить из этих высокорисковых активов портфель, который окажется абсолютно безрисковым, то есть, имеющим s _р = 0 %. Чтобы проиллюстрировать сказанное, рассмотрим пример, приведенный на рис. 3, где показаны фактические значения доходности акций W и M, а также портфеля, в который эти две акции входят равными долями (акции получили названия W и М, поскольку графики их доходности сходны с написанием этих букв). Каждая из акций имеет среднее квадратическое отклонение s _i = 22,6 % и, будучи рассмотренной изолированно, является высокорисковой. Из акций W и М можно составить безрисковый портфель, поскольку показатели их доходности изменяются в противоположных направлениях: когда доходность W уменьшается, доходность М возрастает, и наоборот. Если говорить языком статистики, между показателями доходности акций W и М имеет место обратная функциональная связь, то есть, коэффициент корреляции r = —1,0.

График доходности портфеля W, М (по данным рис. 3) не имеет отклонений, то есть, s _p = 0. При объединении рассматриваемых акций в портфель произошла так называемая диверсификация риска инвестора. Это стало возможным из-за наличия обратной функциональной связи между составляющими портфеля.

 

Рис. 3. Распределение доходности акций W и M, связанных обратной функциональной связью (r = — 1,0), и портфеля W,M

 

Под диверсификацией риска обычно принято понимать распределение инвестируемых денежных средств между различными объектами вложений с целью снижения риска возможных потерь. Из-за различных показателей колеблемости доходности (как в случае с акциями W и M) снижение доходности одного актива компенсируется повышением доходности другого. Таким образом, общая доходность активов в портфеле, по сути, не меняется. Риск при этом снижается.

Случаем, противоположным функциональной обратной связи (r = — 1,0), является прямая функциональная зависимость (r = +1,0). Показатели доходности двух акций в этом случае изменяются в одном и том же направлении, а риск портфеля, состоящего из двух таких акций, будет равен риску каждой из этих акций. Таким образом, средние квадратические отклонения портфеля и его составляющих совпадают, следовательно, диверсификация в этом случае не приводит к снижению риска. В действительности большинство акций положительно коррелируют друг с другом, но эта связь не является функциональной. Коэффициент корреляции двух случайным образом выбранных акций на Нью-Йоркской фондовой бирже составляет около +0,6, а в большинстве случаев r лежит в пределах от +0,5 до +0,7. При таких условиях объединение акций в портфель снижает риск, однако полностью его не исключает.

Мерой риска портфеля может служить показатель среднего квадратического отклонения распределения доходности, для расчета которого используется формула (12):

,

(12)

где x_pi — доходность портфеля, соответствующая i -му состоянию экономики;

̅ x_p — ожидаемая доходность портфеля;

p_i — вероятность того, что экономика будет находиться в i -м состоянии.

 

Эта формула полностью совпадает с формулой расчета среднего квадратического отклонения отдельного актива (3), за исключением того факта, что в данном случае под активом понимается портфель активов.

 

2.4 Ковариация и коэффициент корреляции

Основными понятиями, используемыми для анализа портфеля, являются ковариация и коэффициент корреляции.

Ковариация— это мера совместной изменчивости двух активов. Например, ковариация между акциями А и В показывает, существует ли взаимосвязь между увеличением и уменьшением значения доходности этих акций, и, кроме того, показывает силу этой взаимосвязи. Ковариация между акциями A и В рассчитывается следующим образом (13):

,

(13)

где x_Ai — доходность актива A при i -м состоянии экономики;

̅ x_A — ожидаемая доходность актива A;

x_Bi — доходность актива B при i -м состоянии экономики;

̅ x_B — ожидаемая доходность актива B;

p_i — вероятность того, что экономика будет находиться в i -м состоянии;

n — общее число состояний.

 

Первый множитель в круглых скобках после знака суммы представляет собой отклонение доходности акции А от ее ожидаемого значения при i -м состоянии экономики; второй множитель — это отклонение доходности акции В для того же состояния экономики. Перед тем как перейти к примерам, отметим следующее.

1. Если значения доходности акций А и В изменяются в одинаковом направлении, оба множителя в скобках будут либо положительными, либо отрицательными при любом состоянии экономики; то есть, если x_Ai превышает ожидаемое значение ̅ x_A, то x_Bi, как правило, также будет больше, чем ̅ x_B, и наоборот. В этом случае произведение отклонений будет положительным, тогда как при изменении значений доходности в противоположных направлениях результат будет отрицательным. Однако если колебания доходностей двух акций имеют случайный характер, их произведение будет принимать то положительные, то отрицательные значения, а их сумма будет стремиться к нулю вследствие взаимного погашения положительных и отрицательных величин.

2. Если доходность либо А, либо В имеет высокую степень неопределенности, ее среднее квадратическое отклонение будет достаточно большим, соответствующие множители в скобках и, следовательно, их произведения также будут большими, в результате чего абсолютное значение cov(A,B) окажется высоким. Однако cov(A,B) может быть и низкой в случаях, когда s _А и/или s _В относительно высоки, но имеют положительные и отрицательные значения, которые будут взаимопогашаться.

3. Если среднее квадратическое отклонение одной из акций равно нулю и, следовательно, она является безрисковой, то любое из отклонений фактической доходности от ожидаемой будет равно нулю; следовательно, cov(A,B) также будет иметь нулевое значение. Аналогичным образом, если один из активов не является абсолютно безрисковым, однако его риск сравнительно мал, соответствующие отклонения также будут небольшими, что приведет к уменьшению cov(A,B).

Следовательно, ковариация двух активов cov(A,B) имеет высокое положительное значение, если значения доходности двух активов изменяются однонаправленно и имеют большую степень колеблемости; она имеет высокое отрицательное значение, если значения доходности изменяются в противоположных направлениях; и, наконец, она является низкой, если колебания показателей доходности двух активов в сторону увеличения или уменьшения носят случайный характер, либо колеблемость значений одного из активов невелика.

Для иллюстрации алгоритма расчетов обратимся к данным табл. 3, в которой приводятся распределения вероятностей доходности четырех акций.

 

Табл. 3

Распределение вероятностей доходности акций E, F, G и H (в %)

Вероятность	E	F	G	H
0,1	10,0	8,0	14,0	2,0
0,2	10,0	8,0	12,0	6,0
0,4	10,0	10,0	10,0	9,0
0,2	10,0	12,0	8,0	15,0
0,1	10,0	14,0	6,0	20,0
	10,0	10,2	10,0	10,0
σ	0,0	1,87	2,19	5,0

 

Используя формулу (13), рассчитаем ковариацию между акциями F и G: cov(F,G) = (8—10,2)(14—10)0,1+(8—10,2)(12—
—10)0,2+(10—10,2)(10—10)0,4+(12—10,2)(8—10)0,2+(14—
—10,2)(6—10)0,1 = — 4,0.

Отрицательное значение ковариации говорит о том, что значения доходности этих акций изменяются в противоположных направлениях. Расчет ковариации между акциями F и Н дает результат cov(F,H) = +9,2 и показывает, что доходность этих активов изменяется однонаправленно. Нулевое значение ковариации, например, между акциями Е и F означает, что взаимосвязь между переменными отсутствует, то есть, они независимы (доходность Е всегда равна 10 %, следовательно, s _E = 0 %, поэтому ковариация Е с любой другой акцией должна быть равна нулю).

Нетрудно заметить, что содержательно интерпретировать численное значение ковариации достаточно сложно, поэтому очень часто для измерения силы связи между двумя переменными используется другая статистическая характеристика, называемая коэффициентом корреляции. Этот коэффициент позволяет стандартизировать ковариацию путем деления ее на произведение соответствующих средних квадратических отклонений и привести величины к сопоставимому виду. Коэффициент корреляции между переменными А и В рассчитывается следующим образом (14):

(14)

где cov(A,B) — ковариация между переменными A и B;

σ _A — среднее квадратическое отклонение переменной A;

σ _B — среднее квадратическое отклонение переменной B.

 

Знак коэффициента корреляции совпадает со знаком ковариации, поэтому положительная его величина означает однонаправленное изменение переменных, а отрицательная — их изменение в противоположных направлениях. Если значение r близко к нулю, связь между переменными слабая. Кроме того, процедура стандартизации приводит к тому, что значения коэффициента корреляции лежат в интервале от —1,0 до +1,0. Отметим также, что формула (15) может использоваться для расчета ковариации:

,

(15)

где r_A,B — коэффициент корреляции между значениями переменных A и B;

σ _A — среднее квадратическое отклонение переменной A;

σ _B — среднее квадратическое отклонение переменной B.

 

Используя (12), находим, что коэффициент корреляции между акциями F и G равен —1,0 (не учитывая ошибку округления). Можно сказать, что между этими акциями имеет место обратная функциональная связь. Коэффициент корреляции между акциями F и H составляет 0,975. Таким образом, между ними существует сильная прямая взаимосвязь.

 

2.5. Портфель, состоящий из двух активов

Если предположить, что распределения доходности отдельных ценных бумаг являются нормальными, то для определения риска портфеля, состоящего из двух активов, может использоваться следующая формула, весьма громоздкая по виду, но достаточно удобная при решении некоторых частных задач (16):

(16)

где w_A — доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу А;

w_B — доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу В;

σ _A — среднее квадратическое отклонение актива A;

σ _B — среднее квадратическое отклонение актива B;

r_A,B —коэффициент корреляции между активами A и B.

Если в данную формулу включить дополнительные слагаемые, ее можно использовать для любого числа активов, входящих в портфель (17):

(17)

где w_i — доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу i;

w_j — доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу j;

cov _ij — ковариация между ценными бумагами i и j.

 

3. Эффективные портфели

Одним из важнейших применений статистических методов измерения взаимосвязей является выбор эффективных портфелей, то есть, таких, которые обеспечивают максимальную ожидаемую доходность при любом уровне риска или минимальный уровень риска для любой ожидаемой доходности. Чтобы проиллюстрировать это понятие, предположим, что необходимо вложить капитал в ценные бумаги А и В, причем распределение капитала между этими ценными бумагами может быть любым. Предположим далее, что:

· ожидаемая доходность ценной бумаги A x_A =5 %,

· среднее квадратическое отклонение доходности s _A = 4 %, тогда как x_В = 8 % и s _В = 10 %.

Первоочередная задача состоит в том, чтобы определить множество допустимых портфелей и затем выделить из допустимого множества эффективное подмножество.

Для определения допустимого множества нужно иметь данные об уровне корреляции между показателями ожидаемой доходности двух ценных бумаг (r_A,B). Рассмотрим три возможных значения коэффициента корреляции r_A,B = +1,0, r_A,B = —1,0 и r_A,B = 0 и вычислим по этим значениям ожидаемую доходность и среднее квадратическое отклонение портфеля (в действительности, естественно, будет только одно значение коэффициента корреляции, но в примере рассматриваются три альтернативных варианта, которые могут иметь место).

В табл. 4 приведены значения x_p и s _р. На рис. 4 представлены графики доходности портфеля x_p в зависимости от его структуры, риска портфеля s _р в зависимости от его структуры и допустимого множества портфелей для каждого значения коэффициента корреляции.

 

 

Табл. 4

Значения x_p и s _p при различных сочетаниях активов

Доля ценных бумаг А в портфеле	Доля ценных бумаг В в портфеле	Вариант 1 (rA,B = +1,0)	Вариант 2 (rA,B = 0)	Вариант 3 (rA,B = –1,0)
, %	p, %	, %	p, %	, %	p, %
1,00	0,00	5,00	4,0	5,00	4,0	5,00	4,0
0,75	0,25	5,75	5,5	5,75	3,9	5,75	0,5
0,50	0,50	6,50	7,0	6,50	5,4	6,50	3,0
0,25	0,75	7,25	8,5	7,25	7,6	7,25	6,5
0,00	1,00	8,00	10,0	8,00	10,0	8,00	10,0

 

При анализе данных таблицы и графиков следует принимать во внимание следующее.

Три графика в верхней части риc. 4 соответствуют варианту прямой функциональной связи между двумя активами с r_AB = +1,0. Три графика в середине рис. 4 соответствуют варианту независимости активов, когда коэффициент корреляции равен 0, а три графика в нижней части рисунка — варианту обратной функциональной связи.

Все три варианта являются теоретическими в том смысле, что на практике они встречаются чрезвычайно редко. В реальной действительности r_AB для большинства акций находится в пределах от +0,5 до +0,7. Графики, соответствующие варианту 2, наиболее близки к реальным примерам с точки зрения формы представленных на них кривых.

При рассмотрении рис. 4 в вертикальном разрезе левый столбец графиков (рис. 4, а)характеризует изменение ожидаемой доходности портфеля в зависимости от различных сочетаний активов А и В. Видно, что в каждом случае эти графики абсолютно идентичны: доходность портфеля есть линейная функция от доли акций в портфеле, не зависящая от значений коэффициента корреляции активов в портфеле.

Рис. 4, б характеризует влияние структуры портфеля на риск. Видно, что риск портфеля s _р является линейным в варианте 1 при r_AB = +1,0, но он нелинеен в варианте 2, а в варианте 3 для r_AB = —1,0 может быть полностью сведен к нулю. Таким образом, s _р, в отличие от x_p, зависит от коэффициента корреляции.

На рис. 4, в показано допустимое, или возможное множество портфелей, имеющих различную структуру. По данным табл. 4 на каждый из трех графиков были нанесены значения пар точек x_p и s _р. Если рассматривать только две ценные бумаги, допустимое множество будет представлять собой отрезок кривой или прямой, причем любая комбинация риска и доходности на соответствующей кривой может быть получена путем распределения денежных средств между ценными бумагами А и В.

 

Рис. 4. Доходность и риск портфеля при различном сочетании активов: а – доходность; б – риск; в – взаимосвязь риска и доходности.

 

Являются ли все портфели, принадлежащие допустимому множеству, в равной степени хорошими? Ответ однозначен: нет. Только часть допустимого множества, лежащую в вариантах 2 и 3 между точками Y и В, можно считать эффективной. Участок между точками А и Y не является эффективным, поскольку для любого уровня риска на отрезке AY можно получить более высокую доходность, принадлежащую отрезку YВ. Таким образом, ни у одного рационального инвестора не будет портфеля, принадлежащего отрезку АY.

А в варианте 1 все допустимое множество является эффективным — ни одно из сочетаний ценных бумаг не может быть исключено из рассмотрения.

Из приведенных примеров следует, что в одном из экстремальных случаев (r = —1,0) риск может быть полностью элиминирован, тогда как в другом экстремальном случае (r = +1,0) диверсификация не приводит к каким-либо улучшениям. Во всех остальных случаях объединение двух акций в портфель ведет к снижению риска отдельных акций, однако не устраняет его полностью.

 

Рис. 5. Кривая ожидаемой доходности и риска, достижимых при разных комбинациях двух видов акций

На рис. 5 показана кривая ожидаемой доходности и риска, достижимых при разных комбинациях двух акций: компаний «Reebok» и «Coca-Cola». Какая из комбинаций лучше? Это всецело зависит от предпочтений инвестора. Если вы желаете все поставить на карту ради быстрого обогащения, вам лучше вложить все деньги в акции «Reebok». Если же вы предпочитаете более спокойную жизнь, основную часть денег стоит инвестировать в акции «Coca-Cola»; для минимизации риска вам следует держать в акциях «Reebok» лишь небольшую часть своих инвестиций.

На практике ничто не заставляет вас ограничиваться инвестициями всего лишь в два вида акций. Допустим, вы можете составить портфель из любых акций, перечисленных в первом столбце табл. 5. Изучив перспективы каждой фирмы, вы прогнозируете доходность их акций так, как это показано во втором столбце таблицы. На основе данных за последние пять лет вы оцениваете риск каждого вида акций (столбец 3) и корреляцию доходностей в любой паре акций.

Если бы вы инвестировали 65 % ваших денег в акции «Coca-Cola» и 35 % в акции «Reebok», ожидаемая доходность такого портфеля, равная 13,5 %, — это просто средневзвешенная ожидаемых доходностей двух видов акций. А что можно сказать о риске такого портфеля? Мы уже знаем, что благодаря диверсификации портфельный риск меньше, чем среднее значение рисков отдельных акций. Действительно: данные за прошлые периоды показывают, что среднее квадратическое отклонение этого портфеля равно 31,7 %.

Табл. 5

Образцы эффективных портфелей, подобранных из акций 10 фирм

Название компании	Доходность, %	Риск, %	Эффективные портфели (доля каждого вида акций, %)
А	Б	В	Г
«Amazon. com»	34,6	110,6		9,3	4,5	—
«Boeing»	13,0	30,9	—	2,1	9,6	0,6

 

Окончание табл. 5

«Coca-Cola»	10,0	31,5	—	—	_	0,4
«Dell Computer»	26,2	62,7	—	21,1	14,4	—
«Exxon Mobil»	11,8	17,4	—	—	3,6	56,3
«General Electric»	18,0	26,8	—	46,8	39,7	10,2
«General Motors»	15,8	33,4	—	—	—	9,0
«McDonald's»	14,0	27,4	—	—	5,4	10,0
«Pfizer»	14,8	29,3	—	—	9,8	13,3
«Reebok»	20,0	58,5	—	20,7	13,0	—
Ожидаемая доходность портфеля, %	34,6	21,6	19,0	13,4
Среднее квадратическое отклонение портфеля, %	110,6	30,8	23,7	14,6

 

Давайте теперь обратимся к рис. 6. Каждая точкаобозначает комбинацию риска и доходности, характерную для ценных бумаг отдельной фирмы. Скажем, акции «Amazon.com» отличаются наивысшим средним квадратическим отклонением, но ониобещают и самую высокую ожидаемую доходность. На это указывает точка в правойверхней части рисунка. Составляя инвестиционные портфели из разных ценных бумаг, вы можете получить еще более широкий выбор сочетаний риска и ожидаемой доходности: по сути, вам доступна любая комбинация в заштрихованной области на рис. 6. Но какая же точка (комбинация риска и доходности) в этой области наилучшая? Ответ очевиден: вам хотелось бы двигаться вверх (к более высокой ожидаемой доходности) и влево (к более низкому риску). Следуйте этим курсом до тех пор, пока это в ваших возможностях и, в конце концов, получите один из портфелей, расположенных на сплошной кривой. Гарри Марковиц в своих исследованиях в 1952 году, назвал такие портфели эффективными. Такие портфели, безусловно, лучше любого из тех, что располагаются внутри заштрихованной области.

Рис. 6. Построение допустимого и эффективного множества портфелей

 

На рис. 6 обозначены четыре эффективных портфеля, характеристики которых приведены в табл. 5. Портфель А отличается наивысшей ожидаемой доходностью; он целиком состоит из инвестиций в акции одной фирмы — «Amazon. com». Портфель Г обещает минимальный риск; как легко увидеть из табл. 5, значительную часть в нем занимают акции «Exxon Mobil», которые имеют самое низкое среднее квадратическое отклонение. Обратите внимание, что в портфеле Г «Boeing» и «Coca-Cola» представлены гораздо меньшими долями, нежели «General Motors», хотя акции первых по отдельности сопряжены примерно с таким же риском. Чем это объясняется? Дело в том, что, как свидетельствует прошлый опыт, акции «Boeing» и «Coca-Cola» сильно коррелируют с другими акциями из этого портфеля и в силу этого вносят меньший вклад в диверсификацию.

В табл. 5 описаны также два других эффективных портфеля — Б и В, для которых характерны промежуточные уровни риска и ожидаемой доходности.

 

4. Как диверсификация снижает риск

Выможете определить изменчивость как для отдельных ценных бумаг, так и для портфеля ценных бумаг. Несомненно, уровень изменчивости ценных бумаг конкретной компании за более чем 50 лет представляет меньший интерес, чем изменчивость рыночного портфеля, — редко можно встретить компанию, чьи индивидуальные инвестиционные риски сейчас те же, что и в 1958 г.

Наблюдая за изменениями цен акций на рынке, можно заметить, что стоимость одних акций более изменчива, других — менее, кроме того, стоимость отдельных акций отличается большей изменчивостью, чем значения рыночного индекса.

В связи с этим возникает важный вопрос: если рыночный портфель состоит из отдельных акций, почему же его изменчивость не отражает среднюю изменчивость компонентов? Ответ: диверсификация уменьшает изменчивость.

Что произойдет, если добавлять в портфель все большее количество новых акций? Как правило, риск портфеля будет уменьшаться по мере увеличения числа акций. Если дополнить портфель достаточно большим количеством акций, можно ли полностью свести риск к нулю? В целом ответ на этот вопрос отрицательный, однако степень воздействия добавления новых акций на снижение риска портфеля зависит от уровня корреляции между отдельными акциями: чем меньше значение коэффициента корреляции, тем ниже риск крупного портфеля. Таким образом, даже очень крупные портфели имеют некоторую долю риска. Рассмотрим, например, рис. 7, который демонстрирует результаты диверсификации риска портфеля, сформированного из акций фондовой биржи. На график нанесены средние квадратические отклонения портфеля, состоящего из одной акции со средней доходностью, из двух акций со средней доходностью и так далее до тех пор, пока в портфель не вошли все обыкновенные акции, котирующиеся на бирже (около 1800). Из графика следует, что риск портфеля, состоящего из акций биржи, имеет тенденцию к снижению и достижению асимптотического предела по мере увеличения размера портфеля.

Рис. 7. Зависимость риска портфеля от степени диверсификации: 1 — общий риск; 2 — риск, специфический для компании, или ди­версифицируемый риск; 3 — недиверсифицируемый риск, связанный с конъюнктурными колебаниями (рыночный риск)

 

Так как риск акции, рассматриваемой изолированно, составляет в среднем s _i» 28 %, а риск очень крупного портфеля s _М составляет 15,1 %, то практически половина риска, присущего средней акции, может быть элиминирована через составление портфеля. Более того, совсем не обязательно включать в портфель все акции: sпортфеля, состоящего приблизительно из 40 случайным образом отобранных акций, будет близкой к s _М.

Риск, который может быть устранен диверсификацией, называется индивидуальным (особым) риском. Индивидуальный риск возникает из-за того, что среди множества опасностей, окружающих компании, с какими-то из них напрямую сталкивается только конкретная фирма да еще, возможно, ее непосредственные конкуренты. Но есть и другой риск, которого нельзя избежать никакой диверсификацией. Его обычно называют рыночным риском. Рыночный риск связан с опасностями общеэкономического характера, которым подвержен любой бизнес. Именно поэтому существует тенденция одновременного изменения цен на акции. И по этой же причине инвесторы страдают от рыночной неопределенности, независимо от того, акциями скольких компаний они владеют.

Учет воздействия индивидуального риска особенно важен, когда инвестор владеет только одним видом акций; если же портфель состоит из 20 и более ценных бумаг, диверсификация оказывает влияние на индивидуальный риск, снижая его. Поэтому для хорошо диверсифицированного портфеля значение имеет только рыночный риск. Следовательно, главным источником неопределенности для инвестора, владеющего диверсифицированным портфелем, являются рыночные колебания, спады и подъемы, которые неизбежно меняют характеристики портфеля.

 

5. Как отдельные ценные бумаги влияют на портфельный риск

Одно из наиболее простых правил инвестирования гласит: «не складывай все яйца в одну корзину». Соблюдение этого правила позволяет использовать механизмы диверсификации. Инвесторов, использующих эти механизмы, тем не менее, интересует, какое влияние каждая акция оказывает на риск, присущий их портфелю.

Как было показано ранее, риск хорошо диверсифицированного портфеля зависит от рыночного риска входящих в него ценных бумаг. Если необходимо узнать, каков вклад отдельных ценных бумаг в риск хорошо диверсифицированного портфеля, нет смысла определять степень риска для каждого вида ценных бумаг в отдельности (обособленно), а нужно оценить их рыночный риск и затем определить их чувствительность к рыночным изменениям. Эту чувствительность исчисляют с помощью так называемого бета-коэффициента (b) по формуле (18):

(18)

где σ _i — среднее квадратическое отклонение актива i;

σ _M — среднее квадратическое отклонение рыночного индекса;

r _iM — коэффициент корреляции между i -м активом и рыночным индексом.

 

Акции, бета-коэффициент которых больше 1,0, повторяют и, как правило, еще усиливают любые колебания рынка в целом. Акции с бетой от 0 до 1,0 движутся в том же направлении, что и рынок, но с меньшей интенсивностью. Сам рынок при этом представляет собой портфель всех акций, и бета-коэффициент его «средней» акции равна 1,0. b-коэффициент портфеля активов можно рассчитать по формуле (19):

 

 

,

(19)

где w_i — доля портфеля, инвестируемая в ценную бумагу i;

b _i – соответствующий b-коэффициент i -го актива.

 

В табл. 6 представлены значения b-коэффициентов обыкновенных акций в выборке компаний США за период с 1996 по 2001 г. В качестве среднерыночных характеристик обычно используются характеристики сводных индексов. В России таковыми являются индексы «РТС» и «ММВБ».

Табл. 6

b-коэффициенты обыкновенных акций в выборке компаний США 1996-2001 г.г.

Акции	b-коэффициент	Акции	b-коэффициент
«Amazon.com»	3,25	«General Electric»	1,18
«Boeing»	0,56	«General Motors»	0,91
«Coca-Cola»	0,74	«McDonald's»	0,68
«Dell Computer»	2,21	«Pfizer»	0,71
«Exxon Mobil»	0,40	«Reebok»	0,69

 

В течение пяти лет (с середины 1996 г. по середину 2001 г.) бета-коэффициент акций, например, «Dell Computer» составлял 2,21. Если эта тенденция сохранится и в дальнейшем, то с подъемом рынка на 1 % акции «Dell» в среднембудут расти дополнительно на 2,21 %, а спад рынка, предположим, на 2 % вызовет падение акций «Dell» на 2 % * 2,21 = 4,42 % и т.д. Конечно, между доходностью акций «Dell» и рыночной доходностью нет совершенной корреляции.

Среди 10 компаний, включенных в табл. 6, у «Dell» b-коэффициент — один из наивысших. Другую крайность представляет «Exxon Mobil» (b = 0,40).

Таким образом, b-коэффициент ценной бумаги показывает ее чувствительность к рыночным колебаниям. Применительно к портфелям, риск ценных бумаг измеряется b-коэффициентом. Более того, риск хорошо диверсифицированного портфеля пропорционален бета-коэффициенту портфеля, который равен среднему бета-коэффи