Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Итак:

k 1,2	Частные решения	Общие решения
D > 0, k 1 ¹ k 2
D = 0, k 1 = k 2
D < 0, k 1,2 = a ± b× i

Пример:

1) Найти общее решение уравнения.

2) Найти общее решение уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если равенство a ₁× y ₁ + a ₂× y ₂ + … + a_n×y_n = 0 выполняется только в том случае, когда a ₁ = a ₂ = … a_n = 0, то функции y ₁, y ₂, …, y_n называются линейно независимыми.

ТЕОРЕМА: Если функции y ₁, y ₂, …, y_n – линейно независимые решения уравнения a ₁× y ⁽ⁿ⁾ + a ₂× y ^{(n –1)} + a_n × y = 0, то его общее решение имеет вид y = c ₁× y ₁ + c ₂× y ₂ + … + c_n × y_n.

Пример:

Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

ТЕОРЕМА о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами: Общее решение y можно представить как сумму , где – общее решение соответствующего однородного уравнения

– частное решение исходного неоднородного уравнения.

Доказательство.