1) Задача распределения ресурсов
Пусть на некотором предприятии для изготовления n видов продукции Р 1, Р 2, …, Рn используют m видов сырья (ресурсов) S 1, S 2, …, Sm. Объём (запас) каждого вида сырья ограничен и известен: b 1, b 2, …, bm. Для изготовления единицы j -го вида продукции требуется аij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) единиц каждого i -го вида сырья. Известна прибыль, получаемая от реализации единицы каждого вида продукции: с 1, с 2, …, сn. Сколько единиц продукции каждого вида нужно произвести, чтобы уложиться в имеющиеся запасы сырья (ресурсов) и получить максимальную прибыль?
Для наглядности представим условия задачи в виде таблицы:
| Вид | Запас | аij | |||
| сырья | сырья | Р 1 | Р 2 | … | Рn |
| S 1 S 2 … Sm | b 1 b 2 … bm | а 11 а 21 …. аm 1 | а 12 а 22 …. аm 2 | … … … … | а 1 n а 2 n …. аmn |
| Прибыль | с 1 | с 2 | … | сn |
Составим математическую модель (ММ) данной ЗЛП, т.е. опишем неизвестные, целевую функцию, систему ограничений и условия неотрицательности.
Неизвестные. По условию задачи неизвестно, сколько единиц продукции каждого вида нужно произвести. Всего на данном предприятии изготавливают n видов продукции. Обозначим через хj – количество единиц продукции j -го вида (j = 1, 2, …, n). Таким образом, 
- неизвестные данной ЗЛП.
Целевая функция. В данной задаче требуется получить максимальную прибыль от реализации продукции. Следовательно, в качестве целевой функции будет выступать прибыль.
Если единица продукции первого вида приносит прибыль с 1, то прибыль от реализации х 1 единиц продукции составит с 1 х 1. Аналогично, х 2 единиц продукции второго вида дадут прибыль с 1 х 1, и т.д.
Общую прибыль, получаемую от реализации всей продукции, можно представить в виде 
. Поскольку эту функцию нужно максимизировать, то получим F (Х) = → max.
Система ограничений. Сначала найдём, сколько сырья первого вида необходимо для производства всей продукции.
Если на единицу продукции 1-го вида уходит а 11 единиц сырья первого вида, то на х 1 единиц продукции 1-го вида уйдёт а 11 х 1 сырья первого вида. Для выпуска х 2 единиц продукции 2-го вида потребуется а 12 х 2 единиц сырья первого вида и т.д. Чтобы произвести хn единиц продукции n -го вида потребуется а 1 nхn единиц сырья первого вида. Всего потребуется 
единиц сырья первого вида.
Так как b 1 - количество сырья первого вида и, чтобы его расход не превышал имеющегося запаса, должно выполняться неравенство 
.
Аналогично составляются ограничения для ресурсов второго вида:
и т.д.
Система ограничений для данной задачи примет вид:
Условия неотрицательности переменных: 
, т.к. нельзя выпускать отрицательное число единиц продукции.
Таким образом, ММ задачи использования ресурсов имеет вид:
F (Х) = → max,
.
2) Задача о рационе питания
В общем виде эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется составить ежедневный рацион питания человека исходя из имеющихся в наличии продуктов так, чтобы общая стоимость использованных продуктов была минимальной. При этом человек должен получать не менее определённого количества питательных веществ, таких, как витамины, белки, жиры, углеводы, минералы и т.п. Каждый продукт содержит разную комбинацию этих веществ. Известна цена единицы веса каждого продукта.
Конкретизируем условия ЗЛП. Пусть имеется n видов продуктов Р 1, Р 2, …, Рn и перечень из m необходимых питательных веществ S 1, S 2, …, Sm. Пусть аij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - содержание (в весовых единицах) i -го питательного вещества в единице веса j -го продукта; bi - минимальная суточная потребность человека в i -м питательном веществе. Известна цена единицы веса каждого продукта: с 1, с 2, …, сn.
Сколько единиц веса продуктов каждого вида нужно взять для ежедневного рациона питания человека, чтобы уложиться в имеющиеся запасы продуктов, получить не менее заданного количества питательных веществ и заплатить наименьшую сумму денег?
Представим условия задачи в виде таблицы.
| Питательное | Суточная | аij | |||
| вещество | потребность | Р 1 | Р 2 | … | Рn |
| S 1 S 2 … Sm | b 1 b 2 … bm | а 11 а 21 …. аm 1 | а 12 а 22 …. аm 2 | … … … … | а 1 n а 2 n …. аmn |
| Стоимость веса | единицы продукта | с 1 | с 2 | … | сn |
Составим ММ данной ЗЛП.
Неизвестные. По условию задачи неизвестно, сколько единиц веса
продуктов каждого вида нужно включить в рацион питания. Всего имеется n видов продуктов. Обозначим через хj – количество единиц продуктов j -го вида (j = 1, 2, …, n). Таким образом, - неизвестные данной ЗЛП.
Целевая функция. В данной задаче требуется так составить рацион питания, чтобы общие затраты на продукты были минимальными. Следовательно, в качестве целевой функции будет выступать общая стоимость использованных в рационе продуктов.
Если единица веса первого вида продукта питания стоит с 1, то цена х 1 единиц веса продуктов первого вида составит с 1 х 1. Аналогично, х 2 единиц веса продуктов второго вида будут стоить с 1 х 1, и т.д.
Общую стоимость составленного рациона питания можно представить в виде . Поскольку эту функцию нужно минимизировать, то получим
F (Х) = → min.
Система ограничений. Сначала найдём, сколько продуктов первого вида необходимо включить в рацион питания.
Если в единице веса продукта первого вида содержится а 11 единиц веса питательного вещества первого вида, то в х 1 единиц веса продуктов первого вида будет а 11 х 1 единиц веса питательного вещества первого вида. В х 2 единицах веса продуктов второго вида содержится а 12 х 2 единиц веса питательного вещества первого вида и т.д. В хn единицах веса продуктов n -го вида будет содержаться а 1 nхn единиц веса питательного вещества первого вида. Всего потребуется 
единиц веса питательного вещества первого вида.
Так как b 1 – минимальная суточная потребность человека в первом питательном веществе, то должно выполняться неравенство
.
Аналогично составляются ограничения для второго вида питательного вещества: 
и т.д.
Система ограничений для данной задачи примет вид:
Условия неотрицательности: , т.к. не может быть отрицательного количества продуктов.
Таким образом, ММ задачи о рационе питания имеет вид:
F (Х) = → min,
.
