Теоретические упражнения

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1) Линейное пространство. Базис. Координаты.

2) Преобразование координат вектора при переходе к ново­му базису.

3) Линейный оператор. Матрица оператора.

4) Преобразование матрицы оператора при переходе к но­вому базису.

5) Действия над линейными операторами.

6) Собственные векторы и собственные значения.

7) Евклидово пространство. Неравенство Коши—Буняковского.

8) Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.

9) Ортогональное преобразование; свойства; матрица.

10) Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1) Найти какой-нибудь базис и размерность подпростран­ства пространства , если задано уравнением

2) Доказать, что все симметрические матрицы третьего по­рядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.

3) Найти координаты многочлена в базисе 1, .

4) Линейный оператор в базисе имеет матрицу

Найти матрицу этого же оператора в базисе .

5) Найти ядро и образ оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.

6) Пусть и — собственные векторы линейного опе­ратора , относящиеся к различным собственным значениям. Доказать, что вектор не является собственным вектором оператора .

7) Пусть Будет ли оператор самосопряженным?

8) Доказать, что если матрица оператора А — симметри­ческая в некотором базисе, то она является симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).