Зависимость измеряемой величины y от условий опыта х может быть найдена графически, если нанести значения х и у на миллиметровую бумагу и построить плавную кривую так, чтобы точки равномерно распределились по обе стороны кривой
(рис. 1). Задача состоит в том, чтобы по результатам опытов построить такую кривую у = f(x), относительно которой разброс (отклонения) экспериментальных точек был бы минимальным.
В теория вероятности показано, что наилучшее приближение к истинной зависимости у = f(x) дает прямая линия, построенная методом наименьших квадратов. В этом случае сумма квадратов отклонений экспериментальных значений уi от кривой у = f(x) будет минимальна. Отсюда и происходит название данного метода обработки результатов эксперимента.
Рис. 1. Метод наименьших квадратов
1. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для случая, когда между измеряемыми величинами х и у существует линейная зависимость
. (1)
Пусть в результате эксперимента получено п различных значений величины уi, соответствующих различным значениям величины хi. Найдем коэффициент b,при котором экспериментальные точки уi будут иметь наименьшие отклонения Δ уi относительно прямой.
Отклонение каждого значения уi от прямой у = bх будет
. (2)
Составим сумму квадратов отклонений:
(3)
Отклонение (разброс) измеренных значений уi от функции у = f(x) будет минимальным, если
(4)
Дифференцирование (3) по переменной b (предположив, что все остальные величины постоянны) с учетом (4) дает
или 
(5)
Отсюда определяем искомый коэффициент b.
(6)
2. В случае линейной зависимости между величинами х и у, которая аппроксимируется прямой, не проходящей через начало координат,
y = a + bx, (7)
коэффициенты а и b могут быть вычислены по формулам
 |  | ||
(8)
Пример: предположим, что мы провели эксперимент и получили данные, которые занесли в табл. 1.
Таблица 1
| Номер измерения i | |||||
| xi | 1,0 | 1,9 | 3,1 | 4,0 | 4,9 |
| yi | 1,6 | 2,5 | 3,0 | 3,7 | 4,6 |
Для упрощения расчетов составим вспомогательную таблицу и заполним ее.
Таблица 2
| Номер измерения i | xi | yi | xi уi | xi 2 |
| 1,0 | 1,6 | 1,60 | 1,00 | |
| 1,9 | 2,5 | 4,75 | 3,61 | |
| 3,1 | 3,0 | 9,30 | 9,61 | |
| 4,0 | 3,7 | 14,80 | 16,00 | |
| 4,9 | 4,6 | 22,54 | 24,01 | |
| Σ | 14,9 | 15,4 | 52,99 | 54,23 |
Рассчитаем коэффициенты а и b
 | ||
 |
Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть следующим образом: у = 0,928 + 0,722· х.
Для построения отрезка прямой линии найдем две точки, одна
у 1= 0,928. Вторую точку y 2 получим, подставив в уравнение прямой значение х, равное, например, 5.
у 2 = 0,928 + 0,722·5 = 4,538.
На листе миллиметровой бумаги проведем оси координат, причем ось у проведем вертикально, а ось х – горизонтально.
Рис. 2.
Выберем и нанесем на оси координат масштаб так, чтобы наши экспериментальные точки располагались на графике наилучшим образом – занимали на графике максимальную площадь. Нанесем на график экспериментальные точки и две точки у 1и у 2, рассчитанные нами (рис. 2). Для обозначения экспериментальных и «теоретических» точек используем разные обозначения (кружки, крестики, треугольники и т. п.).
Через две «теоретических» точки (y 1и y 2) проведем отрезок прямой линии. При правильных расчетах линия пройдет на графике наилучшим образом, так, что экспериментальные точки будут располагаться справа и слева от прямой линии. Все построения следует делать карандашом.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Братухин Ю.К. Обработка результатов измерений: учеб. пособие / Ю.К.Братухин, Г.Ф. Путин. – Пермь.: Изд-во Перм. гос. ун-та, 1989. – 44 с.
2. Колесниченко В.И. Обработка и представление результатов эксперимента: учеб. пособие / В.И. Колесниченко.- Пермь: Перм. гос. техн. ун-т, 2000. – 74 с.
3. Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин А.Н. Зайдель. – Л.: Наука, 1985. – 108 с.
4. А.Н. Паршаков Принципы и практика решения задач по общей физике. Часть 2. Электромагнетизм: учеб. пособие /
А.Н. Паршаков, - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. – 313 с.
СОДЕРЖАНИЕ
Основные правила работы в лабораториях кафедры
прикладной физики ………………………………………….. 3
Лабораторная работа № 1. Изучение электронного
осциллографа ………………………………………………….5
Лабораторная работа № 2. Исследование
электростатического поля с помощью электропроводной
бумаги………………………. …………………………………14
Лабораторная работа № 3. Измерение емкости конденсатора
и диэлектрической проницаемости…………………………...19
Лабораторная работа № 4. Изучение зависимости мощности
и к.п.д. источника тока от нагрузки………………………… 23
Лабораторная работа № 5. Измерение горизонтальной
составляющей магнитного поля Земли………………………27
Приложения ……………………………………………………32
Список рекомендуемой литературы ………………………….36
