Эквивалентность процентных ставок различного типа

Часто при расчетах, проводимых по различным финансовым операциям, возникает необходимость в определении эквивалентных процентных ставок.

Эквивалентные процентные ставки — это такие процентные ставки разного вида, применение которых при различных начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности, принцип составления которых заключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно это наращенная сумма S). На основе равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

Рассмотрим случай, когда все условия финансовой операции совпадают, т. е. первоначальный капитал, временная база, метод расчета (точный или обыкновенный) процентов и период начисления одинаковы. В противном случае применяются те же рассуждения и преобразования, только полученные формулы будут содержать несколько большее количество переменных. Вспомним обозначения, использованные ранее:

Ø i — простая годовая ставка ссудного процента;

Ø d — простая годовая учетная ставка;

Ø i_c — сложная годовая ставка ссудного процента;

Ø d_c — сложная годовая учетная ставка;

Ø j — номинальная ставка ссудного процента;

Ø f — номинальная учетная ставка.

Повторим формулы для определения наращенной суммы при различных способах начисления процентов, полученные в предыдущих параграфах этой главы:

1.7
2.5
3.1
3.6
4.1
4.5

Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными процентными ставками.

Рассмотрим несколько случаев.

Приравнивая соотношения (1.7) и (2.5), получим: .

Откуда

5.1
5.2

Из формул (1.7) и (3.1) имеем:

5.3
5.4

Приравнивание формул (1.7) и (3.6) дает:

5.5
5.6

Для различных случаев сложных процентов получаем уравнение эквивалентности, приравнивая формулы (3.1) и (3.6):

5.7
5.8

Полученная по формуле (5.7) годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов.

Эффективную ставку сложных процентов полезно знать, чтобы оценить реальную доходность финансовой операции, или сравнить процентные ставки в случае, когда используются различные интервалы начисления. Очевидно, что значение эффективной процентной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при т = 1.

Далее из формул (3.1) и (4.1) имеем:

5.9
5.10

Аналогичным образом получаем зависимости между любыми другими эквивалентными процентными ставками.

Используя для вычислений формулы (3.1) и (4.1), можно построить таблицу, отражающую зависимость между эквивалентными сложными учетными ставками и ставками ссудных процентов (табл. 5.1). Видно, что небольшие учетные ставки имеют эквивалентные ставки ссудного процента, сопоставимые по величине, но с ростом учетных ставок разница увеличивается очень быстро.

Таблица 5.1. Зависимость между эквивалентными сложными учетными ставками d_c(%) и ставками ссудных процентов i_c(%)